导数的基本概念及性质
应用
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
导数的基本概念及性质应用
考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值
3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。 能力：数形结合 方法：讲练结合
新授课：
一、 知识点总结：
导数的基本概念与运算公式
１、导数的概念
函数y =)(x f 的导数
)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ y
Δ的极限，即
)(x f '＝0
x Δlim
→x
Δ y
Δ＝
x Δlim
→x
Δf(x)
-x) Δ(+x f
说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数
函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，
函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。
３、导数的几何意义
设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切
线斜率。 ４、求导数的方法 （１）基本求导公式
0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-
x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' x
x 1
)(ln =
' a
x x
a ln 1)(log =
'
（２）导数的四则运算
v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')(
)0()(2
≠=
''
-'v v v u v u v u
（３）复合函数的导数
设)(x g u
=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，
)()())(('''x u f x f x ϕϕ=
导数性质：
1、函数的单调性
⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。
⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。 ①确定函数)(x f 的定义区间
②求)(x f '，令)(x f '＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。 ③把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间。
④确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性。
说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关 2．可导函数的极值 ⑴极值的概念
设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有)(x f ＜)(0x f （或 )(x f ＞)(0x f ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值点。称0x 为极大（小）值点。 ⑵求可导函数极值的步骤。
①求导数)(x f ' ②求方程)(x f '＝0的根
③检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极小值。
说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点
是极值点，相当于给出了一个)(x f '＝0的方程
3．函数的最大值与最小值
⑴设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，求函数y ＝
)(x f 在[a ,b ]上的最大值与最小值，可分两步进行。
①求y ＝)(x f 在(a ,b )内的极值。
②将y ＝)(x f 在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
⑵若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调减少，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值。
说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值
二、 例题讲解 题型一导数的概念
【例1】设f(x)在点x 0处可导，a 为常数，则x
x a x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)
()(lim 000
等于
( )
(x 0) (x 0) (x 0) 【变式】设)(x f 在0x 处可导__lim
)
()(0
00=∆-∆-→∆x x f x x f x
题型二导数的几何意义、物理意义
【例2】（1）求曲线1
22
+=
x x
y 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221
t t
t S +-=，求t=3时的速度。
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x 处的导数就
是曲线y=f(x)在点),(00y x p 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
题型三利用导数求单调区间
【例3】求下列函数单调区间
（1）522
1)(2
3+--==x x x x f y
（2）x
x y 1
2-=
（3）x x
k y +=2
)0(>k
