(完整版)平面向量重要基础知识点

1 / 4 平面向量重要知识点

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，向量是可以平移的，（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与ABuuur共线的单位向量是||ABABuuuruuur)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒平行向量无传递性！（因为有0r)

2.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。

3、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a：当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反

4、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：

（2）平面向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积是0

注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）b在a上的投影为||cosbr，它是一个实数，但不一定大于0。（4）a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模||ar与b在a上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：

①0abab•rrrr；

②当a，b同向时，a•b＝abrr，特别地，222,aaaaaa•rrrrrr；当a与b反向时，a•b＝－abrr；当为锐角时，a•b＞0，且 abrr、不同向，0abrr是为锐角的必要非充分2 / 4 条件；当为钝角时，a•b＜0，且 abrr、不反向，0abrr是为钝角的必要非充分条件；

③非零向量a，b夹角的计算公式：cosabab•rrrr；④||||||abab•rrrr。

5、向量的运算：

（1）几何运算：掌握三角形发展或者平行四边形法则，

（2）坐标运算：设1122(,),(,)axybxyrr，则：

①向量的加减法运算：12(abxxrr，12)yy。

②实数与向量的积：1111,,axyxyr。

④平面向量数量积：1212abxxyy•rr。

6、向量的运算律：（1）交换律：abbarrrr，aarr，abba••rrrr；(2)结合律：,abcabcabcabcrrrrrrrrrrrr，ababab•••rrrrrr；（3）分配律：,aaaababrrrrrrr，abcacbc•••rrrrrrr

提醒：向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(••，为什么？

7、向量平行(共线)的充要条件

8、8.线段的定比分点：

（1）定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数 ，使12PPPPuuuruuur，则叫做点P分有向线段12PPuuuur所成的比，P点叫做有向线段12PPuuuur的以定比为的定比分点；

（2）线段的定比分点公式：设111(,)Pxy、222(,)Pxy，(,)Pxy分有向线段12PPuuuur所成的比为，则121211xxxyyy（知道怎样推出来的吗）

9.向量平移

平面向量章节复习题 3 / 4 1．若将向量ra=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量br，则向量br的坐标为（

）

A．)223,22( B．)223,22( C．)22,223(

D．)22,223(

2．为得到函数y= f (－2x)图象．可把y= f (1－2x)图象按向量a平移，则向量a等于（ ）

A．（l，0） B．（－l，0） C．（21，0） D．（－21，0）

3．如图，非零向量则若为垂足且,,,,aOCCOABCbOBaOA （ ）

A．2||aba B．||||baba

C．2||bba D．baba||||

4．如果,0abacarrrrrr且，那么 （ ）

A．bcrr B．bcrr C． bcrr D．,bcrr在ar方向上的投影相等

5．过△ABC重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若,ABxAD ACyAE,(0xy),则yx11为( )

A 4 B 3 C 2 D 1

6．若向量a、b满足关系式|ba||ba|，则下列结论中正确的是（ ）

A. 以a、b为邻边的四边形是矩形 B. a、b中至少有一个零向量或ba

C. a、b中至少有一个是零向量 D. a、b均为零向量

7．正三角形ABC的边长为1，设,,bBCaABcAC，那么accbba的值是（ ）

A、32 B、21 C、23 D、21

8．已知0cbacbca，且不垂直和ba，则cbaba与 （ ）

A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反

9．已知02cxbxa是关于x的一元二次方程，其中cba,,是非零向量，且向量ba和不共线，则该方程 （ ）

A、至少有一根 B、至多有一根 C、有两个不等的根 D、有无数个互不相同的根

10．如图，在△ABC中，1,3,,,2BDDCAEEDABaACbBEuuuruuuruuuruuuruuurruuurruuur若则= （ ）

A．1133abrr B．1124abrr

11．关于非零向量a和b，有下列四个命题： 4 / 4 （1）“baba”的充要条件是“a和b的方向相同”；

（2）“baba” 的充要条件是“a和b的方向相反”；

（3）“baba” 的充要条件是“a和b有相等的模”；

（4）“baba” 的充要条件是“a和b的方向相同”；

其中真命题的个数是 （ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

12．若向量 a=(cos,sin) ， b=sin,cos， a与b不共线，则a与b一定满足（ ）

A． a与b的夹角等于- B．a∥b C．(a+b)(a-b) D． a⊥b

13．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足),0[),||||(ACACABABOAOP,则P的轨迹一定通过△ABC的( )

A外心 B内心 C重心 D垂心

14．向量AB＝（3，4）按向量a=(1,2)平移后为 （ ）

A、（4，6） B、（2，2） C、（3，4） D、（3，8）

15．将函数y=2x的图象按向量 a平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① a的坐标可以是（-3，0） ②a的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③a的坐标可以是（0，6） ④a的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

16．在ABC中，aAB，bBC，有0ba，则ABC的形状是

A、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

17．设cba,,是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：

①0)(baccba ②baba

③垂直不与cbacacb ④若cbaba与则,不平行

其中正确命题的个数是 （ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

18．已知向量(2,0),(2,2),(2cos,2sin)OBOCCAaauuuruuuruuur则向量,OAOBuuuruuur的夹角范围是（ ）

A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2]