2014数学建模B题
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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： B
我们的报名参赛队号为(8位数字组成的编号)：
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参赛队员 (打印并签名) ：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
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日期： 年 月 日
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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号)：
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创意平板折叠桌的设计
摘 要
随着人类思维的不断进步，极具创意的作品也层出不穷。本文对创意平板折叠桌进行分析，运用三维坐标对不同平板折叠桌的结构进行描述。桌子外形由直纹曲面构成，桌面近似圆形，桌腿分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上。随着铰链的活动，折叠桌可以平摊成一张平板，折叠时，沿木条有空槽以保证滑动的自由度。此折叠桌不仅设计精妙，造型美观。而且具有一定的实用价值，节省存储空间。
针对问题一，给定了一块平板的长宽高、木条宽度、以及折叠桌的高度。以折叠桌的某一桌脚为原点，利用对称性，建立空间直角坐标系。通过构建几何模型来找出桌面与最外侧桌脚木条的夹角(锐角)关系。然后运用三角函数计算出每根桌脚木条的长度以及开槽的大小。设每根桌脚木条与桌面的夹角为变量，通过几何关系，列出每条桌脚顶点处的坐标,,xyz分别满足的函数表达式，根据表达式编写MATLAB程序，画出桌脚边缘线变化过程。最后根据每个桌脚点在折叠过程中的改变，加入动态函数，用MATLAB画出折叠桌的动态过程。
针对问题二，根据稳固性好、加工方便、用材最少这三个限制条件求出非线性规划的目标函数和约束条件。由于问题一中要求稳固性好，所以对折叠桌的受力点做受力分析，为了使桌子承受最大的力量，对作用于折叠桌的压力、支持力、摩擦力等作分析。一个好的设计没有实用性就不能使用，所以我们把受力分析放在首要地位。为了使加工方便和用材最少，在保证稳固性的前提下减少使用的钢筋数量和选择最优加工参数。同时加工方便与材料的质地也有关，但是我们这里不考虑，统一用木质平板。根据以上三个约束条件，运用最优化的方法建立非线性规划模型，再用MATLAB求出最优解，得到最优的加工设计参数。
针对问题三，在问题一与问题二的模型基础上，设计出两种创意平板折叠桌。创意平板折叠桌一为桌面类似为菱形的折叠桌，建立坐标系得出菱形桌面和桌腿木条的方程，用MATLAB进行编程，画出其动态图形。创意平板折叠桌二采用题目已给的图，采用一定的拼接技术，可根据顾客需求拼接出满足条件的的折叠桌。
关键词： 边缘线 MATLAB LINGO 受力分析 最优化
一、 问题重述
背景知识
问题中的折叠桌是由直纹曲面构建而成，其形状特殊，外形美观，功能实用。直纹曲面在工程和工农业生产中有着广泛的应用。柱面，锥面的广泛应用不胜枚举。从日常生活到航天航空，从微观世界到浩瀚太空。到处可见柱面和锥面的身影。而且由直纹曲面构成的这种可展结构容易存贮和运输，当需要的时候，它们可以展开成工作状态。根据其用途不同可分为空间可展结构和地面可展结构。
要解决的问题
折叠桌桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
问题一、给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述(模型)。
问题二、折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对实例桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
问题三、公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
图1
图2
图3
图4
二、问题分析
本题描述的折叠桌桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。利用三维软件(UG、proe、3D等)画图用来协助分析。平板折叠桌问题关键在于用函数表达式描述出折叠的过程。不仅要理解在折叠过程中每一根桌脚木条和桌面的角度变化，更要理解在折叠过程中每一根木条在开槽中的滑动过程。由于最外侧的桌脚木条用来固定钢筋，所以不需要设计开槽。从最外侧两端向内，开槽越来越大，最中间的一个或两个桌腿木条开槽长度达到最大。同时在折叠过程中，随着桌脚木条和桌面的内侧夹角逐渐减小，钢筋在开槽的内自上向下移动(除最外侧桌腿木条外)，由于钢筋两端固定，当每一条桌腿木条的钢筋达到开槽最低点处，平板桌固定，不再移动。
针对问题一：此问题中给出了平板的相关尺寸以及每根木条的宽。同时限制了折叠桌折叠后的高度和钢筋的位置。利用这些数据通过建立三维坐标系，不难得到有关折叠桌的设计加工参数，同时，假设桌腿木条和桌面的夹角为0，以桌面圆心为坐标系原点建立空间直角坐标系，根据题目已给的参数和几何关系分别表示出桌面,,xyz坐标函数。同理可得桌腿、腿尖、钢筋轴的坐标函数。给定一个0根据这些函数，应用MATLAB程序画出折叠桌的动态图。中通过改变角度的大小，列出桌腿在,,xyz方向上的函数便可以数学描述出边缘线。然后利用MATLAB做出动态图。
针对问题二：根据稳固性好，加工方便，和用材最少三个约束条件便可以列出相关的非线性规划方程。用MATLAB或LINGO就可以求解出最优的设计加工参数。通过第一问的各因素相互关系及“半成品”模型进一步来解答第二问，第二问题目中要求的稳固性好即就是需要我们进行受力分析。受力分析可从这几点考虑，1、重心位置越低，结构越稳定 2、支撑面积越大，结构越稳定3、结构的稳定性与结构的形状有关4、桌子的稳固性与桌腿和地面夹角有关根据题意，根据这些方面，进一步做力学分析。
怎样才能让桌子承受的力最大，需要对不同状态做静力和摩擦力分析，这与脚角0钢筋链接曹等因素相关。加工方便要求我们所给尺寸合理，加工巧妙，不至于有多余或者补料的情形，和用料最少有点相似，用料最少，如若能达到不浪费一点点木材就算是最优解了，这就需要分析木板、木条、桌面直径等相关因素的关系，最后确定木板长、宽、高、木条数等之间因素的最优参数。然后将几个相对“理想”因素数值带入第一问求出来的模型，输入实际值：桌高70 cm，桌面直径80 cm。在逐步求解。
针对问题三：基于问题一与问题二的模型基础上，设计出两种创意平板折叠桌模型。模型一为桌面类似为菱形的折叠桌，其原理为对菱形桌面边缘线的数据分析，建立空间坐标系得出菱形桌面和桌腿木条的方程，利用MATLAB软件进行编程，画出其动态图形。模型二采用模型一的图，采用一定的拼接技术，可根据顾客需求拼接出满足需要的的折叠桌。
三、模型假设
1、材料性能和实际加工误差对设计无影响。
2、木条间缝隙尺寸为零。
3、木条与圆桌面之间的交接处无间隙。
4、钢筋尺寸不计。
5、忽略开槽宽度
6、数据保留一个小数点对结果无影响
四、符号说明
符号 说 明
0 最长的桌腿木条与桌面的夹角
0n 桌腿木条总数
0h 折叠桌与地面的高度
0m 桌腿木条的宽度
0s 桌腿木条的长度
i 第i跟木条
ib 为图中iOA的距离
0r 为图中圆桌面的半径
ik 卡槽的长度
ia 为图中iiAC的长度
ic 为图中iiCD的长度
t 最外侧桌腿钢筋位置到桌脚的距离
五、名词解释
直纹曲面：有一个连续族(或几族)直线所构成的曲面叫做直纹曲面。也可以定义为一直线
