高中数学数列公式大全很齐全哟~!数列公式在高中数学中是非常重要的知识点之一。
数列是数学中一种基本的数学对象，它是由一个有限或无限多个数按照一定规律顺序排列所组成的。
在高中数学中，数列分为等差数列、等比数列、递推数列等各种类型。
下面将为大家介绍一下高中数学数列公式大全。
一、等差数列公式1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示第一项，$d$ 表示公差。
2. 等差数列的前 $n$ 项和公式等差数列的前 $n$ 项和公式为：$S_n =\dfrac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。
3. 等差数列的公差公式等差数列的公差公式为：$d = \dfrac{a_n - a_1}{n-1}$，其中 $d$ 表示公差。
4. 等差数列的中项公式等差数列的中项公式为：$a_{\dfrac{n+1}{2}} =\dfrac{a_1 + a_n}{2}$，其中 $a_{\dfrac{n+1}{2}}$ 表示中项。
5. 等差数列的求和公式等差数列的求和公式为：$S_n = \dfrac{n[\,2a_1 + (n-1)d\,]}{2}$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。
二、等比数列公式1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：$a_n = a_1q^{n-1}$，其中$a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示第一项，$q$ 表示公比。
2. 等比数列的前 $n$ 项和公式等比数列的前 $n$ 项和公式为：$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。
3. 等比数列的公比公式等比数列的公比公式为：$q = \sqrt[n-1]{\dfrac{a_n}{a_1}}$，其中 $q$ 表示公比。
4. 等比数列的求和公式等比数列的求和公式为：$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。
第2课时数列的递推公式课标解读课标要求素养要求1.了解数列的递推公式,会求数列的通项公式;2.理解数列的前n项和公式，理解前n项和公式与通项公式的关系.1.逻辑推理——能通过递推公式求通项公式;2.数学运算——能由数列的前n项和求通项公式;3.数学建模——能利用递推公式解决世纪问题.自主学习·必备知识见学用5页教材研习教材原句要点一数列的递推公式如果一个数列的①相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的②递推公式.知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项了.要点二数列的前n项和我们把数列{a n}从③第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{a n}的前n 项和,记作S n,即S n=a1+a2+⋯+a n.如果数列{a n}的前n项和S n。
与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.显然S1=a1,而S n−1=a1+a2+⋯+a n−1(n≥2),于是我们有a n={S1,n=1,S n−S n−1,n≥2.自主思考1.只有递推公式a n+1=2a n,能否确定数列?答案：提示不能.必须知道数列的首项（或某一项）和递推公式a n+1=2a n,才能确定数列.2.已知数列{a n}的通项公式为a n=cos nπ,如何求数列的前n项和S n?答案：提示数列为−1,1,−1,1,…,当n为偶数时,S n=0;当n为奇数时,S n=−1.名师点睛1.数列的递推公式与通项公式的区别及联系递推公式与通项公式是数列中的两个重要公式,二者既有区别又有联系.（1）数列的通项公式反映的是数列中项与项数(序号)之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项（或相邻多项）间的关系.（2）对于通项公式,我们只要将公式中的n依次用1,2,3...代替,就可以得到相应的项,而递推公式则要已知首项(或前几项),才可以依次求出其他的项.（3）有些数列的递推公式与通项公式可以互相推出,由数列的递推公式求通项公式是常见的题型.2.关于数列的前n项和的注意事项（1）理解数列的前n项和S n的意义,即S n=a1+a2+a3+⋯+a n−1+a n, 其中a1为首项,a n为末项,共有n项.（2）规定a1=S1,且S n−S n−1=(a1+a2+a3+⋯+a n−1+a n)−(a1+a2+a3+⋯+a n−1)=a n, 注意限制条件必须为n≥2, 这是易错点.互动探究·关键能力见学用6页探究点一由数列的递推公式求数列的项精讲精练例1（2021天津和平高二期末）已知数列{a n}满足a n+1=11−a n ,若a1=12,则a10=( )A.12B.2C.1D.-1答案：A解析：因为数列{a n}满足a n+1=11−a n,又a1=12, 所以a2=2,a3=11−2=−1,a4=11−(−1)=12,所以数列为周期为3的周期数列,所以a10=a3×3+1=a1=12,故选A.例2（2021山东枣庄一中高二期中）数列{a n}满足a1=12,a n+1=1−1a n,则a2021等于( ) A.12B.-1C.2D.3答案：B解析：由a1=12,a n+1=1−1a n得a2=1−2=−1,a3=1−(−1)=2, a4=1−12=12,a5=1−2=−1,所以数列的周期是3,所以a2021=a3×673+2=a2=−1.解题感悟由数列的递推公式求数列的项的注意事项（1）已知数列的首项或前几项,根据递推公式可以依次求出数列的各项,利用递推公式求数列的项时,前面不能出现“空项”.（2）由数列的递推公式求第n项,且n较大时,通常求出数列的前几项后,再通过归纳猜想得到数列的最小正周期,将其转化为数列的前几项得解.迁移应用1.已知数列{a n}满足a1=2,a n=a n−1+1(n≥2),则a2020的值为( )A.2019B.2020C.2021D.2022答案：C解析：由数列的首项和递推公式可知数列的通项公式为a n=n+1,故a2020=2021.2.（☆）已知数列{a n}的前n项和为S n, 若a n=(−1)n−1 sin nπ2, 则a3=,a2022=.答案：-1; 0解析：由a n=(−1)n−1sin nπ2, 得a1=1,a2=0,a3=−1,a4=0,a5=1,a6=0,…,所以数列{a n}的周期为4,所以a2022=a4×505+2=a2=0.探究点二由数列的递推公式求通项公式精讲精练类型1 累加法求数列的通项公式例1已知数列{a n},a1=1,a n=a n−1+2(n≥2),求a n.答案：由a1=1,a n=a n−1+2(n≥2),得a1=1,a n+1−a n=2,所以a1=1,a2−a1=2,a3−a2=2,a4−a3=2,……a n−a n−1=2,将以上n个等式累加,得a n=1+2(n−1)=2n−1.变式若本例条件变为已知数列{a n},a1=1,a n+1=a n+1n(n+1),如何求a n？答案：由a1=1,a n+1=a n+1n(n+1),得a n=a n−1+1n(n−1)(n≥2),所以a n−a n−1=1n−1−1n(n≥2),a n−1−a n−2=1n−2−1n−1,……a3−a2=12−13,a2−a1=1−12,将以上n−1个等式累加,得a n−a1=1−1n ,所以a n=a1+1−1n=2n−1n.类型2 累乘法求数列的通项公式例2已知数列{a n},a1=1,a n=2a n−1(n≥2),求a n.答案：由a n=2a n−1(n≥2),得a na n−1=2,所以a1=1,a2a1=2,a3a2=2,a4a3=2,……a na n−1=2.将以上n个等式累乘,得a n=2n−1.解题感悟由递推公式求通项公式的方法技巧由数列的递推公式求通项公式是数列的重要题型之一,是历年高考考查的热点,累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用方法.（1）形如a n+1=a n+f(n)的递推关系式可用累加法求通项公式, 即a n=(a n−a n−1)+ (a n−1−a n−2)+⋅⋅⋅+(a3−a2)+(a2−a1)+a1,要特别注意中间消去了哪些项,前后各保留了哪几项.（2）形如a n+1=a n⋅f(n)的递推关系式可化为a n+1a n=f(n)的形式，可用累乘法求通项公式，即a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅⋅⋅⋅⋅a2a1⋅a1, 通过乘方运算, 代入首项即可求出通项公式.迁移应用1.已知数列{a n},a1=2, a n=a n−1−1(n≥2),求a n.答案：由a1=2,a n=a n−1−1(n≥2),得a1=2,a n+1−a n=−1, 所以a1=2,a2−a1=−1,a3−a2=−1,a4−a3=−1,……a n−a n−1=−1,将以上n个等式累加,得a n=2+(−1)(n−1)=3−n.2.已知数列{a n},a1=3, a n=12a n−1(n≥2),求a n.答案：由a1=3,a n=12a n−1(n≥2), 得a n+1a n=12,所以a1=3,a2a1=12,a3 a2=12,a4 a3=12,……a n a n−1=12,将以上n个等式累乘,得a n=3×12n−1.探究点三数列的前n项和问题精讲精练类型1 由数列的递推公式求前n项和例1已知数列{a n}满足a1=1,a2=2, a n+2+a n=a n+1, S n为其前n项和,则S2020+ S2021=( )A.0B.3C.4D.6答案：C解析：因为数列{a n}满足a n+2+a n=a n+1,a1=1, a2=2,所以a n+2=a n+1−a n,得a1=1,a2=2, a3=1, a4=−1, a5=−2, a6=−1, a7=1, a8=2, 所以数列{a n}的最小正周期为6,且S6=0, 所以S2020=S2016+a2017+a2018+a2019+a2020=S6×336+a1+a2+a3+a4=0+3=3,所以S2020+S2021=2S2020+a2021=2×3+a5= 6−2=4.类型2 由数列的前n项和求通项公式例2已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+⋯+na n=n22−n.（1）求数列{a n}的通项公式;（2）数列{a n}有没有最小项？若有,求出这个最小项;若没有,请说明理由.答案：（1）由题意,当n=1时,a1=122−1=−12,因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n22−n, ①所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=(n−1)22−(n−1),②①−②得na n=n−32,即a n=1−32n,易知当n=1时,a1=−12满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=1−32n(n∈N∗).（2）由（1）知数列{a n}为递增数列,所以数列{a n}有最小项,最小项为a1=−12.解题感悟由数列的n和求通项公式的“三步曲”（1）先由数列的前n项和S n求数列的首项, a1=S1=a;（2）再求第n项, a n=S n−S n−1, 注意限制条件n≥2;（3）验证a1, 看是否需要分段表示通项公式; 若n=1时, （2）中的式子满足a1=a, 则直接得到通项公式; 若n=1时，（2）中的式子不满足a1=a, 则需分段表示通项公式, 即通项公式为a n={S1,n=1,S n−S n−1,n≥2.迁移应用1.（2021浙江宁波高二模拟）已知数列{a n } 满足a 1=0 ,a n+1=n √3√3a +1∈N ∗) ,若数列的前n 项和为S n ,则a 2020−a 2021= ,S 2021= . 答案：√3 ; −√3 解析：由a 1=0,a n+1=n √3√3a +1∈N ∗) ,得a 2=−√3 ,a 3=√3 , a 4=0 ,…,由此可知,数列{a n } 是周期变化的,最小正周期为3,且S 3=0 ,可得a 2020=a 3×673+1=a 1=0 ,a 2021=a 3×673+2=a 2=−√3 , 所以a 2020−a 2021=√3,S 2021=S 2019+a 2020+a 2021=S 3×673+a 1+a 2=0+0−√3=−√3 .2.已知数列{a n } 的前n 项和S n ,求通项公式a n . （1）S n =2n −1 ; （2）S n =3×2n −3答案：（1）依题意,得a 1=S 1=1 ,当n ≥2 时,a n =S n −S n−1=2n −1−[2(n −1)−1]=2 , 所以a n ={1,n =1,2,n ≥2.（2）依题意,得a 1=S 1=3 ,当n ≥2 时,a n =S n −S n−1=3×2n −3−(3×2n−1−3)=3×2n−1 , 显然,当n =1 时,3×21−1=3=a 1 ,所以a n =3×2n−1 .评价检测·素养提升见学用8页课堂检测1.数列12,14, 18,116,…的递推公式可以是( )A.a n =12n−1(n ∈N ∗)B.a n =12n (n ∈N ∗) C.a n+1=12a n (n ∈N ∗) D.a n+1=2a n (n ∈N ∗) 答案：C2.已知数列{a n } 的前n 项和为S n , 且S n =2a n −2 , 则a 2= ( ) A.4 B.2 C.1 D.-2答案：A3.（多选）已知数列{a n } 满足a 1=2 ,a n+1+a n =−1 ,则数列的通项公式可以为( ) A.a n =2−|cosnπ2|B.a n =−12−52cos nπ C.a n =−12+(−1)n−152D.a n =(−1)n−1+32答案：B ; C4.（2021云南玉溪高二期末）已知数列{a n } 满足a 1=1 ,a n+1=a na n +1,则a 15= .答案：115解析：因为数列{a n } 满足a 1=1 ,a n+1=a n a n +1, 所以1a n+1−1a n=1 , 所以1a 15=1a 14+1=1a 13+1+1=⋯=1a 1+14×1=15 ,所以a 15=115 .5.（2021山东菏泽高二检测）已知数列{a n } 的前n 项和为S n =3n −1 ,则a 1= ,a n = . 答案：2; {2,n =13,n ≥2解析：由数列{a n } 的前n 项和为S n =3n −1 ,得a 1=S 1=2 , 当n ≥2 时,a n =S n −S n−1=(3n −1)−[3(n −1)−1]=3 , 所以{2,n =13,n ≥2素养演练数学建模——递推数列模型在实际问题中的应用某林区调整植树造林计划,第一年植树增长率为200% ,以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的12 .（1）假设植树成活率为100% ,那么第四年林区的树木量是原来树木量的多少倍？ （2）如果每年都有5% 的树木死亡,那么第几年后,林区的树木量开始下降？ 答案：（1）454 倍 （2）6解析：审：已知树木增长的百分率,求第四年的树木量,确定树木量的变化趋势.联：建立数列模型, （1）设出树木原有量,确定数列的递推关系;（2）利用不等式的性质解题.解：（1）设林区原有的树木量为a ,调整计划后,第n 年的树木量为a n (n =1,2,3,…) ,则 a 1=a(1+200%)=3a , a 2=a 1(1+100%)=2a 1=6a , a 3=a 2(1+50%)=32a 2=9a , a 4=a 3(1+25%)=54a 3=454a .所以第四年林区的树木量是原来树木量的①454倍.（2）若每年损失树木量的5% ,则第n 年的树木量与第(n −1) 年的树木量之间的关系为 a n =a n−1(1+12n−2)(1−5%)=1920(1+12n−2)a n−1(n ≥2) . 设第n 年后树木量开始减少,则②{a n ≥a n−1,a n ≥a n+1, 即③{1920(1+12n−2)a n−1≥a n−1,1920(1+12n−1)a n ≤a n , 得{12n−2≥119,12n−1≤119, 得176≤12n ≤138, 又n ∈N ∗ , 所以n =6 .即第6年后,林区的树木量开始下降.思：1.解决数列实际应用问题的关键是建立数列模型,明确数列的首项以及递推公式或通项公式.2.将数量的等量关系或变化趋势转化为方程或不等式,进而求解,注意自变量n 必须为正整数.3.检验数列模型的解是否符合实际问题,对数列模型进行优化. 迁移应用学校餐厅每天供1000名学生用餐,每星期一有A 、B 两样特色菜可供选择(每个学生都将从二者中选一),调查资料表明,凡是在本周星期一选A 菜的,下周星期一会有20% 改选B,而选B 菜的,下周星期一则有30% 改选A,若用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 、B 菜的人数.（1）试以A n 表示A n+1 ;（2）若A 1=200 ,则第几个星期一时,选A 与选B 的人数相等？ 答案：（1）由题可知,A n+1=(1−0.2)A n +0.3B n , 又A n +B n =1000 , 所以A n+1=(1−0.2)A n +0.3(1000−A n )=0.5A n +300 .（2）若A 1=200 ,则A 2=0.5A 1+300=400 , A 3=0.5A 2+300=500 ,满足A n =B n =500 ,所以第3个星期一时,选A 与选B 的人数相等.课时评价作业见学用《作业本》93页基础达标练1.下列递推公式表示的数列{a n } 的前三项分别为2,3,5的是( ) A.a 1=2 ,a n+1=a n B.a 2=3 ,a n+2=a n C.a 3=5 , a n+1=a n +n D.a 5=12 ,a n+1=a n +n +1 答案：C2.已知数列{a n } 满足a 1=1 ,√a n+1=√a n +1 , 则a 10= ( ) A.10 B.20 C.100 D.200 答案：C3.（2021山东枣庄高二期末）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一,得其关得其关捩,解之为二,又合而为一.” 在某种玩法中,用a n 表示解下n （n ≤9 , n ∈N ∗ ）个圆环所需移动的最少次数,若a 1=1 ,且a n ={2a n−1−1,n 为偶数,2a n−1+2,n 为奇数, 则解下5个环所需移动的最少次数为( ) A.22 B.16 C.13 D.7 答案：B4.（2021安徽合肥一中高二月考）已知数列{a n } 满足a n+1=11−a n,a 8=2 ,则a 1= ( )A.-1B.2C.12 D.−12 答案：C5.（2021辽宁大连一中高二质检）已知数列{a n}的通项公式为a n=log2n+1n+2(n∈N∗),设其前n项和为S n,则使S n＜−5成立的正整数n( )A.有最小值63B.有最大值63C.有最小值31D.有最大值31答案：A解析：由题意得,S n=log223+log234+⋯+log2nn+1+log2n+1n+2=log2(23×34×…×nn+1×n+1n+2)=log22n+2,由log22n+2＜−5得log22n+2＜log2132,得2n+2＜132,解得n＞62,又n∈N∗,所以n有最小值63.6.（多选）下列四个命题中是真命题的是( )A.a1=1, 递推公式为a n+1=a n的数列的各项都是1B.a2=2, 递推公式为a n+1=2a n的数列的各项都是偶数C.数列23,34, 45, 56, ···的一个通项公式是a n=n+1n+2D.如果已知一个数列的递推公式及其首项,那么可以写出这个数列的任何一项答案：A; C解析：由a1=1,a n+1=a n, 得a n=1, 即数列的各项都是1,选项A符合题意;由a2=2,a n+1=2a n得a2=2a1=2,a1=1, 故首项不是偶数,选项B不符合题意;数列23,34, 45, 56,…的一个通项公式是a n=n+1n+2,选项C符合题意;易知选项D不符合题意.7.（2021广东东莞高二检测）斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家莱昂纳多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,…,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为{F(n)},则{F(n)}的通项公式为( )A.F(n)=(−1)n+1n2B.F(n+1)=F(n)+F(n−1),n≥2且F(1)=1, F(2)=1C.F(n)=√5[(1+√52)n−(1−√52)n]D.F(n)=√5[(1+√52)n+(1−√52)n]答案：C解析：对于选项A,当n=1时,F(1)=0≠1,故选项A不正确;对于选项B,易知选项B为递推公式,所以选项B不正确; 对于选项C,F(n)=√5[(1+√52)n−(1−√52)n],得F(1)=1,F(2)=1,F(3)=1,F(4)=1,···, 故选项C正确,选项D不正确.故选C.8.已知数列{a n},a1=3, a n=−3a n−1(n≥2),则a3=,a n=.答案：27; −(−3)n9.（2020天津开发一中高二期中）已知数列{a n}中,a1=1,以后各项由公式a1⋅a2⋅a3⋅…⋅a n=n2给出,则a3+a5=.答案：6116解析：由题意可知,a1⋅a2=22=4,a1⋅a2⋅a3=32=9,所以a3=94,又a1⋅a2⋅a3⋅a4=42=16,a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5=52=25, 所以a5=2516,所以a3+a5=94+2516=6116.10.已知数列{a n}满足a n+1=2a n+1,n∈N∗.（1）若a1=−1,推测该数列的通项公式;（2）若a1=1,推测该数列的通项公式.答案：（1）∵a1=−1,a n+1=2a n+1,∴a2=−2+1=−1,a3=−1,a4=−1,可推测该数列的通项公式为a n=−1.（2）∵a1=1,a n+1=2a n+1, ∴a2=2×1+1=3, a3=2×3+1=7, a4=2×7+1=15,可推测该数列的通项公式为a n=2n−1.素养提升练11.（2019浙江,10,4分）设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=a n2+b, n∈N∗,则( )A.当b=12时,a10＞10B.当b=14时,a10＞10C.当b=−2时,a10＞10D.当b=−4时,a10＞10答案：A解析：若数列{a n}为常数列,则a n=a1=a,由a n+1=a n2+b, 可设方程x2−x+b=0.对于选项A,当b=12时, a n+1=a n2+12,x2−x+12=0, Δ=1−2=−1＜0,故此时{a n}不为常数列,∵a n+1=a n2+12=a n2+(√22)2≥√2a n, 且a2=a12+12≥12,∴a3≥√2a2,a4≥√2a3≥(√2)2a2, ···, ∴a9≥(√2)7a2≥4√2,则a10=a92+12＞a92≥32＞10, 故选项A正确;对于选项B,当b=14时,a n+1=a n2+14,x2−x+14=0, 该方程的解为x=12,即当a=12时,数列{a n}为常数列,即a n=12,则a10=12＜10,故选项B错误;对于选项C,当b=−2时,a n+1=a n2−2,x2−x−2=0,该方程的解为x=−1或x=2,即当a=−1或a=2时,数列{a n}为常数列,a n=−1或a n=2, 不满足a10＞10,故选项C错误;对于选项D,当b=−4时,a n+1=a n2−4,x2−x−4=0,该方程的解为x=1±√172,同理可知,此时的常数列{a n}也不能使a10＞10,故选项D错误. 故选A.12.（多选）已知数列{a n}中,a1=2,a n=1−1a n−1(n∈N∗,n≥2),那么a1a2a3…a n= ( )A.-1B.1C.2D.12答案：A; B; C解析：因为a1=2,a n=1−1a n−1,所以a2=1−1a1=12,a3=1−1a2=−1,a4=1−1a3=2,a5=1−1a4=12,……所以数列{a n}是以3为最小正周期的周期数列,且a1=2,a1a2=1, a1a2a3=−1, a1a2a3a4=−2,所以2,1,-1满足题意,故选A B C.13.（2021浙江宁波高二期中）在数列{a n}中,a1=12,a n+1=1+a n1−a n,设数列{a n}的前n项和为S n, 则a4=,S2019= .答案：−13; 11792解析：∵a n+1=1+a n1−a n ,a1=12, ∴a2=1+a11−a1=3, a3=1+a21−a2=−2, a4=1+a31−a3=−13,a5=1+a41−a4=12,∴数列{a n}是以4为周期的周期数列,∴S2019=a1+a2+⋯+a2019=505×(12+3−2−13)−(−13)=11792.14.（2021吉林长春高二月考）已知数列{a n}满足a st=a s a t(s,t∈N∗),且a2=2,则a8= .答案：8解析：令s=t=2,则a4=a2×a2=4,令s=2,t=4,则a8=a2×a4=8.15.（2021河南新乡高二期中）已知数列{a n}中,a1=1,前n项和S n=n+23a n. （1）求a2,a3;（2）求{a n}的通项公式.答案：（1）由S2=43a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.由S3=53a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=32(a1+a2)=6.（2）由题意知a1=1,当n≥2时,a n=S n−S n−1=n+23a n−n+13⋅a n−1,整理得a n=n+1n−1a n−1,即a na n−1=n+1n−1,所以a n=a1⋅a2a1⋅a3a2⋅a4a3⋅a5a4⋅…⋅a n−2a n−3⋅a n−1a n−2⋅a na n−1=1×31×42×53×64×….×n−1n−3×nn−2×n+1n−1=n(n+1)2(n≥2),当n=1时,a1=1满足上式.综上可知,{a n}的通项公式为a n=n(n+1)2.创新拓展练16.（2021广西桂林高二期中）已知数列{a n},a1=a（a>0, a≠1）,a n=a⋅a n−1(n≥2),定义b n=a n⋅lga n,如果{b n}是递增数列,求实数a的取值范围.解析：命题分析数列的递推公式是高考命题的热点内容之一,特别是含有参数的数列问题是各类考试的难点,通过递推公式求数列的项和通项公式,确定数列的项的变化趋势,考查逻辑推理和数学运算素养.答题要领（1）运用累乘法求出数列{a n}的通项公式,进而得到数列{b n}的通项公式.（2）结合{b n}是递增数列,对a的取值范围进行讨论,即可求出满足条件的实数a的取值范围. 答案：详细解析∵a1=a(a＞0,a≠1),a n=a⋅a n−1(n≥2),∴a na n−1=a(n≥2),∴a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a2a1⋅a1=a n,∴b n=a n⋅lga n=na n lga,∵{b n}是递增数列,∴对任意n∈N∗,b n+1>b n恒成立,即(n+1)a n+1lga＞na n lga对任意n∈N∗恒成立, ①当a＞1时,lga＞0,(n+1)a n+1lga＞na n lga⇔(n+1)a＞n,即a＞nn+1对任意n∈N∗恒成立,∵0＜nn+1＜1,∴a＞1.②当0＜a＜1时,lga＜0,(n+1)a n+1lga＞na n lga⇔(n+1)a＜n,即a＜nn+1对任意n∈N∗恒成立,∵当n∈N∗时,nn+1≥12,∴0＜a＜12,综上所述,实数a的取值范围是(0,12)∪(1,+∞).方法感悟1.若对数的真数为参数,通常分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.2.数列{a n}的单调性问题通常转化为关于正整数n的不等式恒成立问题,构造数列确定其最值是求参数取值范围的关键.。
