数学知识点新人教A版选修(2-2)《导数的几何意义》word教案-总结

Δy Δx.
3．如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x的导数都存在，那么 称f(x)在区间(a，b)内可导．这样对开区间(a，b)内每一个值 x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构 成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的 ________，记为________，简称为________．今后，如不特别 指明某一点的导数，求导数就是指求导函数.
二 求过某点的切线方程
【例2】 求抛物线y＝x2过点(52，6)的切线方
，6)不在抛物线上，先设出切点坐标，求
出切线的斜率，利用等量关系，求出切点坐标，最后写出切线
方程．
【解】 设此切线在抛物线上的切点为(x0，x02)，则
y′|x＝x0＝ lim Δx→0
x0＋ΔΔxx2－x02＝Δlixm→0
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典例剖析 一 求曲线上某点处的切线方程
【例1】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点． 【分析】 先求出函数y＝x3在x＝1处的导数，即切线的 斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
ΔΔyx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝Δlixm→0
(2x＋Δx)＝2x，
∴y′|x＝x0＝2x0.
由切线与直线4x－y＋2＝0平行，
得2x0＝4，∴x0＝2. ∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝4. 故P点的坐标为(2,4)．
切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
2．可以利用导数求曲线的切线方程．由于函数y＝f(x)在x ＝x0处的导数，表示曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．因 此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程可如下求得：

2019-2020学年高中数学 1.1.2导数的几何意义导学案新人教A 版选修2-2学习目标：1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习重点：会求导函数学习难点：根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．课前预习案一，新课导学1．导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一 条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx. 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的____．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝______＝__________________.(2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的____．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是_______．相应地，切线方程为______________________．2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝ ____________________.课内探究案探究点一 导数的几何意义问题1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？探究点二求切线的方程问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？二．合作探究例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．例2 已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．三．当堂检测1已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．教材练习题四．课后反思课后训练案1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8 D．22．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－13．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．。

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5．利用导数研究函数的极值要注意 (1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言 的． (2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能 没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函 数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零 的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点 为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异 号．
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在 x∈[1,2)上，g′(x)<0；在 x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使 g(x)＝0 在[1,3]
g1≥0， 上恰有两个相异的实根，则g2<0，
g3≥0，
解得－2<c≤0.
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专题四 导数与函数、不等式 利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，
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②当 Δ＝0 即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2，有 f′(x)＝0，对其余的 x ＞0 都有 f′(x)＞0.此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． ③当 Δ＞0 即 a＞2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝a－ 2a2－8，x2＝a＋ 2a2－8，0＜x1＜x2. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
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x 0 (0,2) 2 (2，t)
t
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 2
－2
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0. 所以f(x)max＝f(0)＝2. (3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

2019-2020学年高中数学 1.13导数的几何意义导学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】理解曲线的切线的概念, 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题【重点难点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义 一、自主学习要点1 导数的几何意义f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的 相应的切线方程为： 要点2 导数的物理意义指如果物体运动的规律是s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v ＝ 要点3 导函数y ＝f (x )的导函数(导数)是f ′(x )＝y ′＝. 试一试1．f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)与函数f (x )的导数f ′(x )有何区别？二、合作，探究，展示，点评题型一 求曲线上某点处的切线方程例1 求曲线f (x )＝x 3＋2x ＋1在点(1,4)处的切线方程．思考题1 已知曲线y ＝x ＋1x 上一点A (2，52)．求：(1)在点A 处的切线的斜率； (2)在点A 处的切线方程．例2 曲线y ＝x 3在x 0＝0处的切线是否存在？若存在，求其方程．思考题2 曲线y ＝1x在(1,1)处的切线斜率为___ _____，切线倾斜角为________．题型二 求过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝－3x 2＋1过点P (1，－1)的切线方程．思考题3 求抛物线y ＝x 2过点(52，6)的切线方程．题型三 求导函数例4 求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a 、b 为常数)的导数．思考题4 函数f (x )＝1x的导数为( )A.1xB ．1C.1x2D ．－1x2题型四 求过某一点处的导数例5 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．思考题5 已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a .三、知识小结1．位移的导数是速度．速度的导数是加速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点． 3．函数f (x )在点x 0处有导数，则在该点处函数f (x )的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f (x )的曲线在点x 0处有切线，而函数f (x )在该点处不一定可导，如f (x )＝x 在x ＝0处有切线，但它不可导．《导数的概念》课时作业 一、选择题1．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝( )A ．11B ．－11 C.111D ．－1112．函数f (x )在x ＝0可导，则lim h →af h －f ah －a＝( )A ．f (a )B ．f ′(a )C ．f ′(h )D ．f (h )3．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy )，则lim Δx →0Δy Δx＝( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2 4．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f－f －2x2x＝－1，则f ′(1)的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 二、填空题5．一个物体的运动方程为S ＝1－t ＋t 2，其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．6．函数y ＝(3x －1)2在x ＝x 0处的导数为0，则x 0＝________. 7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.8．质点M 按规律s ＝2t 2＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，则质点M 的瞬时速度等于8 m/s 时的时刻t 的值为________．9．已知f (x )＝1x ，则lim Δx →0f ＋Δx －fΔx的值是________．10.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________； limΔx →0f ＋Δx －fΔx＝______.三、解答题11．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．12．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0?13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0f x 0－k －f x 02k的值．14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ， ①29＋t －2 t ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．。