串并联谐振电路

1 LC
R L C 串联
|Z|
R
O
0

I( )
U/R
G C L 并联
|Y|
G
O
0

U( )
IS/G
O 0


UL


UR U I

UC
O 0


IC



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IG IS U

IL
R L C 串联 电压谐振
UL( 0)=UC ( 0)=QU
Q ω0 L 1 1 L R ω0 RC R C

1 ωC
)2
I( )与 |Y( )|相似。
I( )
U/R
电流谐振曲线
I( )
|Y( )|
O
0

选择性 (selectivity)
从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏 离0时，电流从最大值U/R降下来。即，串联谐振电路对
不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现 为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流 小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。
通用谐振曲线 为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的
横、纵坐标分别除以0和I(0)，即
ω ω η , I(ω) I(ω) I(η )
ω0
I (ω0 ) I0
I(ω) U / | Z |


I(ω0 ) U / R
R

R2 (ω L 1 )2
ωC
1 1 (ωL 1 )2
（1）谐振条件
R L
C
Y

jωC

1 R jωL

R2
R (ωL)2

j(ωC

R2
ωL (ωL)2
)
谐振时 B=0，即
G jB
ω0C
R2
ω0 L (ω0 L)2
0
ω0
1 ( R)2 LC L
此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足
1 ( R )2 0, 即 R L时, 可以发生谐振
U I

Z

R
发生 谐振
2. 串联谐振的条件

IR
+
Z

R

j(ωL

1
ωC
)

R

j(
X
L

XC
)

U
_
j L
1
R jX
jω C
当 X 0
ω0
1 LC
ω
0
L

1
0C
时，电路发生谐振。
谐振条件
谐振角频率 (resonant angular frequency)
仅与电路参数有关
3. RLC串联电路谐振时的特点
(1).

U
与
I同
相
.
入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。
电流I达到最大值 I0=U/R (U一定)。

IR
+

U
+

UR
_+ U_L
+
_
UC_
j L
1 jω C
Z ( )
R O
|Z( )|
XL( ) X( )
0
XC( )
G C L 并联 电流谐振
IL(0) =IC(0) =QIS
Q ω0C 1 1 C G ω0GL G L
推导过程如下：由定义得
Q

2π

1
2 T
CUC2m GU 2

2π f0
C G
ω0C R
G 0L
2. 电感线圈与电容器的并联谐振
实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电 容器并联时，电路如图：
4. RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
谐振曲线
物理量与频率关系的图形称谐振曲线， 研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。
（1） 阻抗的频率特性
幅频
Z

R

j(ωL

1 ωC
)
|
Z (ω)
|
φ (ω)
特性
| Z(ω) |
R2

(L

1
C
)2

R2 (X L XC )2
R2 X 2

IC
I0

U

IL IC QI0 I0
IL
例
R 100k
L
等效电路
Re
C
100k
L
如图R=10的线圈其QL=100，与 电容接成并联谐振电路，如再并联
上一个100k的电阻，求电路的Q. C
解
QL

100

0L
R
0L RQL 1000 R
品质因数
Q 0L 1 L
R RC R
当 ＝0L=1/(0C )>>R 时，
UL= UC >>U
特性阻抗
例 某收音机 L=0.3mH，R=10，为收到中央电台560kHz
信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V 求谐振电流和此时的电容电压。
解
(1)
1
C
(2
串联电路的谐振
谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一
种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛 应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。
1. 谐振的定义
含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现
端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。
I
U
R,L,C 电路
类似可讨论UC()。
根据数学分析，当 =Cm时，UC()获最大值；当 =Lm时， UL()获最大值。且UC(Cm)=UL(Lm)。 (条件是Q 1 / 2)
ωcm ω0
1

1 2Q 2
ω0
ωLm ω0
2Q 2 2Q 2 1
ω0
Lm• Cm = 0
UC (ωcm ) U L (ωLm )

600 10
60
RQ 50 60
L 0 5103 60mH
C

1

2 0
L

6.67
F
9.9 并联电路的谐振
1. G、C、L 并联电路
+

IS

UG
_
CL
对偶：
谐振角频率
R L C 串联
Z

R

j(ωL

1
ωC
)
ω0
1 LC
G C L 并联
Y

G

j(ωC

1
ωL
)
ω0
,
ω2 ω1 .
I
可以证明： Q 1 ω0 . 0.707I0 η 2 η1 ω2 ω1
Q=1
I/I0=0.707以分贝(dB)表示：
20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB.
0 1 0 2

所以，1， 2称为3分贝频率。
例
+ u _
R
L
10 C
一信号源与R、L、C电路串联， 要求 f0=104Hz，△f=100Hz， R=15，请设计一个线性电路。
sin(0
t

90o )


L C
Im
cos
0t
wC

1 2
CuC2

1 2
LIm2 cos2 0
t
电场能量
wL

1 2
Li 2

1 2
LIm2
sin2
0
t
磁场能量
表明
（1）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等
WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡
性的能量交换，而不与电源进行能量交换。
根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半， 人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。
在I / I0 1 / 2 0.707处作一水平线,与每一谐振曲线 交于两点, 对应横坐标分别为η1和η 2 .
ω2 ω1 称为通频带BW (Band Width)
η1

ω1 ω0
,
η2

ω2 ω0
解
Q
ω0

f0
10 4 100
f 100
RQ 10015
L 0 2 104 39.8mH
C

1

2 0
L

6360
pF
例+
_
u1
R
+
L
_ u2
+
C
_ u3
一接收器的电路参数为： L=250H, R=20, C=150pF(调好),
U1=U2= U3 =10V, 0=5.5106 rad/s,
QU QU 1
1 4Q 2
Q越高，Lm和Cm 越靠近0
例
+
R
_u
L
C V
一接收器的电路参数为：U=10V
=5103 rad/s, 调C使电路中的电流
最大，Imax=200mA，测得电容电压 为600V，求R、L、C及Q
解
R

U I0

10 200 103

50
UC
QU Q UC U

(ω
)

tg
1
ωL

1
ωC

tg 1
XL XC
tg 1
X
R
R
R
相频
特性
Z ( )
|Z( )|
XL( )
( )
X( ) /2
R
O
0
XC( ) O
0

–/2
阻抗幅频特性
阻抗相频特性
2. 电流谐振曲线
幅值关系：
I(ω)
U
| Y (ω) | U
R2

(ωL
LC L
C
一般线圈电阻R<<L，则等效导纳为：
Y

R2
R
(L)2

j(C

R2
L (L)2
)

R
(L)2

j(C

1
L
)
谐振角频率
1 ω0 LC
等效电路
Ge
C
L
Re

1 Ge

(0 L)2
R
（2）谐振特点 (a) 电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：
Z(ω0 )
R0
QL ω0 LI02 ,
QC

1
ω0C
I
2 0

0 LI02
LC
电源不向电路输送无功。电
感中的无功与电容中的无功 +
Q
大小相等，互相补偿，彼此 _ 进行能量交换。
R P
(4) 谐振时的能量关系
设 u Um sin 0t
则
i

Um R
sin0
t

Im
sin
0t
uC

Im
0C
f )2 L 269 pF
(2)
I0

U R

1.5 10

0.15
A
UC I0 XC 158.5 V 1.5 V
or
UC

QU

0L
R
U
+R
u
L
_ C
(3) 谐振时的功率
P=UIcos＝UI＝RI02=U2/R，
电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
Q UI sin QL QC 0
f0

2π
1 LC
谐振频率 (resonant frequency)
串联电路实现谐振的方式：
（1） L C 不变，改变 。
0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只 能有一个对应的0 , 当外加频率等于谐振频率时，电
路发生谐振。
（2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。
f0=820 kHz.
北京台
中央台
北京经济台
f (kHz)
L
1
ωC
X I=U/|Z| (A)
820 1290
1290 0
I0=0.5
640 1000
–1660 – 660 I1=0.0152
1026 1611
1034 577 I2=0.0173
I=U/|Z| (A) I0=0.5
I1=0.0152
Q
2
(1

1 η2
)2
U
C
(ω)

I ωC

ωC
U R2 (ωL
1 )2
ωC

QU
η 2 Q2 (η 2 1)2
U( )
UC(Cm)
QU U
UL( )
UC( )
UL( ) ： 0
Cm 1Lm

当=0，UL()=0；0<<0， UL()增大；=0， UL()=QU； >0，电流开始减小，但速度不快， XL 继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个下UL()达 到最大值，然后减小。 ，XL， UL()=U。
I2=0.0173
I(f )
I1 3.04% I0
I2 3.46% 小得多 I0
∴收到北京台820kHz的节目。
0 640 820 1200 f (kHz)
（3） UL( )与UC( )的频率特性
U L (ω)

LI

L
U |Z
|

LU
R2

(L

1
C
)2

QU
1 η2

（2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
w总

wL
wC

1 2
LIm2

1 2
CUC2m

LI 2
电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
Q

0 L R
0
LI02 RI02
2π
LI
2 0
RI02T0

2π
谐振时电路中电磁场的总储能 谐振时一周期内电路消耗的能量
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大， 总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小， 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲 在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。
R ωRC

1

1
1 (ω0 L ω 1 ω0 )2 R ω0 ω0 RC ω
1 (Q ω Q ω0 )2
ω0
ω
I (η )
I0
1
1

Q
2
(η

1
η
)2
I(η ) I0
0.707
通用谐振曲线 Q=0.5
Q=1
Q=10
0
1 1 '2

Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就 急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力， 所以选择性好。因此， Q是反映谐振电路性质的一个重要指 标。

R2
(ω0 L)2 R

(ω0 L)2 R

L RC
(b)
电流一定时，总电压达最大值： U0

I0Z

I0
L RC
(c) 支路电流是总电流的Q倍，设R<<L
IL

IC

U
0L

U0C
IL IC U /0L 1 0L Q
I0 I0 U /( RC / L) 0RC R
(2) LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，
也称电压谐振，即



UL UC
0,
LC相当于短路。
UL
电源电压全部加在电阻上，U R U


UR I

UC

UL

j
LI

j
L U R

jQU

UC


I j
C


j
U L
R


jQU
U L U C QU