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高中数学-函数与方程

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高中数学-函数与方程

【知识点及例题】

1函数零点的等价关系

2零点存在性定理

3 二次函数y= ax2 + bx+ c（a>0）零点的分布

根的分布

（m

xi

△>0, _b_

—2a

f m >0

m

rn 、一/ J

△>0,

b —厂 >m, 2a '

f m >0

续表

根的分布

（m

为常数） 图象 满足条件

第2页共4页

xi

y

f(m)<0

m

X2

X

书0 〕“ vf r 「旷R工

A>0，

b m< — —

f m >0，

f n >0

m

n

\

恫0 J| V

p r

f m >0，

f n <0, f p >0

只有一根在

(m，n)之间

1

A= 0，

b m<—〒

或 f(m) f(n)<0

4二分法

对于在区间［a, b］上连续不断且f(a) f・(b)<0的函数 尸f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二

使区间的两个端点逐步逼近零点』而得到零点近似值的方法叫做二分法.

注意点 零点存在性定理的使用条件

零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点， 并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单

调函数，则该函数在区间上至多有一个零点

命题法 判断零点的个数及所在的区间

6

典例 ⑴已知函数f(x)= -一 log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( ) x

A • (0,1) B. (1,2)

C. (2,4)

D. (4，+^ )

⑵函数f(x)= n<

=3cosy — log] x的零点个数是

2 ( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

⑶函数f(x)= 2

=2x — 2— a的一个零点在区间

x (1,2)内，则实数a的取值范围是( )

A. (1,3)

B. (1,2)

C. (0,3)

D. (0,2)

【解题法】 函数零点问题的解题方法 第3页共4页

(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法

第4页共4页

① 解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上.

② 利用零点存在性定理进行判断.

③ 画岀函数图象，通过观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来判断.

(2) 判断函数零点个数的方法

① 直接法：解方程 f(x)= 0,方程有几个解，函数 f(x)就有几个零点.

② 图象法：画岀函数 f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数 f(x)的零点个数.

③ 将函数f(x)拆成两个常见函数 h(x)和g(x)的差，从而f(x) = 0? h(x)— g(x)= 0? h(x)= g(x)，则函数f(x)的零点

个数即为函数y = h(x)与函数y = g(x)的图象的交点个数.

④ 二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式 △来判断.

(3) 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法

① 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.

② 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决.

③ 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画岀函数的图象，然后数形结合求解.

【补救练习】

1 1

1. 已知 xo 是 f(x) = 2 x + x的一个零点，X1 € ( — X，xo)，X2 € (x0,0)，则( )

A. f(X1)<0， f(X2)<0 B. f(x1)>0，f(X2)>0

C. f (X1)>0， f(x2)<0 D . f(x1)<0， f(x2)>0

2. 已知定义在 R上的函数y = f(x)对于任意的x都满足f(x + 1) =

— f(x)，当—K x<1时，f(x)= x3,若函数g(x) =f(x)— loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是( )

1 1

A. 0，5 U (5，+X ) B. 0，5 u [5，+X )

1 1

C. 7，5 U (5,7)

【巩固练习】

3•已知函数f(x) = ex — 2x+ a有零点，则 a的取值范围是 __________ .

1

4•已知函数f(x) = — m|x|有三个零点，则实数 m的取值范围为 __________

x+ 2

【拔高练习】

2X— 3， xW 0

5.已知函数f(x)= 3

In x— 2x + a， x>0 1 1

D. 7，5 U [5,7) 第5页共4页

有三个不同的零点，则实数 a的取值范围是 ___________ 第4 页共4 页

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《函数的零点与方程的解》教学设计

《函数的零点与方程的解》教学设计

《函数的零点与方程的解》教学设计

【教材分析】

1、教材来源：2019年人教A版新教材《普通高中教科书》数学必修第一册第四章第五节函数的应用(二)第一小节。

2、地位与作用：函数零点存在定理提供了判断方程是否存在实数解的一个新工具，为下一小节建立求方程的近似解提供理论依据;同时教材编排上进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程。

【教学目标分析】

1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系。

2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间。

3.能借助函数单调性及图象判断零点个数。

4.了解中外历史上的方程解法，将思政融入课堂，帮助学生认识数学，形成正确的数学观。

【教学重难点】

重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；

难点：零点的概念的形成。

【教学方法】

以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

教学环节（五环） 过程设计 设计意图

读

带领学生了解中外历史上的方程解法，在课堂中融入数学历史，帮助学生认识数学，形成正确的数学观。

【提问】你能求lnx=−2x+6方程的根吗？

议（一） 【探究一】方程的根与函数零点的关系

问题1：合作探究，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，完成下列的表格。

方程 3x+3=0 x2−2x−3=0 x2−2x+3=0

函数 y=3x+3 y=x2−2x−3 y=x2−2x+3

函数的图像

方程的的根

函数图像与x轴交点的横坐标

观察：根的个数与图像与x轴交点个数 。

函数的零点概念：

对于一般函数y=f(x), 把使f(x)=0的 叫做函数y=f(x)的 .

追问1：零点是一个点吗？

通过问题探究，使学生深入理解函数零点的概念，由特殊到一般，培养数学抽象的核心素养。

练（一） 练一：【算一算，看一看】

(1)函数y=f(x)的图像如右所示，则函数的零点为 ；

高中数学函数方程的求解步骤与例题

高中数学函数方程的求解步骤与例题

高中数学函数方程的求解步骤与例题

高中数学中，函数方程是一个重要的知识点，它是数学中的基础，也是后续学习的基础。在解函数方程时，我们需要掌握一定的求解步骤和技巧。本文将介绍高中数学函数方程的求解步骤，并通过具体的例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一类常见的函数方程：一次函数方程。一次函数方程的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数。要求解一次函数方程，我们可以按照以下步骤进行：

步骤一：将方程化为标准形式。一次函数方程的标准形式为y=kx+d，其中k和d为常数。我们可以通过移项和合并同类项的方式将方程化为标准形式。

例如，解方程2x+3y=6。我们可以将方程改写为3y=-2x+6，再进一步化简为y=-2/3x+2。这样，我们就将方程化为了标准形式。

步骤二：确定函数的斜率和截距。在标准形式中，k表示函数的斜率，d表示函数的截距。斜率决定了函数的增减趋势，截距则决定了函数与y轴的交点。

例如，在标准形式y=-2/3x+2中，斜率为-2/3，截距为2。

步骤三：根据斜率和截距绘制函数图像。我们可以利用斜率和截距来绘制函数的图像，从而更直观地理解函数的性质。

例如，在标准形式y=-2/3x+2中，斜率为-2/3，表示函数下降的速度为2/3。截距为2，表示函数与y轴的交点为(0,2)。我们可以利用这些信息在坐标系中绘制出函数的图像。

通过以上步骤，我们可以求解一次函数方程，并对函数的性质有一个直观的认识。下面我们通过一个例题来进一步说明： 例题：求解方程3x+2y=8，并绘制函数的图像。

解答：首先，我们将方程化为标准形式。将方程进行移项和合并同类项的操作，得到2y=-3x+8，进一步化简为y=-3/2x+4。

其次，我们确定函数的斜率和截距。由标准形式可知，斜率为-3/2，截距为4。

最后，我们绘制函数的图像。根据斜率和截距，在坐标系中找到截距为(0,4)的点，并根据斜率的大小确定函数的增减趋势。连接这些点，就可以得到函数的图像。

最新高中数学函数与方程教案

最新高中数学函数与方程教案

精品文档

精品文档 《函数与方程》

一、教材分析

1、教材的地位与作用

本节内容是本章的开启，在学习本节内容之前，学生们已经学习过了基本初等函数的相关性质，这为过渡到本节的学习起到了铺垫性的作用。函数与方程既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

就本章而言，本节课渗透着重要的“特殊到一般的归纳思想”、“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好的基础，因此教好本节是至关重要的。同时，本节内容的为下一节函数模型及其应用奠定了基础。

2、教学目标

（1）知识与技能：结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；掌握求函数零点及判断函数零点个数的方法；

（2）过程与方法：通过数形结合的思想方法，让学生感受数学探索的成就感；通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力；

（3）情感态度与价值观：让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。 精品文档

精品文档 3、教学重难点

（1）教学重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；

解决策略：从方程的根和函数图像与x轴的交点入手深化零点的概念，多举实例加强零点存在性的判定。

（2）教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

解决策略：与学生共同探究，理解零点、体验零点的确定，应用零点,进而掌握方法. 通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辩证关系，掌握函数零点存在性的判断。

4、课时安排：本节内容分为两个课时完成。第一课时是方程的根与函数的零点；第二课时是用二分法求方程的近似解。本节课设计的是第一课时的内容。

高中函数定义

高中函数定义

高中函数定义

函数是数学中的基本概念，也是高中数学中的重要内容之一。在高中数学中，函数被广泛应用于各个领域，如代数、几何、概率等。高中函数定义是指高中数学课程中教授的函数的概念及其相关性质和应用的内容。

一、函数的基本概念

函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。函数通常用字母表示，比如f(x)。其中，x称为自变量，f(x)称为因变量。函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能取值。函数可以用多种形式表示，如函数表达式、图像、数据集等。

二、函数的性质

1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的基本性质。定义域的确定需要考虑函数的合理性和可行性，值域的确定要依据函数的定义和性质。

2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的增减关系。可以分为单调递增和单调递减两种情况。

3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数在定义域内的对称性。奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

4. 周期性：周期函数是指函数在一定范围内具有重复的性质。周期函数可以通过周期和函数值的关系来确定。 5. 对称轴：对称轴是指函数图像的对称轴线。对称轴可以通过函数表达式的形式来确定。

三、函数的应用

函数在高中数学中有广泛的应用。以下是一些常见的应用情况：

1. 函数的图像：通过函数的图像可以对函数的性质进行分析和判断。函数的图像可以通过手绘、数学软件或图形计算器等工具得到。

2. 函数的最值：函数的最值是函数在定义域内的最大值和最小值。最值可以通过函数的图像或数学方法进行求解。

3. 函数的方程：函数的方程是指由函数的定义和性质推导出的方程。函数的方程可以用于解决实际问题，如求解方程组、求解最值等。

4. 函数的导数：函数的导数是函数变化率的一种表示。导数可以用于求解函数的极值、判断函数的单调性等问题。

5. 函数的积分：函数的积分是函数的反导数。积分可以用于计算函数的面积、求解曲线长度等问题。