2016年北京市朝阳区高三二模理科数学试卷(解析版)

2023年北京朝阳区高三二模数学试卷一、单选题1、已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2、若复数为纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.3、已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. C. D.34、已知数列的前n项和是，则（）A.9B.16C.31D.335、已知，，，则（）A. B. C. D.6、已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7、在中，，分别是，的中点，若（，），则（）．A. B. C. D.8、设函数，若对任意的恒成立，则（）A.B.C.D.9、如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点，使得B.存在点，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点，使得与所成的角为10、已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题11、函数的定义域为.12、已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则，展开式中的系数为.13、将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为.14、已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则.15、斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：①存在，使得成等差数列；②存在，使得成等比数列；③存在常数t，使得对任意，都有成等差数列；④存在正整数，且，使得.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16、在中，，，.(1)求的面积；(2)求c及的值.17、果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵面成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量实验过程中部分发酵液因被污染面废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）：根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下：假设用频率估计概率(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；(2)设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率；(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明）18、如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，E是PC的中点，平面与线段交于点.(1)证明：为的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：三角形的面积为；条件②：三棱锥的体积为.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.19、已知点在椭圆E：上，且E的离心率为.(1)求E的方程；(2)设F为椭圆E的右焦点，点是E上的任意一点，直线PF与直线相交于点Q，求的值.20、已知函数.(1)当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）证明：；(2)若函数的极大值大于0，求a的取值范围.21、已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.(1)当，时，写出的所有可能值；(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.1、【答案】B;【解析】由题设，或，所以.因此正确答案为：B2、【答案】C;【解析】∵为纯虚数，∴，∴．因此正确答案为：C．3、【答案】C;【解析】【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案.【详解】因为双曲线为，所以它的一条渐近线方程为；因为渐近线方程为，所以.故选：C.4、【答案】B;【解析】设数列的前n项和为，则，则.因此正确答案为:B.5、【答案】D;【解析】因为，，，所以.因此正确答案为：D.6、【答案】A;【解析】【分析】讨论、对应在上的单调性，结合充分必要性的定义可得答案.【详解】当时，，显然在上单调递增，充分性成立；而在区间上单调递增，此时，必要性不成立；所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分而不必要条件.故选：A7、【答案】A;【解析】，，故，故，解得．所以．故选：．8、【答案】D;【解析】【分析】先用辅助角公式化简的解析式，利用已知条件求出辅助角，再利用诱导公式，奇偶性，判断选项的正误.【详解】由得;所以，其中，，因为，所以，所以，即，，化简得，因为，，所以，且，所以既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项A，B都不正确；对于C，D，,;因为，所以，而不能恒成立；所以选项C不正确，选项D正确.故选：D9、【答案】B;【解析】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，错；B：若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，，面，则面，所以存在Q使得平面，对；C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，故三棱锥的体积不是定值，错；D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，所以，，若它们夹角为，则，令，则，当，则，；当则；当，则，；所以不在上述范围内，错.因此正确答案为：B10、【答案】C;【解析】由题设，若，则，所以，值域为R，函数图象如下：当时，只有一个与之对应；当时，有两个对应自变量，记为，则；当时，有三个对应自变量且；当时，有两个对应自变量，记为，则；当时，有一个与之对应；令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，若有三个解，则，此时有5个解，不满足；若有两个解且，此时和各有一个解，结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；若有一个解，则有两个解，此时，所以对应的，综上所述.因此正确答案为：C.11、【答案】;【解析】【分析】解不等式即可得函数的定义域.【详解】令，可得，解得.故函数的定义域为.故答案为:.12、【答案】;;【解析】【分析】由二项式系数和求n，再应用二项式定理写出含的项，即可得结果.【详解】由题意，则，故原二项式为，所以其展开式通项为，当，则，故所求系数为.故答案为：，13、【答案】（答案不唯一）;【解析】由题设，在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，所以，即，故满足要求.因此正确答案为：（合理即可）14、【答案】;;【解析】【分析】由题设有且半径，抛物线准线为，即可得A到抛物线C准线的距离，根据对称性令和在两侧，易知为中点，设直线联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求.【详解】由题设且半径，抛物线准线为，则A到抛物线C准线的距离为，又，故A在抛物线内部，若抛物线上任意点，则其到A的距离，所以圆A在抛物线内部，如上图示：由对称性，不妨令和在两侧，由易知：为中点，若直线为，联立抛物线得，所以，则，，而，即，经检验，此时，故，所以.故答案为：4，15、【答案】①③④;【解析】由题设，，显然成等差数列，①无误；由题设知：在上，依次为{奇数,奇数,偶数}或{奇数,偶数,奇数}或{偶数,奇数,奇数}，所以不可能有，故不存在使成等比数列，②有误；由，，，所以，故，则成等差数列，故存在使得对任意，都有成等差数列，③无误；由，，，…，，，所以，则，由题设，数列前16项分别为，其中，所以存在正整数，且，使得，④无误.因此正确答案为：①③④16、【答案】(1)(2)，;【解析】（1）由且，则，所以.（2）由，则，而，则.17、【答案】(1)(2)(3);【解析】【分析】（1）先求未废弃的发酵液总数，再求品质高的瓶数，结合古典概率求解可得答案；（2）设出事件，利用对立事件求解概率可得答案；（3）先求事件E的概率，比较大小可得答案.【详解】（1）设事件“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，由题可知，未废弃的发酵液共有6+4+5=15瓶，其品质高的有9瓶，所以.（2）事件“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，事件“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，事件“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，由题意得;.（3）由题意，所以.18、【答案】(1)证明见解析(2);【解析】（1）由底面是矩形，则，而面，面，所以面，又是的中点，面与线段交于点，即面面，而面，则，故，△中为中位线，故为的中点；（2）由底面，面，则，又，由，面，则面，由面，故，即△为直角三角形，且；由面，则面面，同理有面面；又面，故，又，所以两两垂直，可构建如下空间直角坐标系，选①，则，故，而，选②，由，而，所以；此时，，，则，又是面的一个法向量，若直线与平面所成角为，所以.19、【答案】(1)；(2).;【解析】（1）通过题意得解得所以椭圆E的方程为.（2）因为点是E上的任意一点，所以.①当时，点或.当点时，直线PF与直线相交于点，此时.当点时，直线PF与直线相交于点，此时.②当时，直线的方程为，由，可得，所以.所以，所以.综上所述，.20、【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析；(2).;【解析】【分析】(1)（i）求导，根据点斜式直线方程求解；（ii）构造函数，求的最大值即可；(2)函数，求出的最大值，并对最大值做讨论即可.【详解】（1），，，（i）在处的切线方向为；（ii）令，则，当时单调递减，当时单调递增，在处取得最大值，；（2）由题可知，则，，，令，当时是减函数，当时是增函数，处取得极大值，也是最大值，，令，显然是增函数，欲使得，，即，解得，所以a 的取值范围是.21、【答案】(1)(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析;【解析】（1）由，，若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即；若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即（舍）；综上所述的所有可能值为.（2）由（1）知：，则，数列中的项存在最大值，故存在使，，由，所以，故存在使，所以0为数列中的项；（3）不存在，理由如下：由，则，设，若，则，，对任意，取（表示不超过的最大整数），当时，；若，则为有限集，设，，对任意，取（表示不超过的最大整数），当时，；综上所述不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有.。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷（文史类） 2016.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}0,1,2A =，{}(2)0B x x x =-<，则A B =A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ． {}0,1D ．{}1 2. 复数1+iiz =（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.设x ∈R ,且0x ≠,“1()12x>” 是“11x<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若m ⊥l ，n ⊥l ， 则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5. 同时具有性质:“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是 A ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．sin 26y x 5π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是A ．6B ．5C. 2D.27.设函数1,2,()2log,2ax xf xx x-≤⎧=⎨+>⎩(0a>且1)a≠的最大值为1,则实数a的取值范围是A．[11)2,B．0,1（）C．10]2(,D．1,（）+∞8.在边长为1的正方形ABCD中，已知M为线段AD的中点，P为线段AD上的一点，若线段=+BP CD PD，则A．34MBA PBC∠=∠B．23MBA PBC∠=∠C.12M B A P B C∠=∠D．13MBA PBC∠=∠正视图侧视图俯视图1111S S k=+结束开始2,1k S ==5?k <输出S 的值1k k =+是否 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.执行如图所示的程序框图，输出的S = .10. 已知向量(1,2)=a ，向量(2,)m =b ，若+a b 与a 垂直，则实数m 的值为 ．11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a = ；直线l 的方程为 .12. 在平面直角坐标系x O y 中，抛物线28y x =的准线l 的方程是 ；若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线l 交于,M N 两点，且MON ∆的面积为8，则此双曲线的离心率为 .13. 已知关于,x y 的不等式组0,,2,2x y x x y x y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域D 为三角形，则实数k 的取值范围是 ．14. 为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额），则()f n =（用n 表示）；从第 年开始盈利.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，已知1cos 23A =-， 3,sin 6sin c A C ==．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ) 若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积．16. （本小题满分13分）某城市要建宜居的新城，准备引进优秀企业进行城市建设. 这个城市的甲区、乙区分别 对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.（Ⅰ）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值； （Ⅱ）规定85分以上（含85分）为优秀企业.若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.17. （本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的首项1a 和公差d (0)d ≠均为整数，其前n 项和为n S ． (Ⅰ)若11=a ，且2a ，4a ，9a 成等比数列，求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)若对任意n *∈N ，且6n ≠时，都有6n S S <，求1a 的最小值．18. （本小题满分14分）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，,O F 分别为,BE DE 的中点．（Ⅰ）求证：AO CD ⊥；（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面AOF ?若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由．FOB CDAE 5 3 9 6 8 4 8 6 4 甲区企业 5 乙区企业 7 9 9 8 319. （本小题满分13分） 已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围.20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，000(,)(0)P x y y ≠是椭圆:C 222212x y λλ+=(0)λ>上的点，过点P 的直线l 的方程为002212x x y yλλ+=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当1λ=时，设直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点 2,,Q P F 三点共线.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（文史类） 2016.5一、选择题：（满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDACBAAC二、填空题：（满分30分） 题号 91011121314答案1072- 12,210x y --=2x =-,5(,2][0,1)-∞-21960n n -+-,5（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为21cos 212sin 3A A =-=-，所以6sin 3A =． 因为3,sin 6sin c A C ==，由正弦定理sin sin a cA C=，解得32a =． …………………6分(Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=. 解得5b =或3b =-（舍）.152sin 22ABC S bc A ∆==. …………………13分 16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）79+84+88+89+93+95==886x 甲，78+83+84+86+95+96==876x 乙. …………………4分（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88,89,93,95共4个，乙区优秀企业得分为86,95,96共3个.从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为（88,86），（88,95），（88,96），（89，86），（89,95），（89,96），（93,86），（93,95），（93,96）（95,86）（95,95）（95,96）共12个. 其中得分的绝对值的差不超过5分有（88,86），（89，86），（93,95），（93,96），（95,95），（95,96）共6个. 则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61122p ==.………13分17. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)因为2a ，4a ，9a 成等比数列，所以9224a a a ⋅=. 将11=a 代入得 )81()1()31(2d d d +⋅+=+, 解得0=d 或 3=d .因为数列}{n a 为公差不为零的等差数列，所以3=d .数列}{n a 的通项公式1(1)332n a n n =+-⋅=-.……………………………6分（Ⅱ）因为对任意n *∈N ，6n ≠时，都有6n S S <，所以6S 最大，则0<d ，6765,.S S S S >⎧⎨>⎩所以760,0.a a <⎧⎨>⎩则1160,50.a d a d +<⎧⎨+>⎩因此156d a d -<<-. 又1a ，d ∈Z ，0<d ，故当1-=d 时， 156a <<， 此时1a 不满足题意.当2-=d 时，11012a <<， 则111a =， 当3-=d 时， 11518a <<,116,17a =, 易知3-≤d 时,116a ≥，则1a 的最小值为11. ………………………………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABE ∆为等边三角形，O 为BE 的中点，所以AO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥平面BCDE ， 平面ABE 平面BCDE BE =，AO ⊂平面ABE ，所以AO ⊥平面BCDE ． 又因为CD ⊂平面BCDE ，所以AO CD ⊥．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）连结BD ，因为四边形BCDE 为菱形， 所以CE BD ⊥．因为,O F 分别为,BE DE 的中点， 所以//OF BD ，所以CE OF ⊥． 由（Ⅰ）可知，AO ⊥平面BCDE ． 因为CE ⊂平面BCDE ，所以AO CE ⊥. 因为AO OF O = ，所以CE ⊥平面AOF ． 又因为CE ⊂平面ACE ，所以平面AOF ⊥平面ACE ．…………………………………………………9分 （Ⅲ）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时，//BP 平面AOF ．证明如下：设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ，连结AN ,PM ． 因为四边形BCDE 为菱形，,O F 分别为,BE DE 的中点，所以12NM MC =． 设P 为AC 上靠近A 点的三等分点， 则12AP NM PC MC ==，所以//PM AN ． 因为AN ⊂平面AOF ，PM ⊄平面AOF ，所以//PM 平面AOF ． 由于//BD OF ，OF ⊂平面AOF ，BD ⊄平面AOF ， 所以//BD 平面AOF ，即//BM 平面AOF ． 因为BM PM M = ， 所以平面//BMP 平面AOF ．因为BP ⊂平面BMP ，所以//BP 平面AOF . 可见侧棱AC 上存在点P ，使得//BP 平面AOF ，且12AP PC =． …………………………………………………………………………14分FOBC DAE P MN19. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x -++--'=.（1） 当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. （2） 当01a <<时，11a>, 令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，； 令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a（，. （3） 当1a =时，22(1)()=0x f x x -'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，. （4） 当1a >时，101a<<, 令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a（，，1+)∞（，；令()0f x '<，解得11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a，. 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，单调递减区间为1(1)a，. …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥.令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增.由()0f x '<得，11e x ≤<,函数()f x 在(1,1e)上单调递减. 所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件； 若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a<<或1e x <<； 由()0f x '<得，11x a <<. 函数()f x 在(1,e ),11(,)e a上单调递增,在1(,1)a上单调递减. min 1()min{(),(1)}ef x f f =，依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1ef x f =>，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………………13分20. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ)依题2a λ=，222c λλλ=-=，所以椭圆C 离心率为222e λλ==.……………………………………………3分 （Ⅱ）依题意00x ≠，令0y =，由0012x x y y +=，得02x x =，则02(,0)A x . 令0x =，由0012x x y y +=，得01y y =，则01(0,)B y .则OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=. 所以2002001222x y x y =+≥，即0022x y ≤，则0012x y ≥. 所以001122OAB S OA OB x y ∆==≥. 当且仅当22002x y =，即0021,2x y =±=±时，O A B ∆面积的最小值为2． ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由2222102y x λλ=->，解得022x λλ-<<.①当00x =时，(0,)P λ,(,2)Q λλ-,此时21F P k =-，21F Q k =-. 因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线. 当(0,)P λ-时，也满足.②当00x ≠时，设(,)Q m n ，m λ≠-,1FQ 的中点为M ，则(,)22m nM λ-,代入直线l 的方程，得：2000240x m y n x λλ+--=.设直线1FQ 的斜率为k ，则002y nk m x λ==+， 所以000220y m x n y λ-+=.由2000000240220x m y n x y m x n y λλλ⎧+--=⎨-+=⎩，解得22002200244x x m y x λλλ+=-+，20002200484x y y n y x λλ+=+. 所以22200000222200002448(,)44x x x y y Q y x y x λλλλλ++-++. 当点P 的横坐标与点2F 的横坐标相等时，把0x λ=，2202y λ=代入22002200244x x m y x λλλ+=-+中得m λ=，则2,,Q P F 三点共线.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标不相等时, 直线2F P 的斜率为200F P y k x λ=-. 由022x λλ-≤≤，02x λ≠-.所以直线2F Q 的斜率为220002220000022222200000022004844824248224F Qx y y y x x y y k x x x x y x y x λλλλλλλλλλλ+++==++---+ 20000000022222000000482(2)4822x y y x y y y x x y x y x x λλλλλλλλλ+++===--+- 000000(2)()(2)y x y x x x λλλλ+==-+-. 因为22F Q F P k k =，所以2,,Q P F 三点共线.综上所述2,,Q P F 三点共线. ……………………………………………………………14分。

C
A
2016北京高三二模分类汇编
圆
一、 圆与三角形
1.【2016昌平区高三二模，文数第05题】
如图，过点A 和圆心O 的直线交O 于,B C 两点(AB AC <)，AD 与O 切于
点D ，DE AC
⊥于.E AD =3AB =，则BE
为
2.【2016昌平区高三二模，理数第10题】
如图，为⊙外一点，是⊙的切线，为切点，割线 与⊙相交于两点，且，为线段的中点， 的延长线交⊙于点．若，则的长为 ；
的值是 ．
3.【2016海淀区高三二模，理数第11题】
P O PA O A PBC O ,B C 3PC PA =D BC AD O E
1PB =PA AD DE ⋅
二、圆方程与直线方程
4.【2016海淀区高三二模，理数第08题】
5. 【2016朝阳高三二模，文数第11题】
已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a = ；直线l 的方程为 .
6. 【2016西城高三二模，文数第08题】
设直线l ：340x y a ++=，圆22 (2)2C x y ：-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，MQ （,P Q 为切点）满足，则a 的取值范围
是（ ） （A ）[18,6]- （B
）[6-+ （C ）[16,4]-
（D
）[66---+
详细解答
1. C
2. PA ＝3， ＝ 16
3. 600
4. C
5. ½， 2x-y-1=0
6.
C
AD DE ⋅。

2016朝阳区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x≥0}D．{x|﹣1＜x≤0}2．（5分）复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．（5分）“a ＞1”是“函数f （x ）=a•x +cosx 在R 上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．（5分）已知点Q （2，0）及抛物线x 2=4y 上一动点P （x ，y ），则y +|PQ |的最小值是（ ） A ．B ．1C ．2D ．37．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．27B ．30C ．32D ．368．（5分）设函数f （x ）的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x ∈D ，都有f （x +m ）＞f （x ），则称f （x ）为D 上的“m 型增函数”．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=|x ﹣a |﹣a （a ∈R ）．若f （x ）为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＜5C ．a ＜10D ．a ＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．（5分）函数y=2sin （2x +）+1的最小正周期是 ，最小值是 ．10．（5分）若x ，y 满足约束条件则z=x +y 的最大值为 ．11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=2，则a 1+2a 3的最小值是 ．12．（5分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．13．（5分）已知A ，B 为圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2=9（m ，n ∈R ）上两个不同的点（C 为圆心），且满足，则|AB |= ．14．（5分）已知点O 在△ABC 的内部，且有=，记△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积分别为S △AOB ，S △BOC ，S △AOC ．若x=y=z=1，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = ；若x=2，y=3，z=4，则S △AOB ：S△BOC：S △AOC = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（13分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣．（1）求sin∠C的值；（2）若BD=5，求△ABD的面积．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试方程|f（x）|=+是否有实数解，并说明理由．19．（14分）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．（13分）已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．【解答】z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．【解答】模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．【解答】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．【解答】若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．【解答】抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．【解答】由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△==．CBP∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．【解答】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x≥0时，|20+x﹣a|﹣a＞|x﹣a|﹣a，解得a＜10．当x=﹣10时，由f（﹣10+20）＞f（﹣10），即f（10）＞f（﹣10），得：|10﹣a|﹣a＞﹣|10﹣a|+a，∴|10﹣a|＞a，∴10﹣a＞a或10﹣a＜﹣a，解得a＜5，∴实数a的取值范围是a＜5．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．【解答】函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．【解答】∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a 1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．【解答】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．【解答】由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C （m ，n ），半径为3， 由题意可得||=||=3， 由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．【解答】若=，则O 是△ABC 的重心，∴S △AOB =S △BOC =S △AOC =S △ABC ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =1：1：1． 若2+3+4=，延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，如图所示： 则，∴O 是△DEF 的重心，∴S △DOE =S △EOF =S △DOF ．∴S △AOB ==×OD ×sin ∠AOB=S △DOE ， S △BOC ==OFsin ∠BOC=S △EOF ， S △AOC ==OFsin ∠BOC=S △DOF ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =：：=4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．【解答】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（5分）（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．【解答】（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（7分）（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…（13分）17．【解答】证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…（5分）解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（13分）18．【解答】函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即，在x∈[1，2]上恒成立，则．…（4分）（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（9分）（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…（14分）19．【解答】（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．=1．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．【解答】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．。

2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()A. B. C. D.3.设等差数列的前n项和为，若，，则()A.60B.80C.90D.1004.已知抛物线C：的焦点为F，点P为C上一点.若，则点P的横坐标为()A.5B.6C.7D.85.已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6.已知，是两个互相垂直的平面，l，m是两条直线，，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系xOy中，锐角以O为顶点，Ox为始边.将的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则()A. B. C. D.8.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式，其中是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数其大小取决于多种其他因素，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率当，S不变，v比原来提高时，下列说法正确的是()A.若C不变，则P比原来提高不超过B.若C不变，则P比原来提高超过C.为使P不变，则C比原来降低不超过D.为使P不变，则C比原来降低超过9.已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点若，，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有个小球，第三层有个小球⋯⋯依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x∈R|﹣2＜x＜1}，B＝{x∈R|x2﹣2x＜0}，那么A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，1）C．（0，2）D．（0，1）2．（5分）极坐标方程ρ＝2cosθ表示的圆的半径是（）A．B．C．2D．13．（5分）“x＞0”是“x2+≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知向量＝（，），＝（﹣，1），＝+λ，则•等于（）A．λB．﹣λC．1D．﹣15．（5分）如图，设不等式组表示的平面区域为长方形ABCD，长方形ABCD内的曲线为抛物线y＝x2的一部分，若在长方形ABCD内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A．B．C．D．6．（5分）要得到g（x）＝log2（2x）的图象，只需将函数f（x）＝log2x的图象（）A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a4＞0，则a2016＜0B．若a5＞0，则a2015＜0C．若a4＞0，则S2016＞0D．若a5＞0，则S2015＞08．（5分）如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，给出下列命题：①不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°或90°；②四边形AECF是正方形；③点A到平面BCE的距离为1．其中正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，点A对应的复数是2+i．若点A关于实轴的对称点为点B，则点B对应的复数为．10．（5分）执行如图程序框图，输入n＝4，A＝4，x＝2，输出结果A等于．11．（5分）已知点P（t，4）在抛物线y2＝4x上，抛物线的焦点为F，那么|PF|＝．12．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为零，且a2+a3＝a6，则＝．13．（5分）安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A，B二人必须做同一项工作，C，D二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有种．14．（5分）已知x＝1，x＝3是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，且f（x）在x＝处的导数f′（）＜0，则f（）＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c ＝b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝，b＝5，求c的值．16．（13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n＝，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．17．（14分）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B＝90°，BE∥CD，且BE＝2CD＝2BC＝2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P﹣ABCD．（Ⅰ）求证AD⊥PB；（Ⅱ）若P A⊥平面ABCD．①求二面角B﹣PC﹣D的大小；②在棱PC上存在点M，满足＝λ（0≤λ≤1），使得直线AM与平面PBC所成的角为45°，求λ的值．18．（13分）设函数f（x）＝e ax（a∈R）．（I）当a＝﹣2时，求函数g（x）＝x2f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；（Ⅱ）若函数h（x）＝﹣1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：+＝1．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若椭圆C与直线y＝x+m交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值；（Ⅲ）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在椭圆C上，且点A在第一象限，点P 在第二象限，点B与点A关于原点对称，求证：当x12+x22＝4时，三角形△P AB的面积为定值．20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），（a i，b i∈R+，i＝1，2，3，…，n），记f 0（y）＝0（y≥0），f k（y）＝{b k x k+f k（y﹣a k x k）}（y≥0，1≤k≤n），其中m为不超过的最大整数．（注：﹣1{bx k+f k﹣1（y﹣a k x k）}表示当x k取0，1，2，3，…，m时，b k x k+f k﹣1（y﹣a k x k）中的最大数）已知数对序列P：（2，3），（3，4），（3，p），回答下列问题：（Ⅰ）写出f1（7）的值；（Ⅱ）求f2（7）的值，以及此时的x1，x2的值；（Ⅲ）求得f3（11）的值时，得到x1＝4，x2＝0，x3＝1，试写出p的取值范围．（只需写出结论，不用说明理由）．2016年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x∈R|﹣2＜x＜1}，B＝{x∈R|x2﹣2x＜0}，那么A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，1）C．（0，2）D．（0，1）【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B＝（0，2），∵A＝（﹣2，1），∴A∩B＝（0，1），故选：D．2．（5分）极坐标方程ρ＝2cosθ表示的圆的半径是（）A．B．C．2D．1【解答】解：由题意得，ρ＝2cosθ，则ρ2＝2ρcosθ，所以x2+y2＝2x，即（x﹣1）2+y2＝1，故圆的半径为1；故选：D．3．（5分）“x＞0”是“x2+≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x＞0时，x2+≥2成立，即充分性成立，当x≠0时，由x2+≥2成立，得x＞0或x＜0，即x＞0不成立，即必要性不成立，即“x＞0”是“x2+≥2”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知向量＝（，），＝（﹣，1），＝+λ，则•等于（）A ．λB ．﹣λC ．1D ．﹣1【解答】解：∵＝（，），＝（﹣，1），＝+λ，∴•＝（+λ）•＝＝．故选：C ．5．（5分）如图，设不等式组表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD 内的曲线为抛物线y ＝x 2的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵不等式组表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD 内的曲线为抛物线y ＝x 2的一部分，∴S 矩形＝1×2＝2，S 阴影部分＝x 2dx ＝＝，∴此点取自阴影部分的概率为＝＝，故选：B ．6．（5分）要得到g （x ）＝log 2（2x ）的图象，只需将函数f （x ）＝log 2x 的图象（ ）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【解答】解：g （x ）＝log 2（2x ）＝log 2x +1，故将函数f （x ）＝log 2x 的图象向上平移1个单位，即可得到， 故选：A ．7．（5分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是（ ）A．若a4＞0，则a2016＜0B．若a5＞0，则a2015＜0C．若a4＞0，则S2016＞0D．若a5＞0，则S2015＞0【解答】解：当a5＝a1q4＞0时，a1＞0，又当q≠1时，S2015＝，∴当q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2015＞0，∴＞0，即S2015＞0；当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2015＞0，∴＞0，即S2015＞0；当q＞1时，1﹣q＜0，1﹣q2015＜0，∴＞0，即S2015＞0；当q＝1时，S2015＝2015a5＞0．综上可得当a5＞0时，S2015＞0．故选：D．8．（5分）如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，给出下列命题：①不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°或90°；②四边形AECF是正方形；③点A到平面BCE的距离为1．其中正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD 为正方形，所以在四棱锥E ﹣ABCD 中，相邻两条侧棱所成的角为60°，而像AE 与CE 所成的角为90°，因为AE ＝CE ＝1，AC ＝，满足勾股定理的逆定理，所以AE ⊥CE ，同理AF ⊥CF ，AE ⊥AF ，所以四边形AECF 是正方形；故①②正确；设点A 到平面BCE 的距离h ，由V E ﹣ABCD ＝2V A ﹣BCE ， 所以，解得h ＝；所以点A 到平面BCE 的距离；故③错误；故选：C ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，点A 对应的复数是2+i ．若点A 关于实轴的对称点为点B ，则点B 对应的复数为 2﹣i ． 【解答】解：∵点A 对应的复数是2+i ． ∴点A 关于实轴的对称点为点B （2，﹣1）， ∴点B 对应的复数为2﹣i ， 故答案为：2﹣i ．10．（5分）执行如图程序框图，输入n ＝4，A ＝4，x ＝2，输出结果A 等于 49 ．【解答】解：模拟执行程序，可得n＝4，A＝4，x＝2，i＝3满足条件i＞0，执行循环体，A＝11，i＝2满足条件i＞0，执行循环体，A＝24，i＝1满足条件i＞0，执行循环体，A＝49，i＝0不满足条件i＞0，退出循环，输出A的值为49．故答案为：49．11．（5分）已知点P（t，4）在抛物线y2＝4x上，抛物线的焦点为F，那么|PF|＝5．【解答】解：点P（t，4）在抛物线y2＝4x上，其准线方程为x＝﹣1，∴42＝4t，解得t＝4．那么|PF|＝t+1＝5．故答案为：5．12．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为零，且a2+a3＝a6，则＝．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a2+a3＝a6，∴2a1+3d＝a1+5d，化为a1＝2d≠0．则＝＝＝，故答案为：．13．（5分）安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A，B二人必须做同一项工作，C，D二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有12种．【解答】解：把6个人分成3组，每组两人，由条件可知：与C结组的方法有两种，剩下那人只能与D结组，将3组分配给3项工作，有A33＝6种情况，所以不同的安排方案有2×6＝12种．故答案为：12．14．（5分）已知x＝1，x＝3是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，且f（x）在x＝处的导数f′（）＜0，则f（）＝．【解答】解：∵x＝1，x＝3是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，∴f（x）的周期T＝＝2×（3﹣1）＝4，∴ω＝．∵f′（）＜0，∴f（x）在[1，3]上是减函数，∴f（1）＝sin（+φ）＝1，∴+φ＝，∴φ＝2kπ．∴f（）＝sin（）＝sin＝．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c ＝b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝，b＝5，求c的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及a cos C+c＝b，可得：sin A cos C+sin C＝sin B，…（2分）化简可得：sin A cos C+sin C＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，…（4分）解得：cos A＝，…（6分）因为：0＜A＜180°，所以：A＝60°…（7分）（Ⅱ）由余弦定理可得：21＝25+c2﹣5c，即c2﹣5c+4＝0，…（10分）解得：c＝1或c＝4，…（12分）经检验，符合条件，所以c的值是1或4．…（13分）16．（13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n＝，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100＝9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000＝9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，则P（A）＝；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法，设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B，则P（B）＝；（讲评时应告诉学生这个概率底是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作、有时法律不能解决感情问题等）（Ⅲ）＞；可以简单直观解释，也可以具体计算如下：设4类案件的均值为，则＝＝＝[+++]＝[+++]＝[++]＜[++]＝．17．（14分）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B＝90°，BE∥CD，且BE＝2CD＝2BC＝2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P﹣ABCD．（Ⅰ）求证AD⊥PB；（Ⅱ）若P A⊥平面ABCD．①求二面角B﹣PC﹣D的大小；②在棱PC上存在点M，满足＝λ（0≤λ≤1），使得直线AM与平面PBC所成的角为45°，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB∥CD，AB＝CD，∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵∠B＝90°，∴AD⊥BE，当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥P A，又AB∩P A＝A，∴AD⊥平面P AB，又∵PB⊂平面P AB，∴AD⊥PB．解：（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），＝（1，1，﹣1），＝（0，1，0），＝（1，0，0），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（1，0，1），设平面PCD的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（0，1，1），设二面角B﹣PC﹣D的大小为θ，则cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，∴θ＝120°．∴二面角B﹣PC﹣D的大小为120°．②设AM与面PBC所成角为α，＝（0，0，1）+λ（1，1，﹣1）＝（λ，λ，1﹣λ），平面PBC的法向量＝（1，0，0），∵直线AM与平面PBC所成的角为45°，∴sinα＝|cos＜＞|＝＝＝，解得λ＝0或．18．（13分）设函数f（x）＝e ax（a∈R）．（I）当a＝﹣2时，求函数g（x）＝x2f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；（Ⅱ）若函数h（x）＝﹣1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，函数f（x）＝e﹣2x，∴函数g（x）＝x2e﹣2x，∴g′（x）＝2xe﹣2x+x2e﹣2x•（﹣2）＝2x（1﹣x）e﹣2x，令g′（x）＝0，解得x＝0或x＝1；∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）是增函数，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数；∴在区间（0，+∞）内g（x）的最大值是g（1）＝e﹣2；（Ⅱ）∵函数h（x）＝﹣1＝x2e﹣ax﹣1，∴h′（x）＝2xe﹣ax+x2（﹣a）e﹣ax＝e﹣ax（﹣ax2+2x），令h′（x）＝0，∵e﹣ax＞0，∴﹣ax2+2x＝0，解得x＝0或x＝（a≠0）；又h（x）在（0，16）内有两个零点，∴h（x）在（0，16）内不是单调函数；∴∈（0，16），解得a＞①；又x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，x∈（，16）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴在（0，16）上h max（x）＝h（）＝e﹣2﹣1；令e﹣2﹣1＞0，解得﹣＜a＜②；又，即，解得a＞ln2③；由①②③组成不等式组，解得ln2＜a＜；∴实数a的取值范围是ln2＜a＜．19．（14分）已知椭圆C：+＝1．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若椭圆C与直线y＝x+m交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值；（Ⅲ）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在椭圆C上，且点A在第一象限，点P 在第二象限，点B与点A关于原点对称，求证：当x12+x22＝4时，三角形△P AB的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C：+＝1，可得a＝2，b＝1，c＝＝1，即有e＝＝；（Ⅱ）将直线y＝x+m代入椭圆方程3x2+4y2＝12，可得7x2+8mx+4m2﹣12＝0，△＝64m2﹣28（4m2﹣12）＞0，解得﹣＜m＜，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，即有|MN|＝•＝，解得m＝±2，满足△＞0；（Ⅲ）证明：直线AB的方程为y＝x，即为y1x﹣x1y＝0，可得P（x2，y2）到直线AB的距离为d＝，|AB|＝2，则S＝d•|AB|＝••2＝|x1y2﹣x2y1|，△P AB由x1＞0，x2＜0，y1＞0，y2＞0，y12＝（4﹣x12），y22＝（4﹣x22），可得y1＝，y2＝，则|x1y2﹣x2y1|＝|x1|y2+|x2|y1＝（|x1|+|x2|）由x12+x22＝4，可得x12＝4﹣x22，x22＝4﹣x12，即有|x1y2﹣x2y1|＝（x12+x22）＝2．故当x12+x22＝4时，三角形△P AB的面积为定值2．20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），（a i，b i∈R+，i＝1，2，3，…，n），记f 0（y）＝0（y≥0），f k（y）＝{b k x k+f k（y﹣a k x k）}（y≥0，1≤k≤n），其中m为不超过的最大整数．（注：﹣1x k+f k﹣1（y﹣a k x k）}表示当x k取0，1，2，3，…，m时，{bb k x k+f k﹣1（y﹣a k x k）中的最大数）已知数对序列P：（2，3），（3，4），（3，p），回答下列问题：（Ⅰ）写出f1（7）的值；（Ⅱ）求f2（7）的值，以及此时的x1，x2的值；（Ⅲ）求得f3（11）的值时，得到x1＝4，x2＝0，x3＝1，试写出p的取值范围．（只需写出结论，不用说明理由）．【解答】解：（Ⅰ）f 1（7）＝{3x i}＝max{0，3，6，9}＝9，当x1＝3时，f1（7）＝9；（7）＝{4x2+f1（7﹣3x2）}＝max{0+f1（7），4+f1（4），8+f1（Ⅱ）f（1）}，x 2＝1时，f1（4）{3x i}＝max{0，3，6}＝6，∴x1＝2时，f1（4）＝6，x 2＝2时，f1（1）＝＝0，∴x1＝0时，f1（1）＝0，∴f2（7）＝max{9，4+6，8+0}＝10，即x2＝1，x1＝2时，f2（7）＝10；（Ⅲ）求得f3（11）的值时，得到x1＝4，x2＝0，x3＝1，4＜p≤4.5．。

2021年北京市朝阳区高三二模理科数学试卷(解析版)2021年北京市朝阳区高三二模理科数学试卷一、单项选择题〔共8小题〕1．集合，，那么＝〔〕A．B．C．D．2．复数〔为虚数单位〕在复平面内对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．执行如下图的程序框图，输出的值为〔〕A．6B．10C．14D．154．非零向量，，“〞是“〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件2页C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在区间〞上是单调递增函数的一个函数可以是〔〕A．B．C．D．6．函数且的最大值为，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．假设每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，那么不同安排方法的种数是〔〕A．B．C．D．8．正方体的棱长为2，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的外表上，且∥平面，那么动点的轨迹所形成的区域面积是〔〕A．B．C．D．二、填空题〔共6小题〕3页9.双曲线的渐近线方程是；假设抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，那么______．10.如图，为⊙外一点，是⊙的切线，为切点，割线与⊙相交于两点，且，为线段的中点，的延长线交⊙于点．假设，那么的长为______；的值是________．11.等边的边长为3，是边上一点，假设，那么的值是______．12.关于的不等式组所表示的平面区域为三角形区域，那么实数的取值范围是_____．13.为了响应政府推进“菜篮子〞工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设表示前年的纯利润〔=前年的总收入－前年的总费用支出－投资额〕，那么_____〔用表示〕；从第_____年开始盈利.4页14.在平面直角坐标系中，以点，曲线上的动点，第一象限内的点，构成等腰直角三角形，且，那么线段长的最大值是_____．三、解答题〔共6小题〕15.在中，角，，的对边分别是，，，，．(Ⅰ)求的值；〔Ⅱ)假设角为锐角，求的值及的面积．16.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为，五个级别规定如下：某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早顶峰时段(早晨5页点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示．〔Ⅰ〕据此估计此人260个工作日中早顶峰时段〔早晨7点至9点〕中度拥堵的天数；〔Ⅱ〕假设此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，根本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间的数学期望．17.如图1，在等腰梯形中，，，，为中点，点分别为的中点．将沿折起到的位置，使得平面平面〔如图2〕．〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求直线与平面所成角的正弦值；6页〔Ⅲ〕侧棱上是否存在点，使得平面?假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．18.函数，．〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕当时，假设曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围．19.在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕假设直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；〔Ⅲ〕设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．7页20.集合，且．假设存在非空集合，使得，且，并，都有，那么称集合具有性质，〔〕称为集合的子集．〔Ⅰ〕当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集；〔Ⅱ〕假设集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，求证：，，都有；〔Ⅲ〕求证：对任意正整数，集合具有性质．8页答案局部1.考点：集合的运算试题解析：所以=。

2016全国二卷理科数学高考真题及答案016年全国高考理科数学试题全国卷2一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知 $z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是(。

)A。

$(-3,1)$。

B。

$(-1,3)$。

C。

$(1,+\infty)$。

D。

$(-\infty,-3)$2、已知集合 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{x|(x+1)(x-2)<0,x\in Z\}$，则 $A\cup B=$ (。

)A。

$\{1\}$。

B。

$\{1,2\}$。

C。

$\{0,1,2,3\}$。

D。

$\{-1,0,1,2,3\}$3、已知向量 $\vec{a}=(1,m)$，$\vec{b}=(3,-2)$，且$(\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{b}$，则 $m=$ (。

)A。

$-8$。

B。

$-6$。

C。

$6$。

D。

$8$4、圆 $x+y-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为 $1$，则 $a=$ (。

)A。

$-\frac{4}{3}$。

B。

$-\frac{3}{4}$。

C。

$3$。

D。

$2$5、如下左图，XXX从街道的 $E$ 处出发，先到 $F$ 处与XXX会合，再一起到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则XXX到老年公寓可以选择的最短路径条数为(。

) A。

$24$。

B。

$18$。

C。

$12$。

D。

$9$6、上左图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(。

)A。

$20\pi$ B。

$24\pi$ C。

$28\pi$ D。

$32\pi$7、若将函数 $y=2\sin^2x$ 的图像向左平移 $1$ 个单位长度，则平移后图象的对称轴为(。

)A。

$x=-(k\in Z)$。

B。

$x=+(k\in Z)$。

C。

$x=-\frac{1}{2}+(k\in Z)$。