2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.1.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l：6850x y +-=之间的距离是（）A.0 B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】345068100x y x y +-=⇒+-=，12=，故选：B2.已知圆()()()2122292:x m y m m C -+-=-与圆22288340:x y x C y m +--+-=，则“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案.【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m -+-=-；易知20m ->，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =-，两半径之和12r r +=若4m =，圆心距12C C =，两半径之和12r r +=，此时1212C C r r =+=，所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C与圆2C外切，则2-=4m =或2m =（舍），所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件.故选：C3.已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A.1±B. C. D.2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d=，则弦长为||MN =，则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =.故选：C.4.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A.[]26，B.[]48， C. D.⎡⎣【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5.已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（）A.2B.C.172D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ''=的点M '的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y '，当||2||M D M E ''==化简整理得221x y +=，即点M '的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||2BE ==，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,2E 并求出满足条件||2||M D M E ''=的点M '的轨迹是解题的关键.6.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（）A.12B.2C.2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EFOF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++--，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x cy x c x x x x ++--=--，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOF DEF DOE S OF h S EF h S OE h === ，因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEF DOF DEF S S S =⋅ ，即2EFOF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++--，联立22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++-=，由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a c a c a b a b a b-+=-=++⋅，直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++--=--，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c ⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅-⋅++===-++-++-++，则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，则()22222c a a c =-，即422430a c a c -+=，即42310e e -+=，解得232e =，则512e =，故选：D7.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（）A.5B.23C.4D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=-，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=-，如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =-，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ，所以22::3:4:5AF BF AB =，设23AF x =，则24,5BF x AB x ==，由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3a x =，所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =故点A 与上顶点重合，在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +-+-∠===⋅⨯，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +-∠==，解得：5c a =，所以椭圆离心率为故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（）A.63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]3,21- C.63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B -，(1,0)F ，所以直线AF的方程为1)y x =-，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x -=-+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y -+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =，由2243(5)16y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得912,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ，因为[]3cos 4sin 5sin()5,5θθθϕ+=+∈-，所以OM ON ⋅∈[]3,21-．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y -+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +-+-=，下列说法正确的是（）A.当25a =时，12l l ⊥B.当2a =-时，12l l ∥C.直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1-D.当1l ，2l平行时，两直线的距离为【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1-，直接判断即可；B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可；C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y -+-=，此时两直线的斜率分别为115k =-和25k =，所以有121k k ×=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =-时，那么直线1l 为30x y -+=，直线2l 为30x y -+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得：()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +-+-=，整理可得：()1370a y x y -+-+=，故直线2l 过定点()2,1-，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a --=-，解得：3a =或2a =-，当2a =-时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离13d ==，故D 选项正确.故选：AD .10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（）A.2ABF △的周长为4aB.若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C.若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是6565⎣⎦D.若1k =时，则2ABF △的面积是222ca b +【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=-，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率,65e ∈⎣⎦，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积22212S c x c b x a ==+-，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c -；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c -，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，中点()00,Mxy ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++-=；由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=-+，所以221202222x x a k cx b a k +==-+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k -+==-=---+，可得2222OMk b k a k b k a⋅-==⋅-，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅= 可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c -⋅=+--=---，可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上；又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率,65e ∈⎥⎣⎦，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++-=；所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a-+=-=++；所以21222ax x b a -=+易知2ABF △的面积21211221212221122S F F y a F F y cc y y c x b x =+=-=+=-即可得2ABF△的面积是222ca b+，故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11.已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（）A.12x x 为定值B.线段AB 的中点在一条定直线上C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率）D.AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+⎧⎨=⎩可得()222220k x km p x m +-+=，()2222224480km p k m p kmp ∆=--=->，对于A 选项，2122m x x k=不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k +-==，00p km p y kx m m k k-=+=+=为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmmk x x m x x y y k k k y y p p p k -+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km pp x x AF k p p BF x x -+-+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12.已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（）A.四边形PAMB 周长的最小值为2B.||AB 的最大值为2C.若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若(,0)4Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C，根据题意，计算PAB 的底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D，设动点(,0)P m ，求出切线AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确．【详解】对于选项A，设||MP t =，则||||BP AP ===则四边形PAMB 周长为2，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2，所以四边形PABM 周长最小为2+，故A 错误；对于选项B，12||||2MAP PAMB S S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ⨯⨯=，所以||AB ==，因为2t ，所以)||AB ∈，故B 错误；对于选项C，因为(1,0)P ，所以||MP =t =，所以||AB ==，1||||2AC AB ==，||2AP ==，||PC ==所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；对于选项D，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +--=，又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +--=化简得11230mx y -+=设()22,B x y ,同理可得22230mx y -+=，因此点,A B 都过直线230mx y -+=，即直线AB 的方程为230mx y -+=，MP 的方程为22y x m=-+，二者联立得，22230y x mmx y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩①②，由①式解出22x m y =-，代入②式并化简得227302x y y +-+=，配方得2271(416x y +-=，2y ≠，所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆，设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R +==+=，故D 正确．故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1--【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d =，因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=->，当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21-≤<-，故答案为：[)2,1--.14.形如()0b y ax b x =+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x=-的一个焦点坐标为______.【答案】,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点.【详解】由4135-x y =x 知，其两条渐近线分别为403xx =,y =，所以双曲线4135-x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线，令43x y =的倾斜角为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==-，则22tan 3tan 2022θθ+-=，解得tan 22θ=-（舍去），1tan 22θ=，所以11tan122tan 31421tan 122θπθθ++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--，即一条对称轴为3y x =，故另一条对称轴为13y x =-，显然13y x =-与4135-x y =x有交点,,,515515⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长3015a ==，而渐近线0x =与对称轴13y x =-夹角的正切值为3，3b a =，又因为3015=a ，所以303033155⨯=b =a =，由2222641553+=c =a +b =，设焦点为1,3m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则221433m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以305m =±，所以焦点坐标为,,,515515⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：,515⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.15.在椭圆2213x y +=上有点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______.【答案】71,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可；法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠，联立2213y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2246330x bx b ++-=，所以1232x x b +=-，()212314b x x -=，则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+-=+，.法一：因为31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1123302OP k -==-，OP 的中点坐标为3,414⎛⎫ ⎪⎝⎭，OP 中垂线的斜率为3-，所以OP 中垂线方程为113:344l y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即532y x =-+，因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即31,44b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线的斜率为1-，则AB 中垂线方程213:44l y b x b ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即12y x b =--，联立53212y x y x b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得54354b x b y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，则圆心坐标535,44b b C ++⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为22222AC BC OC AC +==，所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎥⎫⎛⎫+=-+++-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎝，整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++⎛⎫⎛⎫+-+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1232x x b +=-，()212314b x x -=，1212y y b +=，21234b y y -=，所以()22222112123624x x x x b x x +=+-+=，()2222211212624y b y y y y y -+=+-+=，则2203563614242532244b b b b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪- ⎪+⎝⎭⎝+-⨯⎭⎝⎭，整理得22530b b ++=，解得32b =-，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =-，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =-时，()2299361633361633044b b ⎛⎫∆=--=⨯-⨯-> ⎪⎝⎭，直线3:2AB y x =-，满足题意，又535,44b b C ++⎛⎫-⎪⎝⎭，所以此时圆心坐标71,88C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立22y x b x y Dx Ey =+⎧⎨+++=⎩，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=，所以1222b D E x x +++=-，2122b Ebx x =+，又1232x x b +=-，()212314b x x -=，所以3222b D E b ++-=-，()223142b b Eb -+=，所以1322D b b =+，1322E b b=-，因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b ⎛⎫⎛⎫+++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22530b b ++=，解得32b =-，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =-，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =-时，1332722234D ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1332122234E ⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于方程2246330x bx b ++-=，有()2299361633361633044b b ⎛⎫∆=--=⨯-⨯-> ⎪⎝⎭，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x -+=，有2915Δ42028⎛⎫=--⨯⨯> ⎪⎝⎭，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以圆心为71,88⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：71,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程有2440y my --=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-，则1222M y y y m +==，111x my =+，221x my =+，则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x -，()1,0F ，则()1,2N m -，()212||41AB y m =-=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++-=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+=，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m =故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()1,0A -和点B 关于直线l ：10x y +-=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +-=（2）0y =或=1x -【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程.【详解】解：设点(),B m n 则1102211m n n m -+⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以点()1,0A -关于直线l ：10x y +-=对称的点的坐标为()1,2B （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =-，则直线1l 为：()21y x -=--，即30x y +-=.（2）由条件可知：22AB =，ABC 的面积为2，则ABC 的高为22222h ⨯==，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB 的距离为2.直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b ，则有122a b -+=，即1b a =-或3b a =+又1b a =-，解得：10a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=⎩则直线2l 为：0y =或=1x -【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.18.已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d ==，则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +-+-=，即22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得22x ±=；当22x +=时，2y =；当22x -=时，2y =-；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222222222241a b a b a b ⎧⎛⎛⎛⎛-⎪-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222321722222r ⎛⎛+=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -=（2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-=，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，122916y y m -=±-，AC 的方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+，BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+-()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()222249144(24)1824(8)9160916916916m t t mt t t m m m m ---⇔-±=---3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去），∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--，AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2n y x =--，,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n n y x y x ∴=+=--，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-，又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=．将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mt m t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20.已知双曲线22:154x y Γ-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =-上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94-；（2）存在98(,)55P -或98(,55P -满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ-，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x -，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD 方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．【小问1详解】由已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ-，(0)λ≠，∴1839k λλ=--，2893k λλ-=-，121139939884k k λλλλ---+=+=--；【小问2详解】设00(9,8)P x x -，（00x ≠），∴010893x k x -=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x y x x -=++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x y x x -=++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x -++=+，即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++--++=，2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=-++，00121212012012883()33(2)[29393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=-++=-+++2200002200000083480832(2))93112527045932561x x x x x x x x x x ⋅=-+=--+---+++2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x -+-+=⋅=+++++，同理CD 的方程为008(3)93x y x x -=--，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x -++-+-=，2034200480549x x x x x +=--+，20034200112527045549x x x x x x -+-=-+，∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC OD y x x x x x y k k x x x x x x x x -+-⋅+=+=-=----+20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x ---=-=--+-+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x -+--+=++-+，整理得200(251)0x x -=，∵00x ≠，∴015x =±，∴存在98(,)55P -或98(,)55P -满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x -，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠= 的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +-=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A p y FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +-=；（2）表达出0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==.【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=︒===，设(),A A A x y ，由焦半径可得：2A p y FA FD +===，112222ABD A p S BD y p ⎛⎫=⋅⋅+=⨯= ⎪⎝⎭ ，解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +-=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m k p n m k b ⎧+⎪=-⎪⎪⎨⎪-⎪=⋅+⎪⎩，解得：221212b p m k k b p p n k +⎧=-⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb --=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==-，则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b+=++++()222221220pb k pk b b pb b -+++=-+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==，【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22.如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A -，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)，满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=-=-【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =-=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty -=，显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x-=⎧⎨=⎩消去x 得：2440y ty m --=则有：4P Q y y m⋅=-由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON =从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m =，进而有：4||E D DE x x m m=-=-结合||,4P Q OD m y y m =⋅=-（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<）可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅314()444m m m m m m=⋅⋅-⋅=-+又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m-⋅-+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y m y x⎧-⋅-+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：24(4)40x m x m-+-+=由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤-令3()4g m m m =-+，求导可知()g m在上单调递增又43-≤=故有：()g m在(0,4-上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=-=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。
