必修1一元二次不等式的解法复习含详细知识点和例题答案

辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。

一元二次不等式的解法复习要点1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．一一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)．2．计算相应的判别式．3．当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．4．利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．二三个二次之间的关系三个二次间的关系，最终转化为二次函数来理解二次方程的根，二次不等式的解集．判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}{x |x ≠x 1}Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅三分式不等式与整式不等式f x g x >0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；f x g x ≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.四简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为{x ＜－a 或x ＞a }；|x |<a (a >0)的解集为{x |－a ＜x ＜a }．常/用/结/论1．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件a >0且b 2－4ac <0(x ∈R )．2．ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件a <0且b 2－4ac <0(x ∈R )．判别式的符号，可判断二次函数的图象与x 轴的交点个数，从数形结合的角度理解恒成立问题．1．判断下列结论是否正确．(1)不等式－x 2－x ＋6＞0的解集是{x |x ＜－3或x ＞2}．()(2)不等式x －1x ＋3≥2等价于x －1≥2x ＋6.()(3)不等式x 2－a ≤0的解集是[－a ，a ]．()(4)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，关于x 的不等式f (x )＜0的解集为(－1,3)，则f (4)＞f (0)＞f (1)．(√)2．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ＋b ＝()A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：－ba＝－2＋1，－2a＝－2×1，＝1，＝1，所以a ＋b ＝2.答案：D3．若关于x 的一元二次不等式2x 2－kx ＋38＞0对于一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为()A ．{k |k ＜－3}B ．{k |k ＞3}C ．{k |－3＜k ＜3}D ．{k |k ＜－3或k ＞3}解析：由题意，知Δ＝(－k )2－4×2×38＜0，解得－3＜k ＜ 3.故选C ．答案：C 4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为()A －12，1B ．－12，1C∞[1，＋∞)D ∞，12∪[1，＋∞)解析：x －12x ＋1≤0，x ＋1≠0，－12x ≤1，≠－12，即－12<x ≤1.－12，1.故选A ．答案：A题型一元二次不等式解法的多维研讨维度1一元二次不等式的解法典例1解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4.两题角度不同呢！(1)题先转变二次项系数为正．(2)题转化为不等式组．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤43，|－2≤x ≤43(2)2－x －2＞0，2－x －2≤4⇔2－x －2＞0，2－x －6≤0x －2x ＋1＞0，x －3x ＋2≤0⇔借助于数轴，如图所示，数形结合此时固然很好，但是更应加强心算能力．原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}．解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R 或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．对点练1解关于x 的不等式．(1)－3x 2＋6x ≤2；(2)(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)＞0.解：(1)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.∵Δ＝12＞0，∴方程3x 2－6x ＋2＝0有两个实数根，解得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，画出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图所示，由图可得原|x ≤3－33或x ≥3＋33(2)∵x 2－x ＋1＋34＞0，∴x 2－x －1＞0.由求根公式知方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1＞0|x ＜1－52或x ＞1＋52|x ＜1－52或x ＞1＋52维度2分式不等式的解题技法典例2解不等式1－2x x ＋1≥0.解：原不等式可化为(1－2x )(x ＋1)≥0且x ＋1≠0，解得－1＜x ≤12，故所求不等式转化为乘积式后，注明分母不为零．|－1＜x ≤121．分式不等式的转化途径解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式．(1)f x g x >0⇔f (x )g (x )>0.(2)f x g x <0⇔f (x )g (x )<0.(3)f x g x≥0x gx ≥0，x ≠0.(4)f xg x≤0x g x ≤0，x≠0.2．“穿针引线法”解一元高次不等式如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用穿针引线法(亦称数轴标根法)求解．画出符号波浪线，特点是：(1)最右端的区间符号为正．(2)从右至左符号正负交替，并关注因子的指数奇偶的变化，从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，注意应遵循“奇穿偶切”原则．如(x －1)2(x －2)(x －3)≥0在数轴上标根穿线时，点1处的线过而不穿．对点练2解不等式3x 2－14x ＋14x 2－6x ＋8≥1.解：原不等式可化为3x 2－14x ＋14x 2－6x ＋8－1≥0，整理得x －1x －3x －4x －2≥0.x －1x －2x －3x －4≥0，－4≠0，－2≠0.在数轴上标出根的位置，可得不等式的解集为{x |x ≤1或2＜x ≤3或x ＞4}．维度3含参一元二次不等式的解法典例3解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ∈R )．含参一元二次不等式的解法，关键在于如何讨论参数．(ⅰ)参数出现于二次项系数，则讨论a 和0的大小；(ⅱ)参数出现在根里面，则比较两根1a 和1的大小，讨论a 和1的大小.从而要讨论a 和0,1的大小，一方面要看开口方向，另一方面兼顾两根大小比较．解：原不等式可化为(ax －1)(x －1)＜0，当a ＞0x －1)＜0，所以当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a；当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1＜0，即x ＞1;当a ＜0时，1a ＜1x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜1a .综上，当0＜a ＜1|1＜x ＜1a 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1|1a x ＜1当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞1}；当a ＜0|x ＜1a或x ＞1解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.对点练3解关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0.解：由题意知，Δ＝a 2－4.①当a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x ＝a ±a 2－42，∴|a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42②若Δ＝a 2－4＝0，则a ＝±2.当a ＝2时，原不等式可化为x 2－2x ＋1≤0，即(x －1)2≤0，∴x ＝1；当a ＝－2时，原不等式可化为x 2＋2x ＋1≤0，即(x ＋1)2≤0，∴x ＝－1.③当Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a ＜2时，原不等式的解集为∅.综上，当a ＞2或a ＜－2|a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42当a ＝2时，原不等式的解集为{1}；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜2时，原不等式的解集为∅.题型三个二次的关系典例4若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式a (x 2＋1)＋逆向思维，－1,2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．b (x －1)＋c ＞2ax 的解集是()A ．{x |0＜x ＜3}B ．{x |x ＜0或x ＞3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |－1＜x ＜3}解析：由a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax ，得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )＞0.①又不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，所以a ＜0，即－1＋2＝－ba ，－1×2＝c a ，②这里可知b ＝－a ，c＝－2a ，代入原不等式，不必过分强调技巧.将①两边同除以a ，得x 2＋c a －③.将②代入③，得x 2－3x ＜0，解得0＜x ＜3.故选A ．1．三个二次的关系体现了数形结合以及函数与方程的思想方法，应用极广，是高考的热点之一．2．不等式解集的端点值是相应等价方程的根．对点练4(多选)若不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是(－1,2)，则()A ．相应的一元二次函数的图象开口向下B ．b ＜0且c ＞0C ．a ＋b ＋c ＞0D ．不等式ax 2－cx ＋b ＜0的解集为R解析：由题意知a ＜0，所以A 正确；由题意可得－1,2是方程ax 2－bx ＋c ＝0的两个根，1＋2＝ba ，1×2＝ca ，＝a ，＝－2a ，得b ＜0，c ＞0，所以B 正确；因为－1是方程ax 2－bx ＋c ＝0的根，所以把x ＝－1代入方程，得a ＋b ＋c ＝0，所以C 不正确；把b ＝a ，c ＝－2a 代入不等式ax 2－cx ＋b ＜0，可得ax 2＋2ax ＋a ＜0，因为a ＜0，所以x 2＋2x ＋1＞0，即(x ＋1)2＞0，此时不等式的解集为{x |x ≠－1}，所以D 不正确．答案：AB题型不等式恒成立求参数问题典例5(2024·东北三校联考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)若当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；在R 内恒成立求参，须转化为对判别式Δ的讨论．(2)若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；在区间内恒成立求参，转化为含参二次函数最值的讨论．(3)若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．题目中，给出哪个字母的范围，我们就应把该字母看作自变量.本小问中，应把a 作为自变量，从而函数转化为关于a 的一次函数，x 则作为参数处理．解：(1)(在实数集R 上恒成立)因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，所以Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，解得－6≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)(在给定区间上恒成立)由题意，原不等式可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立，则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])．下面是对二次函数最小值的讨论，分三种情况，即对称轴和区间的三种不同位置关系，进行讨论．令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]，函数图象的对称轴方程为x ＝－a2当－a 2＜－2，即a ＞4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝＝－a 24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，所以－4≤a ≤2；当－a2＞2，即a ＜－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，所以－7≤a ＜－4.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)(给定参数范围的恒成立)令h (a )＝xa ＋x 2＋3，此方法常称为“转换主元法”，只需两端点的值都大于或等于0.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．4≥0，6≥0，2＋4x ＋3≥0，2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.所以实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．恒成立问题的解法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某个给定区间上恒成立．对点练5(1)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是() A．{a|a＜－2或a≥2}B．{a|－2＜a＜2}C．{a|－2＜a≤2}D．{a|a＜2}(2)(2024·山东济宁月考)已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：(1)由题意，得不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0的解集为R，即不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立．当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0，符合题意；当a －2＜0，即a＜2时，由Δ＝[2(a－2)]2＋4×4×(a－2)＜0，解得－2＜a＜2.故实数a的取值范围是{a|－2＜a≤2}．故选C．(2)∵f(x)＝x2－4x－4且f(x)＜1，即x2－4x－4＜1，解得－1＜x＜5，即x∈(－1,5)．∵f(x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成立，∴(m－1，－2m)⊆(－1,5)．1≤m－1，－1＜－2m，2m≤5，解得0≤m＜13，即m∈答案：(1)C(2)。

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或 典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解． 说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．分析：进行分类讨论求解．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2a x ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、b 式子．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解． 典型例题十三例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．解：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x(2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或ax 1<． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为a x 11<<．当1=a 时，11=a，此时②的解为11<<x a． 说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十五例15 解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组：①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或，∴8>x 由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或 81374≤<x ， 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或，即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x ． 说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ， 这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032， 则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ． 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。

2.6 一元二次不等式的解法（解析版） 回顾过去 1．一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一

元二次不等式的一般形式是20axbxc，其中a，b，c均为常数，0a． 2．一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 类比初中数学中用一次函数的图像求解一次不等式，我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不

等式的解集．以不等式2230xx为例： （1）画出一元二次函数223yxx的图象．

（2）观察发现它与x轴交点的横坐标分别为1和3， 即当11x，23x时，2230xx（方程的根）． （3）进而，当13x时，一元二次函数223yxx的图象在x轴下方，满足0y． （4）即2230xx的解集为{|13}xx（一元二次不等式的解集）． 设00022acbxaxcbxax或相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：

0 0 0 二次函数 cbxaxy2 （0a）的图象

cbxaxy2 cbxaxy2 cbxaxy2

一元二次方程 的根002a

cbxax 有两相异实根 )(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根

的解集)0(02acbxax 

21xxxxx或



abxx

2 R

的解集)0(02acbxax 

21xxxx  

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,xx． 那么“0”型的解为12xxxx或(俗称两根之外)；“0”型的解为12xxx(俗称两根之间)；

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库单选题1、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（ ）A ．134B ．94C ．74D ．95 答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1=(4m+1+1n+1)(m+14+n+14)=n+1m+1+m+14(n+1)+54 ≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54=94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即m =53，n =13时等号成立.故选：B .2、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a，即{ba=−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(ba −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x2−3x<0，解得0<x<3．故选：A3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．{x|−2<x<1}B．{x|x<−2或x>1}C．{x|−2≤x≤1}D．{x|x≤−2或x≥1}答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：ax2+bx+c>0有−2<x<1.故选：A4、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．5、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.6、已知p：a>b>0q：1a2<1b2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据a>b>0与1a2<1b2的互相推出情况判断出属于何种条件.当a>b>0时，a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以充分性满足，当1a2<1b2时，取a=−2,b=1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，故选：A.7、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C8、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）A．a>0，ab=12B． a>0，ab=2C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，由二次函数的性质可知，此时必有2a=b，即ab=2，故选：B多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、下列说法中正确的是（ ） A ．若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1 B ．若-2<a <3，1<b <2，则-3<a -b <1 C ．若a >b >0，m >0，则ma<mbD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 答案：AC分析：利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.对于A ，因c 2+1>0，于是有1c 2+1>0，而a >b ，由不等式性质得a c 2+1>bc 2+1，A 正确； 对于B ，因为1<b <2，所以-2<-b <-1，同向不等式相加得-4<a -b <2，B 错误； 对于C ，因为a >b >0，所以1a <1b ，又因为m >0，所以ma <mb ，C 正确；对于D ，−1>−2且−2>−3，而(−1)⋅(−2)<(−2)(−3)，即ac >bd 不一定成立，D 错误. 故选：AC11、下列说法正确的是（ ）A ．若x >2，则函数y =x +1x−1的最小值为3B ．若x >0,y >0，3x +1y =5，则3x +4y 的最小值为5 C ．若x >0，则xx 2+1的最大值为12D ．若x >0,y >0,x +y +xy =3，则xy 的最小值为1 答案：BC分析：利用基本不等式以及“1”的代换，结合不等式的解法，逐项判定，即可求解.对于A 中，由x >2，可得函数y =x +1x−1=(x −1)+1x−1+1≥2√(x −1)×1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1时，即x =2时等号成立，因为x >2，所以等号不成立，所以函数y =x +1x−1的最小值为不是3，所以A 不正确；对于B 中，由x >0,y >0，3x+1y=5，则3x +4y =15⋅(3x +4y)(3x+1y)=15×[13+(12y x+3x y)]≥15×(13+2√12y x×3x y)=5，当且仅当12y x=3x y时，即x =2y =1时，等号成立，所以3x +4y 的最小值为5，所以B 正确；对于C 中，由x >0，则x x 2+1=1x+1x因为x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x时，即x =1时，等号成立，所以x x 2+1的最大值为12，所以C 正确；对于D 中，由x >0,y >0，可得x +y +xy ≥2√xy +xy ，当且仅当x =y 时，等号成立， 所以xy +2√xy ≤3，即xy +2√xy −3=(√xy +3)(√xy −1)≤0， 解得0<√xy ≤1，即0<xy ≤1，所以xy 的最大值为1，所以D 不正确. 故选：BC.12、已知正数a ，b 满足a +2b =1，则（ ） A ．ab 有最大值18B ．1a +2b 有最小值8 C ．1b+ba有最小值4D ．a 2+b 2有最小值15答案：ACD分析：A 由a ⋅2b ≤(a+2b 2)2即可确定ab 最大值；B 利用基本不等式“1”的代换有1a +2b =2b a+2a b+5即可求最小值；C 将a +2b =1代入，利用基本不等式即可求最小值；D 将a =1−2b 代入，结合二次函数的性质求最值. A ：a ⋅2b ≤(a+2b 2)2=14，则ab ≤18当且仅当a =12，b =14时取等号，正确；B ：1a +2b =(a +2b )(1a +2b )=2b a +2a b+5≥4+5=9，当且仅当a =b =13时取等号，错误；C ：1b +ba =a+2b b+ba =2+ab +ba ≥2+2=4，当且仅当a =b =13时取等号，正确；D ：a 2+b 2=(1−2b )2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15(0<b <12)，故最小值为15，正确.故选：ACD13、下列命题不正确的（）A．1a <1b<0⇒|a|>|b|B．ac>bc⇒a>bC．a 3>b3ab>0}⇒1a<1bD．a2>b2ab>0}⇒1a<1b答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A：∵1a <1b<0∴ab>0且−1a>−1b>0，因此−1a⋅ab>−1b⋅ab>0⋅ab，即−b>−a>0⇒|−b|>|−a|>0⇒|b|>|a|，故本命题不正确；B：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C：由a3>b3⇒a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)>0，而ab>0，所以有a>b，而1a −1b=b−aab<0⇒1a<1b，故本命题正确；D：若a=−2,b=−1，显然{a 2>b2ab>0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 填空题14、已知a,b,c均为正实数，且aba+2b ⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c均为正实数，所以由题可得：0<a+2bab ≤3,0<b+2cbc≤4,0<c+2aac≤5，即0<1b+2a≤3，0<1c+2 b ≤4，0<1a+2c≤5，三式相加得：0<3(1a+1b+1c)≤12，所以0<1a+1b+1c≤4所以1a +1b+1c的最大值为4所以答案是：415、若a>0,b>0，则1a +ab2+b的最小值为____________．答案：2√2分析：两次利用基本不等式即可求出. ∵a >0,b >0， ∴1a +a b2+b ≥2√1a⋅a b2+b =2b+b ≥2√2b⋅b =2√2， 当且仅当1a =a b2且2b=b ，即所以1a +ab 2+b 的最小值为2√2. 所以答案是：2√2.16、已知a ，b ∈R ，若对任意x ≤0，不等式(ax +2)(x 2+2bx −1)≤0恒成立，则a +b 的最小值为___________． 答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，由此确定a >0，x <0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b 的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a +b （用a 表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x ≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a >0， g(x)=0时，x =−2a ，x <−2a 时，g(x)<0，−2a <x ≤0时，g(x)>0， 因此x <−2a 时，f(x)>0，−2a <x ≤0时，f(x)<0，f(−2a )=0， 所以4a 2−4b a−1=0①，−b >−2a②，由①得b =1a−a 4，代入②得a 4−1a>−2a，因为a >0，此式显然成立．a +b =1a+3a 4≥2√1a×3a 4=√3，当且仅当1a=3a 4，即a =2√33时等号成立， 所以a +b 的最小值是√3． 所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而a b ==可求得a +b 的最小值． 解答题17、设函数f (x )=mx 2−mx −1．（1）若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； （2）解不等式f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1． 答案：（1）(−4,0]；（2）答案见解析．分析：（1）分别在m =0和m ≠0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果； （2）将不等式整理为(x −m )(x −2)<0，分别在m <2，m >2和m =2三种情况下求得结果. （1）由f (x )<0知：mx 2−mx −1<0， 当m =0时，−1<0，满足题意；当m ≠0时，则{m <0Δ=m 2+4m <0，解得：−4<m <0；综上所述：m 的取值范围为(−4,0]．（2）由f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1得mx 2−mx −1−mx 2+x 2−2x +2m +1<0， 即x 2−(m +2)x +2m <0，即(x −m )(x −2)<0；当m <2时，解得：m <x <2；当m >2时，解得2<x <m ；当m =2时，解集为∅． 综上所述：当m <2时，解集为(m,2)；当m >2时，解集为(2,m )；当m =2时，解集为∅． 18、已知关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0). （1）若不等式的解集是{x |x <−3或x >−2}，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围． 答案：（1）k =−25；（2）(−∞,−√66)；（3）[√66,+∞). 分析：（1）由题意可知不等式kx 2−2x +6k =0的两根分别为−3、−2，利用韦达定理可求得实数k 的值； （2）由题意得出{k <0Δ<0，由此可解得实数k 的取值范围；（3）由题意得出{k >0Δ≤0，由此可解得实数k 的取值范围.（1）因为不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是{x |x <−3或x >−2}， 所以，−3和−2是方程kx 2−2x +6k =0的两个实数根，且k <0， 由韦达定理得(−3)+(−2)=2k，所以k =−25；（2）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是R ，所以{k <0Δ=4−24k 2<0，解得k <−√66， 因此，实数k 的取值范围是(−∞,−√66)； （3）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集为∅， 则不等式kx 2−2x +6k ≥0(k ≠0)对任意的x ∈R 恒成立， 所以{k >0Δ=4−24k 2≤0，解得k ≥√66. 因此，实数k 的取值范围是[√66,+∞). 小提示：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.。

第三节二次函数与一元二次方程、不等式知识清单1.一元二次不等式的定义（1）一般地，我们把只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.（2）一元二次不等式的一般形式为：02>++c bx ax 或02<++c bx ax ，其中c b a ，，为常数，0≠a .2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系0>∆0=∆0<∆cbx ax y ++=2（0>a ）的图象的根)0(02>=++a c bx ax 有两个不相等的实数根)(2121x x x x <，有两个相等的实数根abx x 221-==没有实数根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或}2{ab x x -≠R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅3.解一元二次不等式的步骤（1）将原不等式化为)0(02>>++a c bx ax 的形式（利用开口向上的二次函数的图象来解不等式）；（2）不等式若能因式分解，则求出两根，利用图象求出解集（口诀“大于取两边，小于取中间”）；（3）不等式若不能因式分解，则判断∆，⎩⎨⎧>∆<≥≤∆求出根，再用口诀，用求根公式或者配方无解恒成立，不等式，不等式00004.解分式不等式的步骤（1）移项通分；（2）再化为整式（注意分母不能为0）如0)(0011>-⇒>-⇒>-⇒>a b a a a b a b a b ，注意：00≥⇔≥ab ab 且0≠a题型训练题型一解一元二次不等式1．一元二次不等式0652<+-x x 的解集为（）A ．}32{><x x x ，或B ．}32{<<x x C ．}61{>-<x x x ，或D ．}61{<<-x x 2．一元二次不等式0622≤+--x x 的解集为（）A ．}232{≥-≤x x x ，或B ．}232{≤≤-x x C ．}223{≥-≤x x x D ．}223{≤≤-x x 3．不等式4562<+x x 的解集为4．一元二次不等式012>+-x x 的解集为题型二解分式、绝对值和高次不等式绝对值不等式—分类讨论与数轴法一元高次不等式—穿轴法（奇穿偶不穿，从右上方往下穿）5．不等式11≥-xx的解集为（）A ．}210{≥<x x x ，或B ．}210{≤<x x C ．}210{≥≤x x x ，或D ．}210{≤≤x x 6．不等式0)1)(2(223≥-++-x x x x 的解集为（）A ．}20{≥≤x x x ，或B ．}0{≤x x C ．}210{≤≤≤x x x ，或D ．}21{≤≤x x 7．不等式0162>---x x x 的解集为（）A ．}32{>-<x x x ，或B ．}312{<<-<x x x ，或C ．}312{><<-x x x ，或D ．}3112{<<<<-x x x ，或8．不等式3121≤-≤x 的解集为9．不等式1123<+x x的解集为10．解下列不等式：（1）0232≤+-x x （2）xx ≥+6题型三解含参数的不等式（确定开口方向及根的大小关系）11．关于x 的不等式)0(0622<<--a a ax x 的解集为（）A ．}3,2{a x a x x -><或B ．}32{a x a x -<<C ．}2,3{a x a x x ><或D ．}23{a x a x -<<12．若10<<t ，则关于x 的不等式01)((>--tx x t 的解集为（）A ．}1{t x t x x ><，或B ．}1{t x t x <<C ．}1{tx t x x ><，或D ．}1{tx t x <<13．若1>m ，则关于x 的不等式0)1(2≥--+m x m x 的解集为（）A ．}1{m x x x ->≤，或B ．}1{m x x -≤≤C ．}1{≥-≤x m x x ，或D ．}1{≤≤-x m x 14．当0>a 时，解关于x 的不等式01)1(2≥++-x aa x ．15．解关于x 的不等式02)32()1(2<++-+x a x a ．16．解关于x 的不等式12)1(>--x x a ．题型四根据不等式的解求值求参数一元二次不等式解集的端点为方程等于0的根，结合韦达定理（acx x a b x x =-=+2121，）求解如：)0(02><++a c bx ax 的解集为}{21x x x x <<，则21x x ，为方程02=++c bx ax 两根.17．不等式02>+-n mx x 的解集为}21{><x x x 或，则实数m 的值为（）A ．2B ．3-C ．1D ．318．已知不等式02≤++b ax x 的解集为}32{≤≤x x ，则=+b a （）A ．1-B ．1C ．2-D ．219．关于x 的不等式)0(08222><--a a ax x 的解集为}{21x x x x <<，且1512=-x x ，则=a （）A ．25B ．27C ．415D ．21520．关于x 的不等式02<-+b ax x 的解集为}13{<<-x x ，则不等式032<-+x ax 的解集为（）A ．}21{<<x x B ．}21{<<-x x C ．}121{<<-x x D ．}123{<<-x x 21．关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为}21{<<-x x ，则不等式02>--c ax bx 的解集为（）A ．}21{<<-x x B ．}12{<<-x x C ．}12{>-<x x x ，或D ．}21{>-<x x x ，或22．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集是}{βα<<x x )0(>α，则不等式02>++a bx cx 的解集是（）A ．}11{αβ<<x xB ．}{βα<<x x C ．}11{αβ><x x x D ．}{βα><x x x ，或23．若关于x 的不等式02)2(2<++-m x m x 的解集中恰有4个正整数，则实数m 的取值范围为（）A ．76≤<m B ．76<<m C ．76<≤m D ．6≥m 24．关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是（）A ．4312<≤-≤<-a a 或B ．4312≤≤-≤≤-a a 或C ．4312≤<-<≤-a a 或D ．4312<<-<<-a a 或25．若关于x 的不等式02<+-n mx x 的解集是}31{<<x x ，则实数m 的值为26．若关于x 的不等式1422->-+-c a ax x 的解集为}4{m x m x <<-，则实数c 的值为题型五一元二次不等式恒成立与有解问题①在R 上恒成立或有解主要考虑∆的正负问题，数形结合，有解无解问题转化为恒成立问题思考，注意对2x 的系数讨论．27．若不等式0442>++ax x 的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．08<<-a B ．08≤<-a C ．0<a D ．88<<-a 28．若不等式012≤-+ax ax 的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（）A ．40≤≤a B ．04<<-a C ．04≤≤-a D ．04<≤-a 29．已知关于x 的不等式01)2()4(22≥--+-x a x a 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A ．562≤≤-a B ．562<≤-a C ．256≤<-a D ．22≤≤-a 30．已知关于x 的不等式022<+-a ax x 在R 上有解，则实数a 的取值范围是②在某个范围内恒成立或有解（1）若不等式)0(02><++a c bx ax 在n x m <<上恒成立，只需端点满足，即⎩⎨⎧<++<++0022c bn an c bm am ；（2）若不等式)0(02>>++a c bx ax 在n x m <<上恒成立，则需讨论对称轴abx 2-=与n x m <<的位置关系，分对称轴在范围左中右三种情况讨论找最小值；（3）不等式恒成立求参数也可以采用参变分离，有解问题依旧可以转换为恒成立问题．参变分离：用变量表示参数，如：xx a x ax x ax x 11)0(0122+≤⇒+≤⇒>≥+-31．若关于x 的不等式0232<-ax x 在31<<x 内恒成立，则实数a 的取值范围（）A.3≤a B.29≥a C.293<<a D.30<<a 32．当0>x 时，不等式042≥+-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.44≤≤-a B.4≥a C.4-≤a D.4≤a 33．若关于x 的不等式042>--a x x 在41<<x 内有解，则实数a 的取值范围（）A ．3-<a B ．0<a C ．4-<a D ．4-≤a 34．若关于x 不等式05)2(2≥+++-a x a x 在41<<x 上恒成立，则实数a 的取值范围是题型六一元二次方程根的分布问题（1）韦达定理acx x a b x x =-=+21210≥∆的情况下，两个正根⎩⎨⎧>>+⇒002121x x x x ，两个负根⎩⎨⎧><+⇒002121x x x x ，一正一负021<⇒x x （2）根在某个区间，判断端点值的正负，对称轴的位置，数形结合35．已知方程02=+-a ax x 有两个不相等的正根，则实数a 的取值范围是（）A ．4>a B ．4≥a C ．0>a D ．40≤<a 36．已知方程0122=++x ax 至少有一个负根，则实数a 的取值范围是（）A ．10≤<a B ．1<a C ．1≤a D ．100≤<<a a 或37．已知方程032=+-ax x 一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是（）A ．4>a B ．4<a C ．2<a D ．2>a 38．已知方程0122=+-ax x 的两根21x x ，满足31021<<<<x x ，则实数a 的取值范围是（）A ．351<<a B ．135<<-a C ．351<<-a D ．1<a 或35>a 39．已知方程01)1(222=-+--k x k x 有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.40．已知方程05)2(2=-+--a x a x 的两根都大于2，求实数a 的取值范围.综合训练1．若不等式0122>++-bx x 的解集为}21{m x x <<-，则m b ，的值分别是（）A ．1，1B ．1，1-C ．1-，1D ．1-，1-2．已知方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 取值范围是（）A ．4-≤m 或4≥m B ．45-≤<-m C ．45-≤≤-m D ．25-<<-m 3．已知关于x 的不等式0322<+-a x ax 在20≤<x 上有解，则实数a 的取值范围是4．已知方程04)1(2=+--x a x 的两根21x x ，满足3121≤<≤x x ，则实数a 的取值范围是5．已知关于x 的不等式02<++c bx x 的解集为}32{<<x x （1）求c b ，的值；（2）求不等式012≤+-bx cx 的解集6．已知关于x 的不等式08322<-+kx kx （1）若不等式的解集为}123{<<-x x ，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．7．若R a ∈，解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax 8．已知关于x 的不等式02<++n mx x 的解集为}41{<<x x （1）求n m ，的值（2）若ax n mx x ≥++2对任意的0>x 恒成立，求a 的取值范围．第三节二次函数与一元二次方程、不等式参考答案题型一解一元二次不等式1-4B ，A ，}2134{<<-x x ，D 题型二解分式、绝对值和高次不等式5-9B ，C ，C ，}2101{≤≤≤≤-x x x ，或，}121{≤<-x x 10．（1）}2112{≤≤-≤≤-x x x ，或（2）}36{≤≤-x x 题型三解含参数的不等式11-13．D ，D ，C 14-16．略题型四根据不等式的解求值求参数17-21．D ，B ，A ，D ，C 22-26．A ，A ，C ，4，3-题型五一元二次不等式恒成立与有解问题27-30．D ，C ，C ，)8()0(∞+-∞，， 31-34．B ，D ，B ，4≤a 题型六一元二次方程根的分布问题35-40．A ，C ，A ，A ，1<k ，45-≤<-a 综合训练1-4．A ，B ，33<a ，3165≤<a 5．（1）6,5=-=c b （2）}3121{-≤≤-x x 6．（1）81=k （2）03≤<-k 7．略8．（1）45=-=n m ，（2）1-≤a。