2020版高考数学一轮复习课后限时集训45直线与圆圆与圆的位置关系文含解析北师大版2

[解析] 依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为 y－1＝－1(x－1)， 2
x＋y－1＝0，
x＝－1，
即 x＋2y－3＝0，由
解得
因此所求圆的圆心为(－
x＋2y－3＝0，
y＝2，
1,2)，半径 r＝ －1－12＋2－12＝ 5，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2
＝5.
名师点拨：求圆的方程的两种方法
3．常见圆的方程的设法
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点 过原点
x2＋y2＝r2 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2－r2＝0 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在 y 轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
x－4 3
2＋
33
y－7 3
2＝65；
9
过(－1,1)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为 x2＋y2－16xLeabharlann 2y－16＝0，即x－8 5
2
5
5
＋(y－1)2＝169. 25
3．(2024·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线 x＋y－1＝0 上且与直线 2x－y
－1＝0 相切于点(1,1)的圆的方程是 (x＋1)2＋(y－2)2＝5 .
[解析] 设圆心坐标为 C(a,0)， ∵点 A(－1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， ∴|CA|＝|CB|， 即 a＋12＋1＝ a－12＋9，解得 a＝2， ∴圆心为 C(2,0)， 半径|CA|＝ 2＋12＋1＝ 10， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10. 3．(选择性必修 1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线 3x－4y＋5＝0 相切 的圆的方程为( C ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 [解析] 因为圆心(2，－1)到直线 3x－4y＋5＝0 的距离 d＝|6＋4＋5|＝3，所

课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2018贵州凯里一中二模,4)直线y=-和圆2+y2-4+2y-20=0的位置是()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相离D.相切2.( 2018陕西西安八校联考,3)若过点A(3,0)的直线l与曲线(-1)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为()A.(-)B.C.-D.3.(2018重庆巴蜀中学月考,7)已知直线l;y=-a+a是圆C;(-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.4B.6C. D.24.已知圆M;2+y2-2ay=0(a>0)截直线+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N;(-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d 的最大值为()A.1B.2C.3D.46.已知圆C;2+y2-2+4y=0关于直线3-ay-11=0对称,则圆C中以,-为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.直线y=-+m与圆2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.(,2)B.(,3)C. D.1,8.(2018安徽淮南一模,16)过动点P作圆;(-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.9.设直线y=+2a与圆C;2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.10.(2018湖南长郡中学一模,14)若过点(1,1)的直线与圆2+y2-6-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.综合提升组11.(2018辽宁丹东模拟)圆心为(2,0)的圆C与圆2+y2+4-6y+4=0相外切,则圆C的方程为()A.2+y2+4+2=0B.2+y2-4+2=0C.2+y2+4=0D.2+y2-4=012.(2018湖南衡阳一模,12)若对圆2+y2=1上任意一点P(,y),|3-4y+a|+|3-4y-9|的取值与,y无关,则实数a 的取值范围是()A.a≤-5B.-5≤a≤5C.a≤-5或a≥5D.a≥513.已知圆C;2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.14.(2018云南昆明应性检测,20)已知圆O;2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥轴,垂足为B点,AB中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件;圆心C位于轴正半轴上,与直线3-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.16.已知圆O;2+y2=4,点A(-,0),B(,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.(1)证明;|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点分别为S,T,记△DMN,△DST的面积分别为S1,S2,求的取值范围.参考答案课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A2+y2-4+2y-20=0可化简为(-2)2+(y+1)2=25,故圆心为(2,-1),半径r=5.将(2,-1)代入y=-中,3×2-4×(-1)-10=0,满足直线方程,故直线过圆心且与圆相交.故选A.2.D设直线l的方程为y=(-3),代入圆的方程中,整理得(2+1)2-(62+2)+92=0,则Δ=4(1-32)≥0,解得-≤≤,故选D.3.B∵直线l;y=-a+a是圆C;(-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,∴y=-a+a过圆心C(2,1),∴1=-2a+a,解得a=-1,∴直线l的方程为y=-1,A点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r2=40-4=36,|AB|=6,故选B.4.B圆M的方程可化为2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线+y=0的距离d==a.所以直线+y=0被圆M所截弦长为2=2=a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|==,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.C设P(,y),则2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+.当m=0时,d ma=3.6.D∵圆C;2+y2-2+4y=0关于直线3-ay-11=0对称,∴直线3-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴,-即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d==1,圆C;2+y2-2+4y=0的半径r==,∴圆C中以,-为中点的弦长为2=2=4.故选D.7.D当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.8. 设P(,y),则2+y2=(-3)2+(y-4)2-1,即3+4y=12,所以点P的运动轨迹是直线3+4y=12,所以d min=,则|PQ|min==.9.4π圆C的方程可化为2+(y-a)2=2+a2,直线方程为-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4圆2+y2-6-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r==3,点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d==,所以|AB|的最小值|AB|min=2=2=4.11.D圆2+y2+4-6y+4=0,即(+2)2+(y-3)2=9的圆心为(-2,3),半径为3.设圆C的半径为r.由两圆外切知,圆心距为=5=3+r.所以r=2,圆C的方程为(-2)2+y2=4,即2+y2-4=0.故选D.12.D由2+y2=1可知-5≤3-4y≤5,令3-4y=t,则|t+a|+|t-9|的取值与,y无关,需-a≤t≤9,∴[-5,5]⫋[-a,9],所以a≥5.13.2+3y-4=0以O(0,0),A(2, 3)为直径端点的圆的方程为(-2)+y(y-3)=0,即2+y2-2-3y=0,与圆C;2+y2=4相减得2+3y-4=0,故直线PQ的方程为2+3y-4=0.14.解 (1)设P(,y),则A(,2y).将A(,2y)代入2+y2=4得点P的轨迹E的方程为+y2=1(y≠0).(2)由题意可设直线l方程为=my-,由得(m2+4)y2-2my-1=0.所以所以|AB|=|y1-y2|===2.所以m=±.当m=时,中点纵坐标y 0==,代入=my-1得中点横坐标0=-,斜率为=-.故线段MN 的垂直平分线方程为2+y+=0.当m=-时,同理可得MN 的垂直平分线方程为2-y+=0.所以线段MN 的垂直平分线方程为2+y+=0或2-y+=0.15.解 (1)设圆C ;(-a )2+y 2=r 2(a>0),由题意知解得a=1或a=.又S=πr 2<13,∴a=1,∴圆C 的标准方程为(-1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时,直线l 为=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l ;y=+3,A (1,y 1),B (2,y 2),又l 与圆C 相交于不同的两点,联立得消去y 得(1+2)2+(6-2)+6=0.∴Δ=(6-2)2-24(1+2)=122-24-20>0,解得<1-或>1+.1+2=-,y 1+y 2=(1+2)+6=,=+=(1+2,y 1+y 2),=(1,-3),假设∥,则-3(1+2)=y 1+y 2,解得=∉-∞,1-∪1+,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l.16.解 (1)证明;设AP 的中点为E ,切点为F ,连接OE ,EF (图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.∴点P 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则C 2的方程是+y 2=1.(2)设直线DM 的方程为=my-2(m ≠0).∵MN 为圆O 的直径,∴∠MDN=90°,∴直线DN 的方程为=-y-2,由得(1+m 2)y 2-4my=0,∴y M =,由得(4+m 2)y 2-4my=0,∴y S =,∴=,∴=.∵|DM|=|y M-0|,|DS|=|y S-0|,|DN|=|y N-0|,|DT|=|y T-0|,又∵△DMN,△DST都是有同一顶点的直角三角形, ∴=·=·.设s=1+m2,则s>1,0<<3,∴=4-1+∈4,.。

课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2018贵州凯里一中二模,4)直线y=x-和圆x2+y2-4x+2y-20=0的位置是()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相离D.相切2.( 2018陕西西安八校联考,3)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为()A.(-)B.C.-D.3.(2018重庆巴蜀中学月考,7)已知直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A 作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.4B.6C. D.24.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.46.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以,-为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.(,2)B.(,3)C. D.1,8.(2018安徽淮南一模,16)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.9.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.10.(2018湖南长郡中学一模,14)若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.综合提升组11.(2018辽宁丹东模拟)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,则圆C的方程为()A.x2+y2+4x+2=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0D.x2+y2-4x=012.(2018湖南衡阳一模,12)若对圆x2+y2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y 无关,则实数a的取值范围是()A.a≤-5B.-5≤a≤5C.a≤-5或a≥5D.a≥513.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.14.(2018云南昆明应性检测,20)已知圆O:x2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B点,AB 中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.16.已知圆O:x2+y2=4,点A(-,0),B(,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.(1)证明:|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点分别为S,T,记△DMN,△DST的面积分别为S1,S2,求的取值范围.参考答案课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A x2+y2-4x+2y-20=0可化简为(x-2)2+(y+1)2=25,故圆心为(2,-1),半径r=5.将(2,-1)代入y=x-中,3×2-4×(-1)-10=0,满足直线方程,故直线过圆心且与圆相交.故选A.2.D设直线l的方程为y=k(x-3),代入圆的方程中,整理得(k2+1)x2-(6k2+2)x+9k2=0,则Δ=4(1-3k2)≥0,解得-≤k≤,故选D.3.B∵直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,∴y=-ax+a过圆心C(2,1),∴1=-2a+a,解得a=-1,∴直线l的方程为y=x-1,A点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r2=40-4=36,|AB|=6,故选B.4.B圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d==a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2=2=a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|==,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.C设P(x,y),则x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+.当m=0时,d max=3.6.D∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴,-即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d==1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r==,∴圆C中以,-为中点的弦长为2=2=4.故选D.7.D当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.8. 设P(x,y),则x2+y2=(x-3)2+(y-4)2-1,即3x+4y=12,所以点P的运动轨迹是直线3x+4y=12,所以d min=,则|PQ|min==.9.4π圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r==3,点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d==,所以|AB|的最小值|AB|min=2=2=4.11.D圆x2+y2+4x-6y+4=0,即(x+2)2+(y-3)2=9的圆心为(-2,3),半径为3.设圆C的半径为r.由两圆外切知,圆心距为=5=3+r.所以r=2,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.故选D.12.D由x2+y2=1可知-5≤3x-4y≤5,令3x-4y=t,则|t+a|+|t-9|的取值与x,y无关,需-a≤t≤9,∴[-5,5]⫋[-a,9],所以a≥5.13.2x+3y-4=0以O(0,0),A(2, 3)为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0,即x2+y2-2x-3y=0,与圆C:x2+y2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ的方程为2x+3y-4=0.14.解 (1)设P(x,y),则A(x,2y).将A(x,2y)代入x2+y2=4得点P的轨迹E的方程为+y2=1(y≠0).(2)由题意可设直线l方程为x=my-,由得(m2+4)y2-2my-1=0.所以所以|AB|=|y1-y2|===2.所以m=±.当m=时,中点纵坐标y0==,代入x=my-1得中点横坐标x0=-,斜率为k=-.故线段MN的垂直平分线方程为2x+y+=0.当m=-时,同理可得MN的垂直平分线方程为2x-y+=0.所以线段MN的垂直平分线方程为2x+y+=0或2x-y+=0.15.解 (1)设圆C:(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意知解得a=1或a=.又S=πr2<13,∴a=1,∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-或k>1+.x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+6=,=+=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3),假设∥,则-3(x1+x2)=y1+y2,解得k=∉-∞,1-∪1+,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l.16.解 (1)证明:设AP的中点为E,切点为F,连接OE,EF(图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.∴点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则C2的方程是+y2=1.(2)设直线DM的方程为x=my-2(m≠0).∵MN为圆O的直径,∴∠MDN=90°,∴直线DN的方程为x=-y-2,由得(1+m2)y2-4my=0,∴y M=,由得(4+m2)y2-4my=0,∴y S=,∴=,∴=.∵|DM|=|y M-0|,|DS|=|y S-0|,|DN|=|y N-0|,|DT|=|y T-0|,又∵△DMN,△DST都是有同一顶点的直角三角形, ∴=·=·.设s=1+m2,则s>1,0<<3,∴=4-1+∈4,.。

课时规范练44 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b等于()A.-3B.1C.-3或1D.522.(2020湖南常德一模,文8)已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a 的取值范围为()A.(2-√17,2+√17)B.(2-√17,2)C.(-15,+∞)D.(-15,2)3.(2020广东惠州模拟)圆(x-3)2+(y+2)2=4与圆(x-7)2+(y-1)2=36的位置关系是()A.相切B.内含C.外离D.相交4.过点P(1,1)的直线l将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,其面积分别为S1,S2,当|S1-S2|最大时,直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-y-2=0D.x+y-1=0,则实数a 5.已知直线l:x-√3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+√3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π3的值等于()A.2或10B.4或8C.6±2√2D.6±2√36.过直线l:y=x-2上任意点P作圆C:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,△PAB的面积为.7.(2020浙江绍兴阳明中学高三期中)已知P(x,y)是直线kx+y-3=0(k≠0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是1,则k的值是.8.(2020山西太原五中高三月考)已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心C到直线x+y-m=0(m∈R)的距离.小于√22(1)求m的取值范围;(2)判断圆C与圆D:x2+y2-2mx=0的位置关系.综合提升组9.(2020陕西榆林一模,理10)已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆x 2+y 2-2x-2y+1=0相切,则m+n 的取值范围是( ) A.〖2+2√2,+∞) B.〖2√2-2,+∞) C.〖2,2+2√2〗D.(0,2+2√2〗10.(2020陕西榆林高三调研)已知点P (t ,t-1),t ∈R ,E 是圆x 2+y 2=14上的动点,F 是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为( ) A.2B.52C.3D.411.(2020山东临沂调研)已知圆C 1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=9.点M ,N 分别是圆C 1,圆C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是( ) A.2√5+4B.9C.7D.2√5+212.已知圆C :(x-2)2+y 2=2,直线l :y=kx-2,若直线l 上存在点P ,过点P 引圆的两条切线l 1,l 2,使得l 1⊥l 2,则实数k 的取值范围是 .13.(2020山东潍坊一中月考)已知直线l :x-y+3=0被圆C :(x-a )2+(y-2)2=4(a>0)截得的弦长为2√2,求: (1)a 的值;(2)过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程.创新应用组14.在平面直角坐标系xOy 中,过圆C 1:(x-k )2+(y+k-4)2=1上任一点P 作圆C 2:x 2+y 2=1的一条切线,切点为Q ,则当线段PQ 长最小时,k=( ) A.2B.3C.2√2D.515.(2020江苏南京师大附中高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点M (0,2),N (1,3),直线l 的方程为y=kx. (1)求圆C 的方程;(2)当k=1时,Q 为直线l 上的定点,若圆C 上存在唯一一点P 满足|PO|=√2|PQ|,求定点Q 的坐标; (3)设A ,B 为圆C 上任意两个不同的点,若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点,求实数k 的取值范围.▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁课时规范练44 直线与圆、圆与圆的位置关系1.C 由圆心到切线的距离等于半径,得√12+12=√2,∴|1+b|=2,∴b=1或b=-3,故选C .2.D 由题意知,圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2-a ,则圆心为(1,-1),半径为√2-a ,则2-a>0,解得a<2,圆心到直线x+y-4=0的距离为d=√2=2√2,所以(√2-a )2-(2√2)2<32,解得a>-15,综上所述,a 的取值范围为(-15,2).故选D.3.D 依题意,两圆的圆心坐标分别为(3,-2),(7,1),半径分别为2,6,则两圆的圆心距为√(7-3)2+(1+2)2=5.因为6-2<5<6+2,所以两圆相交.故选D .4.A 因为点P 坐标满足x 2+y 2≤4,所以点P 在圆x 2+y 2=4内,因此,当OP 与过点P 的直线垂直时,|S 1-S 2|最大,此时直线OP 的斜率为k OP =1-01-0=1,所以直线l 的斜率为k=-1,因此,直线l 的方程是y-1=-(x-1),整理得x+y-2=0.故选A .5.B 由∠MPN=π3可得∠MCN=2∠MPN=2π3.在△MCN 中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=π6,可得点C (3,-√3)到直线MN ,即直线l :x-√3y-a=0的距离为2sin π6=1.所以√3×√3)√1+3=1,解得a=4或8.故选B .6.12依据题意作出图像,如下图:因为直线PA 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A , 所以PA ⊥OA ,所以|PA|=√OP 2-OA 2=√OP 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离d=√12+12=√2.此时,|PA|min =√OP min 2-1=√(√2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,|PB|=1,所以△PAB 的面积为S △PAB =12×1×1=12. 7.±1 圆C :x 2+y 2-2y=0的圆心坐标是C (0,1),半径是1.由圆的性质知S 四边形PACB =2S △PBC ,因为四边形PACB 的最小面积是1, 所以△PBC 的最小面积是12. 又S △PBC =12|PB|·|BC|=12|PB|,所以|PB|min =1,所以|PC|min =√12+12=√2. 所以圆心C 到直线kx+y-3=0的距离为√k 2+1=√2,解得k=±1.8.解(1)由x 2+y 2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,故圆心C (1,1).由圆心C (1,1)到直线x+y-m=0(m ∈R )的距离d=√2<√22, 解得1<m<3,故m 的取值范围为(1,3).(2)由(1)知圆C 的圆心C (1,1),半径r 1=1.因为圆D :x 2+y 2-2mx=0的圆心D (m ,0),半径r 2=m ,所以两圆的圆心距|CD|=√(m -1)2+1.因为1<m<3,所以m-1<√(m -1)2+1<m+1,所以圆C 与圆D 相交.9.A 将圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=1,该圆的圆心坐标为(1,1),半径为1,由于直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切, 则√(m+1)+(n+1)=1,化简得m+n+1=mn ,由基本不等式,可得m+n+1=mn ≤(m+n 2)2,即(m+n )2-4(m+n )-4≥0,当且仅当m=n 时,等号成立,因为m>0,n>0,所以m+n>0,解得m+n ≥2+2√2.因此,m+n 的取值范围是〖2+2√2,+∞).故选A. 10.D 如图.依题意得点P (t ,t-1),t ∈R 在直线y=x-1上,设点E 关于直线y=x-1对称的点为E',则点E'在圆x 2+y 2=14关于直线y=x-1对称的圆O 1:(x-1)2+(y+1)2=14上,则|PE|=|PE'|.设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O 2,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤|E'F|,当点P ,E',F 三点共线时取等号. 又|E'F|≤|O 1E'|+|O 1O 2|+|O 2F|=12+2+32=4,当点O 1,O 2在线段E'F 上时取等号. 故|PF|-|PE|的最大值为4.11.B 圆C 1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心E (1,-1),半径为1,圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心F (4,5),半径为3.要使|PN|-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,|PN|最大值为|PF|+3,|PM|的最小值为|PE|-1, 故|PN|-|PM|的最大值是(|PF|+3)-(|PE|-1)=|PF|-|PE|+4.F (4,5)关于x 轴的对称点F'(4,-5),|PF|-|PE|=|PF'|-|PE|≤|EF'|=√(4-1)2+(-5+1)2=5,故|PN|-|PM|的最大值为5+4=9.12.〖0,+∞) 圆心为C (2,0),半径r=√2,设P (x ,y ),因为两切线l 1⊥l 2,如下图,PA ⊥PB ,由切线性质定理,知PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,PA=PB ,所以,四边形PACB 为正方形,所以|PC|=2,则点P 满足(x-2)2+y 2=4,即点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.直线l :y=kx-2过定点(0,-2),直线方程即kx-y-2=0,只要直线与P 点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线l 的距离小于等于半径,即d=√k 2+1≤2,解得k ≥0,即实数k 的取值范围是〖0,+∞).13.解(1)依题意可得圆心C (a ,2),半径r=2,则圆心到直线l :x-y+3=0的距离d=√12+(-1)=√2,由勾股定理可知d 2+(2√22)2=r 2,将r=2,d=√2代入,化简得|a+1|=2,解得a=1,或a=-3,又a>0,所以a=1.(2)由(1)知圆C :(x-1)2+(y-2)2=4,又(3,5)在圆外,①当切线的斜率存在时,设切线方程为y-5=k (x-3),即kx-y-3k+5=0. 由圆心到切线的距离d=r=2,得√k 2+1=2,解得k=512,所以切线方程为5x-12y+45=0.②当过(3,5)的切线斜率不存在,易知直线x=3与圆相切. 综上可知,切线方程为5x-12y+45=0或x=3. 14.A 如图,因为PQ 为圆C 2的切线,所以PQ ⊥C 2Q ,由勾股定理,得|PQ|=√PC 22-1,要使|PQ|最小,则需|PC 2|最小,显然当点P 为C 1C 2与圆C 1的交点时,|PC 2|最小,此时,|PC 2|=|C 1C 2|-1,所以当|C 1C 2|最小时,|PC 2|就最小,|C 1C 2|=√k 2+(-k +4)2=√2(k -2)2+8≥2√2,当k=2时,|C 1C 2|最小,得到|PQ|最小,故选A . 15.解(1)设圆C 的方程为x 2+(y-b )2=r 2(r>0),将M ,N 的坐标代入该方程,得{02+(2-b )2=r 2,12+(3-b )2=r 2,解得{b =3,r =1.所以圆C 的方程为x 2+(y-3)2=1.(2)设点Q (t ,t ),P (x ,y ),由|PO|=√2|PQ|,得√x 2+y 2=√2·√(x -t )2+(y -t )2, 即(x-2t )2+(y-2t )2=4t 2,由题意,可知此圆与圆C 相切,故√(0-2t )2+(3-2t )2=||2t|±1|,解得t=2±√2. 所以点Q 的坐标为(2+√2,2+√2)或(2-√2,2-√2).(3)记以AB 为直径的圆为圆M ,设圆M 上有一动点P 0(x 0,y 0), 设|CM|=d (0≤d<1),则圆M 的半径r M =12|AB|=√1-d 2,于是|CP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√d 2+(1-d 2)+2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√1+2|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ,其中θ为CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角,θ∈〖0,π〗.又|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=d √1-d 2=√d 2(1-d 2)∈[0,12],所以|CP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∈〖0,√2〗.所以点P 0在以C (0,3)为圆心,√2为半径的圆的内部(含边界).又以AB 为直径的圆与直线l 没有公共点,所以点C 到直线l 的距离d>√2,即√1+k 2>√2,解得-√142<k<√142.所以k 的取值范围为(-√142,√142).。