上海市青浦高级中学2018学年第二学期期中考试
高一数学试题
试卷说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分，共4页
一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 若2019α=o ，则α在第_______象限
2. 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________
3. 若角120o 的终边上有一点()3,a -，则实数a 的值为__________
4. 化简tan()sin()2sin(3)ππθθπθ+-=-+_______________
5. 已知4cos =-25πθπθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，，则sin 2θ=________ 6. 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是______________三角形
7. 已知1sin cos 5
αα+=
，则tan cot αα+=_______________ 8. 如图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，则CAE ∠是正切值为___________ 9. 若函数sin y x =的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将整个图像沿x 轴向左平移
3π个单位，得到函数解析式为___________ 10. 关于x 的方程[]cos2sin 0,0,x x a x π++=∈有解，则实数a 的取值范围是___________________
11. 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC 所
围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,0,,2A παα⎛
⎫∠=∈ ⎪⎝⎭
外接圆半径为1，则该图形的面积为_____________ 12. 若函数22232sin sin 42sin 2cos x x y x x +-=+既存在最大值M ，又存在最小值m ，则M m +的值为_____________
二、选择题（本大题满分20分，其中每小题5分）
13.23
πα=是tan α= （ ） ()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件
14.在三角形ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 （ ）
()8,16,30A a b A ===o ()25,30,150B a b A ===o
()30,40,30C a b A ===o ()72,60,135D a b A ===o
15.某同学对函数()sin x f x x
=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N > 存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b 上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是（ ）
()A ①②③④ ()B ①③④⑤ ()C ①②④ ()D ①③④
16.已知k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足方程cos1cos 2cos cos1cos 2cos k k ++=o o o o o o L L 的正整数k 的个数为（ ）
()A 3 ()B 8 ()C 11 ()D 12
三、解答题（本大题满分76分）
17.（本题满分14分） 已知17tan 47πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
，求tan α以及2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数()2
2sin cos f x x x x =- （1） 求()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2） 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值和最小值及对应x 的值
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，,,A B C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时，乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.
（1）求1t 与()f t 的值；
（3） 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[],1t 上的最大值是否超过3？说明理由.
20.（本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分）
设函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭，已知角ϕ的终边经过点(1,，点()11,M x y 、()22,N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当()()122f x f x -=时，12x x -的最小值是2
π （1） 求函数()y f x =的解析式；
（2） 已知ABC ∆面积为，角C 所对的边c =cos 4C f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
，求ABC ∆的周长.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设定义域为R 的奇函数()f x ，满足()()11f x f x +=-
（1） 求证：()f x 是周期函数，并求它的一个周期；
（2） 若01x ≤≤时，()sin f x x =，试写出()f x 在[]1,3-上的解析式
（3） 任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-，在（2）的条件下，当[]1,2t ∈-时，求函数()g t 的解
析式
