高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1
)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列
{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++
=+2
11
，求n a 。 解：由条件知：1
1
1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n
分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-
=- 211=
a ，n
n a n 1231121-=-+=∴ 类型2
n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列
{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 。 解：由条件知1
1+=
+n n
a a n
n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即
1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n
a a n 1
1=⇒又321=a ，
n
a n 32=
∴ 例:已知31
=a ，n n a n n a 2
31
31+-=
+ )1(≥n ，求n a 。
1
23132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-∙+⨯-⨯∙⋅⋅⋅∙+---∙+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=--- 。
类型3
q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）
。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列
{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321
+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .
故递推公式为
)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .
变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．
类型4
n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1
n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q ，得：
q
q a q p q a n n n n 1
11+∙=++引入辅助数列
{}n b （其中n
n
n q
a b =），得：q
b q p b n n 1
1
+=
+再待定系数法解决。 例:已知数列
{}n a 中，6
51=a ,11)2
1(3
1+++=n n n a a ，求n a 。
解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2
211+∙=∙++n n n n a a 令
n n n a b ∙=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3
2
(23-=所以
n
n n
n n b a )31(2)21(32-==
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12
（其中p ，q 均为常数）
。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足
⎩
⎨
⎧-==+q st p t s 解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12
，
βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02
=--q px x
，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当
21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
2
11--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
2
11--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当
21x x =时，
数列{}n a 的通项为1
1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程
组）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列
{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，
b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。由025312=+-++n n n a a a ，得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++，且a b a a -=-12。 则数列
{}n n a a -+1是以
a b -为首项，
3
2
为公比的等比数列，于是11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。
