2018年高考数学总复习课时规范练15导数与函数

1 课时规范练15 导数与函数的小综合

基础巩固组

1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )

A.(-∞,2) B.(0,3)

C.(1,4) D.(2,+∞)

2.(2017山东烟台一模,文9)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(

)

A.a>0,b>0,c>0,d<0

B.a>0,b>0,c<0,d<0

C.a<0,b<0,c>0,d>0

D.a>0,b>0,c>0,d>0

3.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=( )

A.0 B.2 C.-4 D.-2

4.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)2ex的解集为 ( )

A.(-∞,0) B.(-∞,2)

C.(0,+∞) D.(2,+∞)

5.(2017辽宁大连一模,文8)函数f(x)=的图象大致为 (

)

6.(2017河南濮阳一模,文12)设f'(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导函数,满足xf'(x)+2f(x)=,则下列不等式一定成立的是( )

A. B.

C. D. 〚导学号24190732〛 2 7.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,0) B.

C.(0,1) D.(0,+∞)

8.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是

.

9.(2017河北保定二模)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象是连续不断的,若方程f'(x)=0无解,且∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,设a=f(20.5),b=f(log43),c=f(logπ3),则a,b,c的大小关系是 .

10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .

11.(2017山东泰安一模,文14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g'(x)为g(x)的导函数,对∀x∈R,总有g'(x)>2x,则g(x)

综合提升组

12.(2017广西南宁一模)已知函数f(x)=-x2-6x-3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,m<-2,若∀x1∈[m,-2),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则m的最小值为 ( )

A.-5 B.-4

C.-2 D.-3

13.定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且对∀x∈(0,+∞),2f(x)

A.

B.

C.

D. 〚导学号24190733〛

14.(2017河北邯郸二模,文16)若函数f(x)=(x2-ax+a+1)ex(a∈N)在区间(1,3)内只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处切线的方程为 . 3 创新应用组

15.(2017安徽淮南一模,文12)如果定义在R上的函数f(x)满足:对于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则称f(x)为“H函数”.给出下列函数:

①y=-x3+x+1;

②y=3x-2(sin x-cos x);

③y=1-ex;

④f(x)=

其中“H函数”为( )

A.3 B.2

C.1 D.0 〚导学号24190734〛

16.(2017安徽合肥一模,文16)已知函数f(x)=-x3+3x2-ax-2a,若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,则a的取值范围是 .

答案：

1.D 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.

2.C 由题图可知f(0)=d>0,排除选项A,B;∵f'(x)=3ax2+2bx+c,

且由题图知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D.故选C.

3.B 因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'(x)=3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系可知m+n=-=2.

4.C 设g(x)=,则g'(x)=.

∵f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增.

∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,

∴不等式f(x)>2ex等价于g(x)>g(0).∵函数g(x)在定义域内单调递增,

∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C.

5.B 函数f(x)=的定义域为x≠0,x∈R,当x>0时,函数f'(x)=,可得函数的极值点为x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,当x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B,D满足题意.当x<0时,函数f(x)=<0,选项D不正确,选项B正确. 4 6.B ∵xf'(x)+2f(x)=,

∴x2f'(x)+2xf(x)=,

令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增.

∴g(2)=4f(2)

7.B ∵f(x)=x(ln x-ax),∴f'(x)=ln x-2ax+1,由题意可知f'(x)在(0,+∞)内有两个不同的零点,令f'(x)=0,

得2a=,设g(x)=,则g'(x)=,∴g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.

∵当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,而g(x)max=g(1)=1,

∴只需0<2a<1,即0

8.(0,1)∪(2,3) 由题意知f'(x)=-x+4-=-.

由f'(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.

则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1

9.a>c>b ∵方程f'(x)=0无解,

∴f'(x)>0或f'(x)<0恒成立,

∴f(x)是单调函数;

由题意得∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,

且f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数,则f(x)-log2 015x是定值.

设t=f(x)-log2 015x,则f(x)=t+log2 015x,∴f(x)是增函数.

又0c>b.故答案为a>c>b.

10.(-∞,-1)∪(0,1) 当x>0时,令F(x)=,

则F'(x)=<0, 5 ∴当x>0时,F(x)=为减函数.

∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.

在区间(0,1)内,F(x)>0;

在(1,+∞)内,F(x)<0,即当00;

当x>1时,f(x)<0.

又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;

当x∈(-1,0)时,f(x)<0.

综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).

11.(-∞,-1) ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)的图象过原点,

∵g(x)=f(x+1)+5,∴g(x)的图象过点(-1,5).

令h(x)=g(x)-x2-4,∴h'(x)=g'(x)-2x.∵对∀x∈R,总有g'(x)>2x,

∴h(x)在R上是增函数,又h(-1)=g(-1)-1-4=0,

∴g(x)

12.A ∵g(x)=2x3+3x2-12x+9,

∴g'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),

则当01时,g'(x)>0,函数g(x)递增,

∴当x>0时,g(x)min=g(1)=2.

∵f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,作函数y=(x)的图象,如图所示,

当f(x)=2时,方程两根分别为-5和-1,则m的最小值为-5,故选A.

13.B 令g(x)=,x∈(0,+∞),

则g'(x)=.

∵∀x∈(0,+∞),2f(x)

∴g'(x)>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,

∴,又f(x)>0,

∴.

令h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)=.

∵∀x∈(0,+∞),2f(x)

∴h'(x)=<0,

∴函数h(x)在(0,+∞)内单调递减,∴,

又f(x)>0,∴.

综上可得,故选B.

14.x-y+6=0 ∵f'(x)=ex[x2+(2-a)x+1],若f(x)在(1,3)内只有1个极值点,

∴f'(1)·f'(3)<0,即(a-4)(3a-16)<0,解得4

∵a∈N,∴a=5.

故f(x)=ex(x2-5x+6),f'(x)=ex(x2-3x+1),故f(0)=6,f'(0)=1,

故切线方程是y-6=x,故答案为x-y+6=0.

15.B 根据题意,对于x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),

则有f(x1)(x1-x2)-f(x2)(x1-x2)≥0,

即[f(x1)-f(x2)](x1-x2)≥0,

分析可得,若函数f(x)为“H函数”,则函数f(x)为增函数或常数函数.

对于①,y=-x3+x+1,有y'=-3x2+1,不是增函数也不是常数函数,则其不是“H函数”;