522福利经济学两个基本定理

福利经济学两个基本定理
：瓦尔拉斯均衡与帕雷托有效之间的关系
一、福利经济学的第一定理
：瓦尔拉斯均衡配置一定是帕雷托有效的。

定义：瓦尔拉斯均衡配置WEAs ：
对于一些初始禀赋为e 的经济而言，如果下列式子成立，那么，P*是一个瓦尔拉斯均衡：
))e P ,(P X ),...,e P ,(P (X )X(P I **I 1**1*
这里第i 个分量（代表第i 个消费者）给出价格为p*时消费者I 所需求并获得的n 维商品向量。

这时x(p*)，被称为一个瓦尔拉斯均衡配置WEA 。

瓦尔拉斯均衡是一个n 个价格组成的向量p*，该价格向量使各个市场供求都相等；
瓦尔拉斯均衡配置是一个需求矩阵,它指的是当价格使各个市场都实现均衡时每个消费者对于n 种商品所需求的并获得的商品数量。

引理：瓦尔拉斯均衡配置一定是可行的配置：F(e)X(P*)∈ 引理：设u i 在n +R 上是严格递增的，消费者i 的需求在0≥p 是界
定良好并等于i X ˆ，并且n i +∈R X ，
（1）i
i i i i u ifu X P PX X
X i ˆ)ˆ)((>⇒> （2）i i i i i u ifu X P PX X X i ˆ)ˆ)((≥⇒≥
在WEAs 中，每个消费者所接受的消费束（无差异曲线的交点）是在瓦尔拉斯均衡价格上消费者预算集中最受偏好的消费束。

在WEAs 中如果还存在其他既可行又更受偏好的消费束，那它一定是消费不起的。

对应于不同的瓦尔拉斯均衡价格，可能（）有不同的瓦尔拉均衡配置，这些配置形成WEAs:
定义：W(e)表示对于初始禀赋为e 的任何经济的瓦尔拉斯均衡配置集WEAs 集。

定理核与竞争性经济的均衡
考虑一个交换经济I i i i ∈),(e u ，如果每一个消费者的效用函数u i
在上是严格递增的，那么，每一个瓦尔拉斯均衡配置都处于核内，即)()(e e C W ⊂。

反证法：
设对于W(e)内的一个瓦尔拉斯均衡配置X(P*)，假设
)(e X(P*)C ∉。

因为X(P*)是瓦尔拉斯均衡配置，因而必然是可行的，由引理有)(e X(P*)F ∈。

但由于假设)(e X(P*)C ∉，因而必能找到一个联盟S 和另一个配置Y 使得：
∑∑∈∈=S i i S i i e Y
,(()(**i
i i i i p p u u e X Y ≥严格的。

根据引理，有i i p P X P Y P **,(*≥不等式是严格的。

加总联盟S 中的每个消费者的约束条件得：∑∑∈∈>⇒S
i i S i i e P Y P ** 得证)(e X(P*)C ∈，)()(e e C W ⊂
定理福利经济学第一定理
矛盾
在定理假设下，每个瓦尔拉斯均衡配置都是帕雷托有效的。

证明：因为
)
(e
X(P*)C
，而C(e)是帕雷托有效的（cc）。

福利经济学第一定理告诉我们，不管初始资源配置怎样，分散化的竞争市场可以通过个人自利的交易行为达到瓦尔拉斯均衡，而这个均衡一定是帕雷托有效的配置。

但是，这并没有表明这种均衡配置是“社会福利最大”的
二、福利经济学的第二定理
：任何帕雷托有效的配置可以通过一些初始禀赋以及瓦尔拉斯似的竞争性均衡获得。

定理：考虑一个交换经济I i i i ∈),(e u ，其初始禀赋为∑=>>I
i i 1
0e ，并且每个效用函数u i 满足假设。

设X 是该交换经济的一个帕雷托有效配置，并且禀赋被再分配，使得新的禀赋向量是X 。

那么，X
必定是再分配后产生的交换经济
I i i i X ∈),(u 的一个瓦尔拉斯均衡配置。

证明：X 是帕雷托有效的因而是可行的：∑∑
==>>=I
i i I i i 110e X 由定理，交换经济
I i i i X ∈),(u 满足瓦尔拉斯均衡存在性的条件，因而必有一个瓦尔拉斯均衡配置X ˆ。

现在只需证明X X
=ˆ。

由于在瓦尔拉斯均衡配置中每个消费者的需求都实现了效用最大化，因而一定有：
由于
X ˆ是一个均衡配置，因而一定是可行的，即∑∑∑=====I i i I i i I i i 1
11ˆe X X ，因而X ˆ对于原经济I i i i ∈),(e u 也是可行的。

X
ˆ对于原经济来说，1、是可行的，2X ˆ不比原来的帕雷托有效配置X 差。

但是，既然X
是帕雷托有效的，那么
假设对于某些消费者来说，X X
≠ˆ，那么在再分配后的新经济
I i i i X ∈),(u 中，这些消费者可以在消费计划X X
与ˆ中取一个平均数，由效用函数的严格拟凹性可知，平均后的新消费计划所对应的效用)}(),ˆ(m in{))1(ˆ(i i i i i i i u u t t u x x x x >-+，而
，因而i X ˆ不是新交换经济中消费者效用最大化的消费计划，这与前面说过的i
X ˆ是i 的效用最大化的需求矛盾。

因而必有X X
=ˆ。

第二福利定理表明：1、如果我们希望实现某种帕雷托有效的配置（由社会福利函数产生），那么这种帕雷托有效配置是否可以通过自发的分散决策的市场机制来实现第二福利定理的回答是肯定的，即市场机制加上适当的再分配，可以实现想要的帕雷托有效配置。

2、第二福利定理隐含了价格的功能。

因为为了支持X 作为一个瓦尔拉斯均衡配制而产生，必须有一个瓦尔拉斯均衡价格P 。

推论：在前面定理的假设下，如果X 是帕雷托有效配置，那么
由初始禀赋向任何)*F(e e ∈进行再配置，使得对于所有的i ，
i *i PX Pe =，那么，对于一些瓦尔拉斯均衡价格P ，X 是一个瓦尔拉斯有效配置WEA.。