H∞控制器的设计
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一、H∞控制器的设计
（一）H∞状态反馈控制器设计思路
图 2-1 广义系统
针对如上图所示的广义系统，P(s)是一个线性时不变系统，其状态方程可以用下面的式子描述:
uDDxCyuDDxCzuBBAxx22212121111211 2-1
其中：nxR是状态向量，muR是控制输入，pyR是测量输出，rzR是被调输出，qR是外部扰动。这里考虑在外部扰动不确定但能量有限的情况下，设计一个控制器)()()(sysKsu，使得闭环系统满足：
（1）闭环系统内部稳定；
（2）从扰动到被调输出的传递函数满足下面的关系：
1)(sTwz 2-2
满足这样性质的控制器称为系统的一个H控制器。
通过将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个适当的常数，可以使得闭环系统具有给定的H性能γ，即使得γ)(sTwz的H控制问题转化为使得1)(sTwz的标准H控制问题。称具有给定H性能γ的H控制器为系统P(s)的γ-次优H控制器。进一步可以通过对γ的搜索，可以求取使得闭环系统的扰动抑制度γ最小化的控制器。
对于上面给出的系统，令D21、D22为零矩阵，C2为单位阵，那么就形成了一个状态反馈控制系统。
对于这个系统，如果可以设计一个静态反馈控制器)()()(sxsKsu，使得系统闭环稳定，并且满足从扰动到被调输出的传递函数为：
1)]()[()(1111112121DBBAsIKDCsTwz 2-3
那么，我们称这样的反馈控制器为系统P(s)的一个状态反馈H控制律。
定理 对于系统P(s)，存在一个状态反馈H控制器，当且仅当存在一个对称正定矩阵X和W，使得以下矩阵不等式成立：
0)()(111211111121111212IDWDXCDIBWDXCBWBAXWBAXTTTT 2-4
成立，而且，如果上面的矩阵不等式存在一个可行解**XW、，则有1*)(*XWK为系统的状态反馈H控制矩阵。
对于次优控制问题，通产可以进行一下变换：
1)()(1-sTsTwzwzγγ 2-5
将原模型中的11112CDD、、替换为 11111112CDD、、，则得到新的状态反馈次优控制器对应的矩阵不等式：
0)()(111-1211-111-111211-111212IDWDXCDIBWDXCBWBAXWBAXTTTT 2-6
为了计算方便，在上式的左右两边分别乘以{,,}diagIII，则得到如下式子：
0)()(2111211111121111212IDWDXCDIBWDXCBWBAXWBAXTTTT 2-7
求解该不等式即可得到系统状态反馈γ-次优H控制器 求解该不等式，即可得到系统状态反馈γ-次优H控制器。
这样，γ-次优H控制器存在的条件下（LMI可解），通过建立和求解以下优化问题即可得到γ-次优H控制器: 1212111121111211211min
()()00TTTTAXBWAXBWBCXDWBIDCXDWDIX
下面利用状态反馈进行γ-次优H控制器的设计。
（二）系统矩阵
下面给出系统的各个矩阵：
1112111122212201000102310010011821,,0001130234001102111421231122414,,4253143124,,ABBCDDCIDD00
（三）仿真结果
仿真条件设置：系统的状态初值设置为：00 0 0 0TX,时间间隔设置为0.01s，共仿真10s，在0.2秒处施加一个2 1T的扰动。
设置mincx函数的解算精度为1e-5，计算得到系统的反馈控制矩阵：
在上面的仿真结果中，flag同EVP问题中的flag一样，都是X，W是否是系统的解得标志。仿真结果中flag负定，说明X,W是系统的解。这样就求得了系统的状态反馈控制矩阵。
下面给出闭环系统的仿真结果：
图2-2 0.2秒处加入脉冲干扰后的系统状态变量的响应曲线
当取sin() cos(2) (0.01,2050)TnTnTTn时，仿真结果如下： 012345678910-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.06t/s
x1x2x3x4
图 2-3 0.2-0.5秒加入正弦干扰后的系统状态变量的响应曲线
当取=wgn(2,1,1)，即功率为1 的白噪声时，仿真结果如下：
图 2-4 在0.2-0.5秒加入高斯白噪声后的仿真结果
从上面的仿真结果可以看出，对于不同的干扰信号，系统都可以回到稳定状态，证明系统是闭环稳定的。
012345678910-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5
x1x2x3x4012345678910-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3
x1x2x3x4
