C B
A
C B
A
D
C
B
A
c
b a C
B A
八年级下册数学复习资料 姓名
第一章 直角三角形
1、直角三角形的性质：
①直角三角形的两锐角互余
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴1
2
CD AB =
。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 .
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角
边等于斜边的一半。
如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴1
2
BC AB =
。 例·在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．AB=2BC B ．AB=2AC C ．AC 2+AB 2=BC 2 D ．AC 2+BC 2=AB 2
④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么
这条直角边所对的角等于30°。 如图，在Rt ∆ABC 中，∵1
2
BC AB =
，∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。
⑤勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即2
2
2
a b c +=。
求斜边，则2
2
c a b =+；求直角边，则2
2
a c
b =-或2
2
b c a =-。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，
，∠CAD=60°，
则拉线AC 的长是________m 。
例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。
（2）逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角
三角形 。
分别计算“2
2
a b +”和“2
c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。
例·在Rt △ABC 中，若2，7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。
A ．∠C=90°
B ．∠B=90°
C ．△ABC 是锐角三角形
D ．△ABC 是钝角三角形
A D
B
C
例·一块木板如右图所示，已知AB =4，BC =3，DC =12，AD =13，90B ∠=︒，木板的面积为 。
例·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D
点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
⑥直角三角形性质与勾股定理运用的常见图形
例·如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为7m ， 梯子的顶端B 到地面的距离为24m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于15m ．同时梯子的顶端B 下降 至B ′，那么BB ′的长度是多少？
G
F E
D C B
A 例·如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂A
B 长为40cm ，灯罩B
C 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？（结果精确到0.1cm ，参考数据：
≈1.732）
2、直角三角形的判定
①有两个角互余的三角形是直角三角形
②在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 ③如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系2
2
2
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
例·若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是 三角形.
例·若∠A ：∠B:∠C=2:3:5,则△ABC 是_________三角形
例·已知a,b,c 是三角形的三边长，如果满足2a 2
+2b 2
+2c 2
-2ab -2bc -2ac =0，则三角形的形状是（ ）
A 、底与边不相等的等腰三角形
B 、等边三角形
C 、钝角三角形
D 、直角三角形 3、直角三角形全等
方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。
例·如图，在ΔABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G 。 求证：BF=CG 。
P
E D
C B
A
E
D
C
B
A
P F E
D
C B
2
1
A 4、角平分线的性质
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF
角平分线判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 例·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。
例·如图：在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。 求证：点O 在∠A 的平分线上。
例·如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的距离是： 。
例·如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5，点P 是三角形内桑内角平分线的交点，则点P 到AB 的距离是： 。
5、线段垂直平分线
线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。 如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，
∴PA=PB
例·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。
例·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等，
且P 到∠MON 两边的距离也相等．
O
C B
A O
N
M · · A B 第1题
C
A
D D
E 第2题
