第二章线性规划的对偶问题
习题
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4
st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4
x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1
x1，x3≥0，x2，x4无约束
(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3
st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15
x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20
2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束
2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：
（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；
（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；
（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；
'x代换。
（4）模型中全部x1用3
1
2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4
st. x1＋2x2＋x4≥3
3x1＋x2＋x3＋x4≥6
x3 ＋x4＝2
x1 ＋x3 ≥2
x j≥0（j＝1,2,3,4）
(1) 写出其对偶问题；
(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量
st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1
2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2
x j≥0（j＝1,2,3,4）
其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
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４８
2.5 考虑线性规划问题 max z ＝2x 1＋4x 2＋3x 3
st. 3x 1＋4 x 2＋2x 3≤60
2x 1＋ x 2＋2x 3≤40 x 1＋3x 2＋2x 3≤80 x j ≥0 （j ＝1,2,3）
（1）写出其对偶问题
（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；
（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；
（4）比较（2）和（3）计算结果。
2.6 已知线性规划问题 max z ＝10x 1＋5x 2
st. 3x 1＋4x 2≤9
5x 1＋2x 2≤8 x j ≥0（j ＝1,2）
用单纯形法求得最终表如下表所示：
（1）目标函数系数c 1或c 2分别在什么范围内变动，上述最优解不变；
（2）约束条件右端项b 1，b 2，当一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；
（3）问题的目标函数变为max z ＝12x 1＋4x 2时上述最优解的变化；
（4）约束条件右端项由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛89变为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1911时上述最优解的变化。 2.7 线性规划问题如下： max z ＝—5x 1＋5x 2＋13x 3
st. —x 1＋x 2＋3x 3≤20 ①
12x 1＋4x 2＋10x 3≤90 ②
x j ≥0 （j ＝1,2,3）
先用单纯形法求解，然后分析下列各种条件下，最优解分别有什么变化？ （1） 约束条件①的右端常数由20变为30；
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（2） 约束条件②的右端常数由90变为70； （3） 目标函数中x 3的系数由13变为8；
（4） x 1的系数列向量由（—1，12）T 变为（0，5）T
； （5）
增加一个约束条件③：2x 1＋3x 2＋5x 3≤50；
（6） 将原约束条件②改变为：10x 1＋5x 2＋10x 3≤100。
2.8 用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下：
（1）给出a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 的值或表达式；
（2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；
（3）用a+∆a ，b+∆b 分别代替
a 和
b ，仍然保持上表是最优单纯形表，求∆a ，∆b 满足的范围。
2.9 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸310千克，每打日记本用白坯纸3
40千克，每箱练习本用白坯纸
3
80
千克。又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。试确定：
（1）现有生产条件下获利最大的方案；
（2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？
2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。
（2）原料A、B的影子价格各为多少。
（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。
（4）工厂可在市场上买到原料A。工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？
2.11 某厂生产A、B两种产品需要同种原料，所需原料、工时和利润等参数如下表：
（1）请构造一数学模型使该厂总利润最大，并求解。
（2）如果原料和工时的限制分别为300公斤和900小时，又如何安排生产？（3）如果生产中除原料和工时外，尚考虑水的用量，设两A，B产品的单位产品分别需要水4吨和2吨，水的总用量限制在400吨以内，又应如何安排生产？
复习思考题
2.12 试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。
2.13 根据原问题同对偶问题之间的对应关系，分别找出两个问题变量之间、解以及检验数之间的对应关系。
2.14 什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。
2.15 试述对偶单纯形法的计算步骤，它的优点及应用上的局限性。
2.16 将a ij，b，c的变化分别直接反映到最终单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解各自将会出现什么变化，有多少种不同情况以及如何去处理。
2.17 判断下列说法是否正确
(a)任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题；
(b)对偶问题的对偶问题一定是原问题；
(c)根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
(d)若某种资源的影子价格等于k，在其它条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k；
(e)应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i<0，又x i所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；
(f)若线性规划问题中的bi，c,值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出５０
