2008年湖南省百校联盟杯高二基础学科知识竞赛数学(理)
时量：120分钟 分值：150分 ( 2008.5.24.10:00—12:00)
一、选择题（50分）
1、设集合}21{≤≤-=x x A ，}40{≤≤=x x B ，则=B A I （ ）
A [0，2]
B [1，2]
C [0，4]
D [1，4]
2．函数1sin 3
-+=x x y 图象的对称中心是 （ ） A ．(0,0) B ．)1,0(- C ．)1,0( D ．不存在
3、函数223
(1)()11(1)⎧+->⎪
=-⎨⎪+≤⎩
x x x f x x ax x 在点1x =处连续，则a 的值是 （ ）
A ．2
B ．2-
C ．3
D ．3-
4．已知等腰三角形底角的正弦值为
,3
2
则顶角的正弦值是 （ ） A ．594 B ．592 C ．59
4- D ．592- 5．对任意x R ∈，不等式||a x x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1a ≥- B ．1a > C ．1a ≥ D ．1a ≥
6. 正项数列{}n a 中，已知对一切正整数n ，都有2
24n n n a a a ++=，若372,4a a ==，则15a = ( ）
A.8
B.16
C.32
D.64 7．如图，已知边长为2的正三角形ABC 中线AF 与中位线DE 相交于点G ，将此三角形沿DE 折成二面角A 1－DE －B ， 设二面角A 1－DE －B 的大小为θ，则当异面直线A 1E 与BD 的夹角为60°时，cosθ的值为 （ ） A ．－12
B ．12
C ．－13
D ．1
3
8．平面向量的集合A 到A 的映射f 由()2()f =-•x x x a a 确定，其中a 为常向量．若映射f 满足()()f f •=•x y x y 对任意x 、A ∈y 恒成立，则a 的坐标可能是 （ ）
A ． 1)22- B. ,44 C. 31(,)44
D. 1(,22-
9．直线l 与圆22
1x y +=相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于，则直线l 与两坐标轴所
围成的三角形的面积等于 （ ） A.
32 B. 12 C.1或3 D. 12或32
10、长沙汽车南站每天都有3辆开往武汉的分为上中下等的客车，某天某先生准备从长沙南站搭客车前往武汉，但他不知客车的车况，也不知如何发车，为尽可能乘上等车，他采用如下策略：先放过第一辆不乘，如果第二辆比第一辆好，则乘该车，否则上第三辆车，那么他能乘上等车的概率为 （ ） A
31 B 21 C 32 D 4
3 二、填空题（25分）
11．设随机变量ξ服从正态分布:2
(,)(0)N μσσ>,若(0)0.3P ξ≤=,(2)0.7P ξ≤=, 则μ= .
12、8
2x ⎛
⎝
的展开式中的常项是 。（用数字作答）
13．若等差数列{}n a 的前六项的和69S =，且11a =，则21a = 。 14．已知过抛物线2
6y x =焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是
15．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离等于球半径R 的一半，且AB=BC=CA=2，则球
面积S= 三、解答题（75分）
16、（12分）设)0)(sin ,(cos b ),sin ,(cos a π<α<β<ββ=αα=是平面上的两个向量。 （Ⅰ）求证-+与垂直； （Ⅱ）若4
3
tan ,54b a =β=⋅，求αtan 的值。
17、（12分）2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为3
4
，中国乒乓球女队获得每一枚金牌的概率均为
45
（Ⅰ）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率； （Ⅱ）记中国乒乓球队获得金牌的数为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望E ξ。
18、（12分）如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，
BC AC ⊥，且BC AC =． (Ⅰ)求证：⊥AM 平面EBC ；
(Ⅱ)求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小； (Ⅲ)求二面角C EB A --的大小．
19. （13分）已知数列)2(,122,5}{11+
-∈≥-+==N ，n n a a a a n n n n 满足
（Ⅰ）若n
n n a b 2
1-=
，)(+
∈N n 为等差数列数列求证}{:n b ； （Ⅱ）设数列{}n a n S n 项和的前，求n S
B
M
E D C
A
20. （13分）如图，A 为椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>
=+上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点1F 、2F ，
当AC 垂直于x 轴时，恰好有1:3|AF |:|AF |21=。 （Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设C F AF B F AF 222111,λλ==，试判断21λ+λ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
21、（13分）已知函数|
|1
21)(x e x
x f -=（其中e 是自然对数的底）
（Ⅰ）判断)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）在()0,∞-上求)(x f 的极值；
（Ⅲ）用数学归纳法证明：当0>x 时对任意的正整数n 都有n
x
n x
f -⋅<2!)1(
高二基础学科知识竞赛 理科数学答案
1-10 ABCAC BDDAB
11、1 12、112 13、5 14、
34
4ππ或
15、
64
9
π 16、解：（Ⅰ）由已知)sin sin ,cos (cos b a β+αβ+α=+
)sin sin ,cos (cos b a β-αβ-α=- 2分
