2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-4数列求和 含解析 精品

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届浙江模拟)不等式|2x －1|≤5的解集为( )A ．(－∞，－2]B ．(2,3]C ．[3，＋∞)D ．[－2,3]解析：不等式|2x －1|≤5，即－5≤2x －1<5，求得－2≤x ≤3，故选D. 答案：D2．(2018届淄博模拟)函数f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|的最大值为( )A ．－1B ．1C ．4 033D ．－4 033解析：∵f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|≤|x ＋2 017－x ＋2 016|＝4 033，∴函数f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|的最大值为4 033，故选C.答案：C3．(2018届河西区模拟)若存在实数x ，使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[－2,2] C. [－2,3] D. [－2,4]解析：由|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，不等式|x －a |＋|x －1|≤3有解，可得|a －1|≤3，即－3≤a －1≤3，求得－2≤a ≤4，故选D. 答案：D4．(2018届和平区模拟)若不等式|x －1|＋|x ＋m |≤4的解集非空，则实数m 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－3,5]C ．[－5,3]D ．[3,5]解析：∵不等式|x －1|＋|x ＋m |≤4的解集非空，|x －1|＋|x ＋m |≥|1＋m |， ∴|1＋m |≤4，∴－4≤m ＋1≤4，解得－5≤m ≤3，故选C. 答案：C5．(2017届河西区三模)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：由|ax －2|<3，得－3<ax －2<3，故－1<ax <5，由于不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，故a ＝－3，故选D.答案：D6．(2017届赣州期末)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．2或－4D ．4或－2解析：∵函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |≥|(x ＋1)－(x ＋a )|＝|a －1|的最小值为3，∴|a －1|＝3，解得a ＝4或a ＝－2，故选D.答案：D7．(2017届滨州一模)不等式|x ＋1|－|x －2|>1的解集为________．解析：①当x >2时，不等式|x ＋1|－|x －2|>1可化为x ＋1－x ＋2>1，恒成立； ②当－1≤x ≤2时，原不等式可化为x ＋1＋x －2>1，解得x >1，∴1<x ≤2；③当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋x －2>1，无解．综上可知原不等式的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)8．(2017届德州二模)关于x 的不等式|x －2|＋|x －8|≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值为________．解析：由绝对值的性质得f (x )＝|x －2|＋|x －8|≥|(x －2)－(x －8)|＝6，所以f (x )最小值为6，从而6≥a ，解得a ≤6，因此a 的最大值为6.答案：69．(2017届乐山一摸)已知函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12，令f (x )＝0，解得x ＝－13或x ＝3. ∴f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－13，或x >3. (2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，即f (x 0)<4a －2a 2有解，由(1)可得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3×12－1＝－52，故－52<4a －2a 2，解得－12<a <52.10．(2017届西安一模)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<x ＋1；(2)若对于x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解：(1)不等式f (x )<x ＋1，等价于|2x －1|<x ＋1，即－x －1<2x －1<x ＋1， 解得0<x <2，故不等式f (x )<x ＋1的解集为(0,2)．(2)∵|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，∴f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|(2y ＋1)|≤2×13＋16<1.[能 力 提 升]1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1.2．(2017届合肥质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎨⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x ≤4.2x －6，x >4.当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，令2x －6≤5，得 4<x ≤112.故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤112. 3．(2017届西安质检)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |，a ∈R . (1)求证：当a ＝－12时，不等式ln f (x )>1成立；(2)关于x 的不等式f (x )≥a 在R 上恒成立，求实数a 的最大值．解：(1)证明：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2，x <－12，3，－12≤x ≤52，2x －2，x >52，画出草图，分析可得函数f (x )的最小值为3，从而f (x )≥3>e ， 所以ln f (x )>1成立．(2)由绝对值不等式的性质得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52－(x －a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －52，所以f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ， 从而⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ≥a ，解得a ≤54. 因此a 的最大值为54.4．(2018届铁东区模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|.(1)求不等式f (x )<2的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a －a 22有解，求a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥1，3x ，－12<x <1，－x －2，x ≤－12.当x ≥1时，不等式化为x ＋2<2，解得x <0，可得x ∈∅；当－12<x <1时，不等式化为3x <2，解得x <23，可得－12<x <23；当x ≤－12时，不等式化为－x －2<2，解得x >－4，可得－4<x ≤－12；综上可得，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，23. (2)关于x 的不等式f (x )≤a －a 22有解，即为f (x )min ≤a －a 22，由x ≥1时，x ＋2≥3，－12<x <1时，－32<3x <3，x ≤12时，－x －2≥－32，可得f (x )min ＝－32.即有a －a 22≥－32，解得－1≤a ≤3，所以a 的取值范围为[－1,3]．。

课时跟踪训练(三十一)[基础巩固]一、选择题1．(2018·湖南衡阳二十六中期中)在等差数列{a n }中，a 3＝1，公差d ＝2，则a 8的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12[解析] a 8＝a 3＋5d ＝1＋5×2＝11，故选C. [答案] C2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3[解析] 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.[答案] B3．(2018·湖北武汉调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.56[解析] 因为S 5＝3(a 2＋a 8)，所以5a 1＋10d ＝3(2a 1＋8d )，即a 1＝－14d ，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝－14d ＋4d －14d ＋2d＝56.[答案] D4．(2017·安徽合肥二模)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54 C.413D.134[解析] 由题意，得1a 1＝1，1a 4＝14，所以等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n ＝1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A.[答案] A5．(2017·山西太原一模)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( )A ．8B ．6C ．4D ．3[解析] 由等差数列的性质可知2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6×2a 6＝36，得a 6＝3，故选D.[答案] D6．(2018·辽宁鞍山一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9[解析] 因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝a 2m .根据等差数列的性质得2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝38，所以S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m .将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.故选C.[答案] C 二、填空题7．(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d )2＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝10.解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.[答案] 208．(2018·广东深圳中学月考)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 取到最大值的n 等于________．[解析]设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 3＝7，2a 4＝10，故d＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7－2(n －3)＝13－2n .令a n >0，得n <6.5，所以在等差数列{a n }中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使S n 取到最大值的n 的值为6.[答案] 69．(2017·辽宁师大附中期末)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.[解析] 在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.[答案] 5641 三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12，证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．[证明] ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1， ∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. ∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)． 由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列．[能力提升]11．(2017·河南百校联盟质监)等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 2016＝2016，且S 20162016－S 1616＝2000，则a 1等于( )A ．－2016B ．－2015C ．－2014D ．－2013[解析] 解法一：因为S n ＝n (a 1＋a n )2，所以S n n ＝a 1＋a n 2.因为S 20162016－S 1616＝2000，所以a 2016－a 162＝2000d 2＝2000，所以d ＝2.又因为a 2016＝2016，所以a 1＋(2016－1)×2＝2016，解得a 1＝－2014，故选C.解法二：因为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝d 2n ＋a 1－d2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，以d 2为公差的等差数列．所以S 20162016－S 1616＝2000×d2＝2000，所以d ＝2.所以a 2016＝a 1＋(2016－1)×2＝2016，所以a 1＝－2014.故选C.解法三：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(2016－1)d ＝2016，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1＋2016－12d －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1＋16－12d ＝2000，解得⎩⎨⎧a 1＝－2014，d ＝2，故选C.[答案] C12．(2018·黑龙江齐齐哈尔月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .∵a 6＋a 7＝a 3＋a 10>0，即2a 1＋11d >0，且a 6a 7<0，a 1>0，∴a 6>0，a 7<0.∴d ＝a 7－a 6<0.又∵a 7＝a 1＋6d <0，∴2a 1＋12d <0.当S n ＝(a 1＋a n )·n2＝[2a 1＋(n －1)d ]·n2>0时，2a 1＋(n －1)d >0.由2a 1＋11d >0,2a 1＋12d <0知n －1最大为11，即n 最大为12.故选C.[答案] C13．(2016·长安一中月考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[解析] ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.[答案] 814．(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知数列{a n }是各项为正且首项为1的等差数列，S n 为其前n 项和，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋8a n ＋1的最小值是________． [解析] 设数列{a n }的公差为d (d >0)， 即有a n ＝1＋(n －1)d ，S n ＝n ＋12n (n －1)d ， S n ＝12dn 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12d n ，由于数列{S n }也为等差数列，可得1－12d ＝0，即d ＝2， 即有a n ＝2n －1，S n ＝n 2，则S n ＋8a n ＋1＝n 2＋82n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋8n ≥12·2·n ·8n ＝22，当且仅当n ＝22取得等号，由于n 为正整数，即有n ＝2或3取得最小值．当n ＝2时，取得3；n ＝3时，取得176.故最小值为176.[答案] 17615．(2017·河南南阳期终质量评估)设f (x )＝axx ＋a (a >0)，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，又b n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)证明：a n ＋1＝f (a n )＝a ·a na n ＋a ，所以1a n ＋1＝a n ＋a a ·a n ＝1a n ＋1a ， 即1a n ＋1－1a n ＝1a ，又a 1＝1，所以1a 1＝1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1a 的等差数列． 所以1a n＝1＋(n －1)1a ＝n ＋a －1a .所以a n ＝an ＋a －1.(2)b n ＝a n ·a n ＋1＝a n ＋a －1·an ＋a＝a 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋a －1－1n ＋a ， 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝a 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a －11＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11＋a －12＋a ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1＋a －1n ＋a ＝a 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a －1n ＋a ＝a 2·n ＋a －a a (n ＋a )＝na n ＋a ， 即数列{b n }的前n 项和为nan ＋a.16．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．[解] ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎨⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎨⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎨⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225， ∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.[延伸拓展]已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)解法一：假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列， 则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23. ∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1. 事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为首项是2，公差是1的等差数列．解法二：假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列． 设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列， 则有2b n ＋1＝b n ＋b n ＋2(n ∈N *)． ∴2×a n ＋1＋λ2n ＋1＝a n ＋λ2n ＋a n ＋2＋λ2n ＋2.∴λ＝4a n ＋1－4a n －a n ＋2 ＝2(a n ＋1－2a n )－(a n ＋2－2a n ＋1) ＝2(2n ＋1－1)－(2n ＋2－1)＝－1.综上可知，当λ＝－1时，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为首项是2、公差是1的等差数列．。

2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．82．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．93．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．634．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．45．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C．12，D．23，＋∞6．(多选)已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋a n＋n，则下列说法中正确的是()A．a n＝n(n＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D．数列{a n}的第50项为25507．(多选)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2nS4n为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列”．则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．202011．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋1412．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：A设{a n}的公差为d，根据题意得a23＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{a n}的前6项和为S6＝6a1＋6×52d＝1×6＋6×52×(－2)＝－24．2．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：C∵1＋2＋22＋…＋2n－1为公比为2，首项为1的等比数列的前n项和S n，∴S n＝12－1(2n－1)＝2n－1>128＝27，∴n≥8，∴n的最小值为8．故选C．3．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．63解析：D因为log2a n＋1＝1＋log2a n，所以log2a n＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S6＝a1(1－26)1－2＝26－1＝63．故选D．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．4解析：A显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝a1·(q n－1)q－1＝a1q－1·q n－a1q－1＝4n＋b，所以b＝－1．5．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C ．12，D ．23，＋∞解析：D设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－14＝<23．因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，所以k ≥23．故k 的取值范围是23，＋D ．6．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是()A ．a n ＝n (n ＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D ．数列{a n }的第50项为2550解析：AC因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1＋n ，即a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，a 1＝1也适合此式，所以a n ＝n (n ＋1)2，a 50＝1275，A 正确，D 错误；1a n ＝2n(n ＋1)＝2020项和S 2020＝－12＋12－13＋…＋12020－＝40402021，B 错误，C 正确．故选A 、C ．7．(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n解析：BC对于A ，S n ＝(1＋n )n 2，S 2n ＝n (1＋2n )，S 4n ＝2n (1＋4n )，所以S2n S 4n ＝n (1＋2n )2n (1＋4n )＝1＋2n 2(1＋4n )不为常数，故A 错误；对于B ，由并项求和法知：S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 正确；对于C ，S n ＝2＋4n －22×n ＝2n 2，S 2n ＝8n 2，S 4n ＝32n 2，所以S 2n S 4n ＝14，故C 正确；对于D ，S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，S 2n ＝2(4n －1)，S 4n ＝2(16n －1)，所以S2n S 4n ＝4n －116n －1＝14n ＋1不为常数，故D 错误．故选B 、C ．8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．解析：S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1．又a n ＝2n ，∴S n－na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5．答案：59．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d a 1＋10d ＝20，1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得1＋2d ＝4，1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，n 为偶数，n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2)＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020解析：D设{a n }的公差为da 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n－1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020．11．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋14解析：ABD由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n ＋1－a n ＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n－1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1(a n －1＋1)＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n 1＝22n－1n ＝12×32n ，所以A n B n＝32an ＋1<32×12×32n ＝32n ＋14，故D 正确．故选A 、B 、D ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1．(2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1，3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n＝1－3n 1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．证明：二项展开式的通项为T k ＋1＝C －k＝C －k x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，得展开式的常数项为a 1＝12．可选择的条件为①或②或③：若选择①：在S n ＝－a n ＋t 中，令n ＝1，得t ＝1，所以S n ＝－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1＋1．两式相减得a n ＝12a n －1，故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择②：由(n ＋1)b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝nn ＋1，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1b 1＝1n (n ≥2)，n ＝1时也满足，则a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n …1－1n ＋1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择③：由题意得3a 2n ＋1－3a 2n ＝－(a n ＋1＋a n )，得a n ＋1－a n ＝－13或a n ＋1＋a n ＝0，又a 1＝12，当a n ＋1＋a n ＝0时，有S n n 为偶数，n 为奇数，所以S n <1，当a n ＋1－a n ＝－13时，有S n ＝n 2－n (n －1)6＝－16(n 2－4n )＝－16(n －2)2＋23，当n ＝2时，S n 有最大值，为23<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．。

课时跟踪检测（三十六） 数列求和1．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选 A ∵a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.故选A.2．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n＝(－1)n(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.3．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B ∵a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3×21 009－3.故选B.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，则其前20项和为( )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×20＋12－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520.5．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝( )A.n n ＋12B ．－n n ＋12C ．(－1)n ＋1n n ＋12D ．以上均不正确解析：选C 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n23＋2n －12＝－n n ＋12；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋2n －1－1]2＋n 2＝n n ＋12.综上可得，原式＝(－1)n ＋1n n ＋12.6．(2019·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *)，则T 2 018＝( )A.4 0342 018 B ．2 0172 018 C.4 0362 019D ．2 0182 019解析：选C 由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝n n ＋12，所以1S n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2( 1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019，故选C. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.解析：∵数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，∴S n －1＝n 2－n ＋1(n ≥2)，两式作差得到a n ＝2n (n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.∴4a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1(n ≥2)，∴T n ＝13＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝56－1n ＋1. 答案：56－1n ＋18．(2019·安徽十大名校联考)在数列{a n }中，a 1＝－2，a 2＝3，a 3＝4，a n ＋3＋(－1)na n ＋1＝2(n ∈N *)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 20的值为________．解析：由题意知，当n 为奇数时，a n ＋3－a n ＋1＝2，又a 2＝3，所以数列{a n }中的偶数项是以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝10×3＋10×92×2＝120.当n 为偶数时，a n ＋3＋a n ＋1＝2，又a 3＋a 1＝2， 所以数列{a n }中的相邻的两个奇数项之和均等于2，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 17＋a 19＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋…＋(a 17＋a 19)＝2×5＝10，所以S 20＝120＋10＝130.答案：1309．(2019·益阳、湘潭调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019的值是________．解析：由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n＝2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1n －1n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2－12 018＝4 0352 018. 答案：4 0352 01810．(2019·大连模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{n ＋a n }的前n 项和，求T n . 解：(1)由a n ＋1＝3S n ＋1， 得当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝4，a 2a 1＝4，所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝n 1＋n2＋1×1－4n1－4＝n ＋n 22＋4n －13.11．(2019·广州调研)已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4na n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4，①所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2，n ∈N *)，②①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2，n ∈N *)，所以a n ＝14n (n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时也适合上式，故a n ＝14n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝4na n 2n ＋1＝12n ＋1，所以b n b n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3 ＝n 6n ＋9. 12．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ， 由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.。

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

课时跟踪检测（三十二） 数列求和(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49D ．56解析：选C 设S n ＝An 2＋Bn ，由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( )A ．16B ．20C ．33D ．120解析：选C 由已知得a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.4.若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n ＞0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知数列{a n }为“积增数列”，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有( )A ．S n ≤2n 2＋3B ．S n ＞n 2＋4nC ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ＞n 2＋3n解析：选D 由题意知a n ＞0，a n ≠a n ＋1，∴a 2n ＋a 2n ＋1＞2a n a n ＋1.∵a n a n ＋1＝n ＋1，∴{a n a n＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝(2＋n ＋1)n 2＝(n ＋3)n 2，∴数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和S n ＞2×(n ＋3)n2＝(n ＋3)n ＝n 2＋3n .5.(2018·湘潭模拟)已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 023解析：选C ∵2n ＋12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝n ＋1－12n ，∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210， 又m >T 10＋1 013， ∴整数m 的最小值为1 024.6.数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n ＝________.解析：利用分组求和法，可得S n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2－12n ＋1.答案：n 2－12n ＋17．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n . 答案：n 2＋n8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ＋1－1的前n 项和T n ＝________.解析：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－(n －1)2，n ≥2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2，∴a n ＝2n －1. ∴1a n ＋1－1＝1(2n ＋1)2－1＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4n ＋4. 答案：n4n ＋49.(2018·沈阳质检)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，首项a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a 22＝a 1a 4， 即(1＋d )2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d ≠0，∴d ＝1，可得a n ＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋2n ，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n (n ＋1)2＋2n ＋1－2. 10．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S nn ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 而a 1＝1满足上式， 所以a n ＝4n －3，n ∈N *. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n (4n －3)．当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ；当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为偶数，－2n ＋1，n 为奇数.B 级——拔高题目稳做准做1．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n －1C.1－4n 3D.4n －13解析：选B 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3(1－4n )1－4＝4n－1.2.(2018·湖北四地七校联考)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，且b n ＝a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 24＝( ) A ．294 B ．174 C ．470D ．304解析：选D ∵na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)， ∴a n ＋1n ＋1－a nn＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差与首项都为1的等差数列．∴a nn ＝1＋(n －1)×1，可得a n ＝n 2. ∵b n ＝a n cos2n π3，∴b n ＝n 2cos 2n π3， 令n ＝3k －2，k ∈N *， 则b 3k －2＝(3k －2)2cos2(3k －2)π3＝－12(3k －2)2，k ∈N *， 同理可得b 3k －1＝－12(3k －1)2，k ∈N *，b 3k ＝(3k )2，k ∈N *.∴b 3k －2＋b 3k －1＋b 3k ＝－12(3k －2)2－12(3k －1)2＋(3k )2＝9k －52，k ∈N *，则S 24＝9×(1＋2＋…＋8)－52×8＝304.3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，S n ＋1－S n ＝3na n(n ∈N *)，则S 2 018＝________.解析：依题意得a n ＋1＝3n a n (n ∈N *)，所以a 2＝3a 1＝3，由a n ＋1＝3n a n(n ∈N *)得a n ＋2＝3n ＋1a n ＋1(n∈N *)，两式相除得a n ＋2a n ＝3，所以数列{a 2n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，数列{a 2n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以S 2 018＝a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1×(1－31 009)1－3＋3×(1－31 009)1－3＝2·31 009－2.答案：2·31 009－24.(2018·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.解析：因为a n ＋1a n ＝2·3n2·3n －1＝3，且a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 答案：12－13n ＋1－15.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T nK n ，求证：c n ＋1＞c n (n ∈N *)．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝72，d ＝0(舍去)，所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2. 又b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝4， 所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明：因为a n ·b n ＝(n ＋1)·2n ，所以K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ， ①所以2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，所以K n ＝n ·2n ＋1.则c n ＝S n T n K n ＝(n ＋3)(2n－1)2n ＋1， c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2＞0， 所以c n ＋1＞c n (n ∈N *)．6.(2018·山西太原二模)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，且4S n ＝a n ·a n ＋1，在数列{b n }中，b 1＝14，且b n ＋1＝nb n (n ＋1)－b n，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝a n213b n ＋23(n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，由题意，得a 2＝4. 当n ≥2时，4S n ＝a n ·a n ＋1,4S n －1＝a n －1·a n ， 两式相减，得4a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)． ∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4，∴{a n }的奇数项和偶数项是分别以4为公差的等差数列． 当n ＝2k －1，k ∈N *时，a n ＝a 2k －1＝4k －2＝2n ； 当n ＝2k ，k ∈N *时，a n ＝a 2k ＝4k ＝2n . ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由已知得1b n ＋1＝n ＋1nb n －1n ，即1(n ＋1)b n ＋1＝1nb n －1n (n ＋1)，∴1nb n－1(n －1)b n －1＝－⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，1(n －1)b n －1－1(n －2)b n －2＝－⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1，…12b 2－1b 1＝－⎝⎛⎭⎫1－12，∴1nb n ＝3n ＋1n . ∴b n ＝13n ＋1(n ≥2)，n ＝1时也适合， ∴b n ＝13n ＋1(n ∈N *)， ∴c n ＝n 2n .∴T n ＝121＋222＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②，得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1 ＝1－12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n.。

课时跟踪训练(五十四)[基础巩固]一、选择题1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件[解析]　由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.[答案]　D2．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A. B. C. D.15253545[解析]　记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 的概率的并集．P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝＋＋＝.15151535[答案]　C3．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A ．0.20B ．0.60C ．0.80D ．0.12[解析]　该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为0.20＋0.60＝0.80.[答案]　C4．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5；43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是( )A. B. C. D.16131223[解析]　根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为＝，由频226613率估计概率得P ＝.13[答案]　B5．(2017·广东深圳一模)袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )A. B. C. D.14121323[解析]　从四个球中随机选取三个球，基本事件总数n ＝4，所选取三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有(2,3,4)，(2,4,6)共2个．所以所求概率P ＝＝，故选B.2412[答案]　B6．(2017·江西九江一模)掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为( )A. B. C. D.51612581116[解析]　掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n ＝24＝16，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数包含的基本事件为有2次正面向上，3次正面向上和4次正面向上，其个数为6＋4＋1＝11，∴出现正面向上的次数不少于反面向上的概率P ＝.1116[答案]　D 二、填空题7．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为__________．[解析]　因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.[答案]　0.38．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是， 现从中171235任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．[解析]　从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为＋＝.1712351735[答案]　17359．一只不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，715115则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．[解析]　由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因而取得两个同色球的概率为P ＝＋＝.715115815由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件．故至少取得一个红球的概率P (A )＝1－P (B )＝.1415[答案] 8151415三、解答题10．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12该射击队员射击一次，求：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．[解]　记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N*，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得：P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”．B∴P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.B[能力提升]11．(2017·河南平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为( )A. B. C. D.944254435443744[解析]　白球没有减少的情况有：①抓出黑球，放入任意球，概率为.②抓58出白球放入白球，概率为×＝，所求事件概率为：＋＝.故选C.3851115885815883544[答案]　C12．(2017·山东烟台调研)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回的每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A. B. C. D.132164332364[解析]　从8个球中有放回地取2次(每次取一个球)，所取两球的编号共有8×8＝64种，其中两编号和不小于15的有3种：(7,8)，(8,7)，(8,8)．则所求概率P ＝，故选D.364[答案]　D13．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为__________．[解析]　因为一枚硬币连掷5次，没有正面向上的概率为，所以至少一次125正面向上的概率为1－＝.1253132[答案]　313214．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是________．[解析]　基本事件的总数为10×9＝90(个)，甲、乙二人均抽到判断题的基本事件的个数是4×3＝12，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1－＝.12901315[答案]　131515．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中13512512任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？[解]　从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 彼此互斥，所以有P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝，P (D ＋C )＝P (D )＋P (C )＝，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )512512＋P (D )＝1－P (A )＝1－＝，1323解得P (B )＝，P (C )＝，P (D )＝.141614故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，.14161416．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)“3只球颜色全相同”的概率．(2)“3只球颜色不全相同”的概率．[解]　(1)“3只球颜色全相同”包括“3只全是红球”(事件A )，“3只全是黄球”(事件B )，“3只全是白球”(事件C )，且它们彼此互斥，故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A ∪B ∪C ，又P (A )＝P (B )＝P (C )＝，127故P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝.19(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D ，则事件为“3只球颜色全相同”，D 又P ()＝P (A ∪B ∪C )＝.所以P (D )＝1－P ()＝1－＝，故“3只球颜色不全D 19D 1989相同”的概率为.89[延伸拓展]若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，则实数a 的取值范围为__________．[解析]　因为随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，所以Error!即Error!解得<a ≤.4332，3 2 ][答案]　(4 3。

小中高 精品 教案 试卷 制作不易 推荐下载 1 课时跟踪训练(三十三) 数列求和 [基础巩固] 一、选择题 1．(2018·湖南师大附中月考)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，

Sn为数列{an}的前n项和，则S3－S2S5－S3的值为( )

A．2 B．3 C．－2 D．－3 [解析] 设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d. 因为a1、a3、a4成等比数列， 所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，解得：a1＝－4d.

所以S3－S2S5－S3＝a1＋2d2a1＋7d＝2，故选A. [答案] A 2．(2017·河南百校联盟质量监测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝－20，则－6a4＋3a5＝( ) A．－20 B．4 C．12 D．20

[解析] 设{an}的公差为d，∵S5＝a1＋a52＝－20，∴a1＋a5＝－8，∴a3＝－4.又－6a4＋3a5＝－6(a3＋d)＋3(a3＋2d)＝－3a3＝12.选C. [答案] C

3．已知等比数列{an}的首项为1，若4a1,2a2，a3成等差数列，则数列1an的前5项和为( )

A.3116 B．2 C.3316 D.1633 [解析] 设数列{an}的公比为q，则有4＋q2＝2×2q，解得q＝2，所以an＝2n－1.

1an＝12n－1，所以S5＝1－1251－12＝3116.故选A.

[答案] A 4．已知数列{an}是等差数列，a1＝tan225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－1)nan}的前n项和，则S2018＝( ) A．2018 B．－2018 C．3027 D．－3027 [解析] 由题意得a1＝1，a5＝13，∵{an}是等差数列，∴公差d＝3，∴an＝3n－2，∴S2018小中高 精品 教案 试卷 制作不易 推荐下载 2 ＝－1＋4－7＋10－13＋17＋…－6049＋6052＝3×20182＝3027，选C. [答案] C 5．(2017·安徽安庆模拟)已知数列{an}满足an＋2＝－an(n∈N＋)，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的前2017项的和为( ) A．2 B．－3 C．3 D．1 [解析] ∵an＋2＝－an＝－(－an－2)＝an－2，n>2，∴数列{an}是以4为周期的周期数列．S2017

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2 C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案：D2．(2017届福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 017＝( )A ．1B ．0C ．2 017D ．－2 017解析：∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 017＝a 1＝1.答案：A3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n －1解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n ＝2n .答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时，a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为选项C.答案：C5．(2018届衡水中学检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，∴193≤k ≤223. ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 答案：B6．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2>|a 1|不成立，即a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B7．(2017届济宁模拟)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56B.65C.130D ．30解析：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a5＝5×(5＋1)＝30.答案：D8．在数列{a n}中，已知a1＝a，a2＝b，a n＋1＋a n－1＝a n(n≥2)，则a2 016等于() A．a B．bC．b－a D．a－b解析：通过计算数列的前12项可知，数列的周期为6，而2 016＝6×336，∴a2 016＝a6＝a－b.答案：D9．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n∈N*)，则数列{na n}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项解析：∵S n＝n2－10n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－11，当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴a n＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝na n＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝114，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值，于是数列{na n}中数值最小的项是第3项．答案：B10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a2n－1－1(n>1)，则a2 017＝________，|a n ＋a n＋1|＝________(n>1)．解析：由a1＝1，a n＝a2n－1－1(n>1)，得a2＝a21－1＝12－1＝0，a3＝a22－1＝02－1＝－1，a4＝a23－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n>1，n为奇数时a n＝－1，n为偶数时a n＝0，∴a2 017＝－1，|a n＋a n＋1|＝1.答案：－1 111．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…，中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：1012．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .[能 力 提 升]1．(2018届山东师大附中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝________.解析：a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝78－56＝124答案：1242．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3； 由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…， a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2，当n ＝1时也成立．综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.3．(2017届甘肃诊断性考试)已知数列{a n }满足a 1＝8999，a n ＋1＝10a n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19，T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求证：T n <12.证明：(1)由a n ＋1＝10a n ＋1，得a n ＋1＋19＝10a n ＋109＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19，即a n ＋1＋19a n ＋19＝10.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，其中首项为a 1＋19＝100，公比为10，所以a n ＋19＝100×10n －1＝10n ＋1，即a n ＝10n ＋1－19. (2)由(1)知b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19＝lg 10n ＋1＝n ＋1，即1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2. 所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12.。

∵[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017 届浙江模拟)不等式|2x －1|≤5 的解集为()A ．(－∞，－2]C ．[3，＋∞)B ．(2,3]D ．[－2,3]解析：不等式|2x －1|≤5，即－5≤2x －1<5，求得－2≤x ≤3，故选 D.答案：D2．(2018 届淄博模拟)函数 f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|的最大值为()A ．－1C ．4 033B ．1D ．－4 033解析： f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|≤|x ＋2 017－x ＋2 016|＝4 033，∴函数 f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|的最大值为 4 033，故选 C.答案：C3．(2018 届河西区模拟)若存在实数 x ，使|x －a |＋|x －1|≤3 成立，则实数 a的取值范围是()A ．[－2,1]C. [－2,3]B ．[－2,2]D. [－2,4]解析： 由|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，不等式 |x －a |＋|x －1|≤3有解，可得|a －1|≤3，即－3≤a －1≤3，求得－2≤a ≤4，故选 D.答案：D4．(2018 届和平区模拟)若不等式|x －1|＋|x ＋m |≤4 的解集非空，则实数 m的取值范围是()A ．[－5，－3]C ．[－5,3]B ．[－3,5]D ．[3,5]解析：∵不等式|x －1|＋|x ＋m |≤4 的解集非空，|x －1|＋|x ＋m |≥|1＋m |，∴|1＋m |≤4，∴－4≤m ＋1≤4，解得－5≤m ≤3，故选 C.答案：C5．(2017 届河西区三模)若关于 x 的不等式|ax －2|<3 的解集为⎨x －3<x <3 ⎬，⎩ 由于不等式的解集是⎨x －3<x <3 ⎬，故 a ＝－3，故选 D.⎩⎧⎪ ⎪ 5 1 ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎭则 a ＝()A ．－2C ．3B ．2D ．－3解析：由|ax －2|<3，得－3<ax －2<3，故－1<ax <5，⎧⎪ ⎪ 5 1 ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎭答案：D6．(2017 届赣州期末)若函数 f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |的最小值为 3，则实数 a 的值为()A ．4C ．2 或－4B ．2D ．4 或－2解析：∵函数 f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |≥|(x ＋1)－(x ＋a )|＝|a －1|的最小值为 3，∴|a－1|＝3，解得 a ＝4 或 a ＝－2，故选 D.答案：D7．(2017 届滨州一模)不等式|x ＋1|－|x －2|>1 的解集为________．解析：①当 x >2 时，不等式|x ＋1|－|x －2|>1 可化为 x ＋1－x ＋2>1，恒成立；②当－1≤x ≤2 时，原不等式可化为 x ＋1＋x －2>1，解得 x >1，∴1<x ≤2；③当 x <－1 时，原不等式可化为－x －1＋x －2>1，无解．综上可知原不等式的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)8．(2017 届德州二模)关于 x 的不等式|x －2|＋|x －8|≥a 在 R 上恒成立，则 a的最大值为________．解析：由绝对值的性质得 f (x )＝|x －2|＋|x －8|≥|(x －2)－(x －8)|＝6，所以 f (x )最小值为 6，从而 6≥a ，解得 a ≤6，因此 a 的最大值为 6.⎩2由(1)可得 f (x )的最小值为 f 2⎪＝－3×2－1＝－2，故－2<4a －2a 2，解得－2 ⎩⎭答案：69．(2017 届乐山一摸)已知函数 f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (1)求不等式 f (x )>0 的解集；(2)若存在 x 0∈R ，使得 f (x 0)＋2a 2<4a ，求实数 a 的取值范围．解：(1)函数 f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎧⎪－x ＋3，x <－2，1⎨－3x －1，－2≤x ≤2，⎪x －3，x >1，1令 f (x )＝0，解得 x ＝－3或 x ＝3.⎧1 ⎫∴f (x )>0的解集为⎨xx <－3，或x >3⎬.(2)若存在 x 0∈R ，使得 f (x 0)＋2a 2<4a ，即 f (x 0)<4a －2a 2 有解， ⎛1⎫ 1 5 5 1⎝ ⎭5 <a <2.10．(2017 届西安一模)已知函数 f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式 f (x )<x ＋1；1 1(2)若对于 x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤3，|2y ＋1|≤6，求证：f (x )<1.解：(1)不等式 f (x )<x ＋1，等价于|2x －1|<x ＋1，即－x －1<2x －1<x ＋1，解得 0<x <2，故不等式 f (x )<x ＋1 的解集为(0,2)．1 1(2)∵|x －y －1|≤3，|2y ＋1|≤6，1 1∴f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|(2y ＋1)|≤2×3＋6<1.[能 力 提 升]1．已知|2x －3|≤1 的解集为[m ，n ]．(1)求 m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1 可化为－1≤2x －3≤1，解得 1≤x ≤2，所以 m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.故不等式 f (x )≤5 的解集为⎨x 2≤x ≤ 2 ⎬. 3．(2017 届西安质检)设函数 f (x )＝ ⎪x －2⎪＋|x －a |，a ∈R .⎪ 5⎪ ⎪1⎪ 解：(1)证明：由 f (x )＝⎪ x － ⎪＋⎪x ＋ ⎪＝⎩ 2 2 2⎩(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1.2．(2017 届合肥质检)已知函数 f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为 a . (1)求实数 a 的值； (2)解不等式 f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得 a ＝2.⎧－2x ＋6，x ≤2，(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎨2，2<x ≤4.⎩2x －6，x >4.1当 x ≤2 时，令－2x ＋6≤5，得2≤x ≤2；当 2<x ≤4 时，显然不等式成立，11 当 x >4 时，令 2x －6≤5，得 4<x ≤ 2 .⎧⎪ ⎪1 11 ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎭ ⎪ 5⎪ ⎪ ⎪1(1)求证：当 a ＝－2时，不等式 ln f (x )>1 成立；(2)关于 x 的不等式 f (x )≥a 在 R 上恒成立，求实数 a 的最大值．⎪ 2⎪ ⎪ 2⎪⎧⎪－2x ＋2，x <－1，⎨3，－1≤x ≤5，⎪2x －2，x >5，2f (x )≥3>e ，画出草图，分析可得函数 f (x )的最小值为 3，从而x －x －⎪ ⎪⎪⎪ ＝＋ |x － a |≥ －(x －a )2 2a －2，所以 f (x )的最小值为2－a ，⎪5⎪ ⎪⎛ 5⎫⎪⎪(2) 由绝对值不等式的性质得f (x ) ＝ 从而⎪2－a ⎪≥a ，解得 a ≤ .综上可得，原不等式的解集为 －4，3⎪.2⎩ 2 所以 ln f (x )>1 成立．⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎪⎪ 5⎪⎪ ⎪⎪5 ⎪ ⎪ ⎪5 5 ⎪ ⎪ 45因此 a 的最大值为4.4．(2018 届铁东区模拟)已知函数 f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|. (1)求不等式 f (x )<2 的解集；a 2(2)若关于 x 的不等式 f (x )≤a － 2 有解，求 a 的取值范围．解：(1)函数 f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎧⎪x ＋2，x ≥1，⎨3x ，－1<x <1，⎪－x －2，x ≤－1.当 x ≥1 时，不等式化为 x ＋2<2，解得 x <0，可得 x ∈ ；1 2 1 2当－2<x <1 时，不等式化为 3x <2，解得 x <3，可得－2<x <3；1 1当 x ≤－2时，不等式化为－x －2<2，解得 x >－4，可得－4<x ≤－2；⎛ 2⎫ ⎝ ⎭a 2a 2(2)关于 x 的不等式 f (x )≤a － 2 有解，即为 f (x )min ≤a － 2 ，1 3由 x ≥1 时，x ＋2≥3，－2<x <1 时，－2<3x <3，1 3 3 x ≤2时，－x －2≥－2，可得 f (x )min ＝－2.a 23即有 a － 2 ≥－2，解得－1≤a ≤3，所以a的取值范围为[－1,3]．。