2017年白云区初中毕业班综合测试

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．12 D ．355．函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79- 7．已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-= C ．240x y --= D ．240x y -+=8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．352 B ．358 C ．92 D ．989．已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ） A ．15 B ．9 C ．1 D ．53- 10．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ） A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83 B ．163 C ．323D ．16 12．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤时，mn的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，2OP OA mAB =+，若点P 在y 轴上，则实数m = ． 14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个． 15．设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，则08a a += ．16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+（*N n ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，23EB FD a ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数. （Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20．已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且433MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值. 21．已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为23cos ,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB 的最大面积. 23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13．2314．23 15．2590- 16．27 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =. 因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =.因为()2135213n n S a a a a -=++++，所以213S a =，即1213a a a +=. 因为22a =，所以11a =. 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =， 所以()111n n a q S q-==-122112nn -=--. 因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2nn n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯. 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯.所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=()1122n n +-+.因为123+++()12n n n ++=，所以()112n n T n +=-()122n n ++-.所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-. 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ， 因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥. 所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得31,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0C a ，31,,322E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以()0,,0AB a =，313,,222AF a a a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,3130222ay ax ay az =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =.因为31,,322CE a a a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，所以cos,n CEn CEn CE⋅==368.所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为368.19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，因为()11.68Pξ==0.60.50.30⨯=，()11.92Pξ==0.60.50.30⨯=，()12.1Pξ==0.40.50.20⨯=，()12.4Pξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为()21.68Pξ==0.70.60.42⨯=，()21.8Pξ==0.30.60.18⨯=，()22.24Pξ==0.70.40.28⨯=，()22.4Pξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令iQ表示方案i所带来的利润，则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5，2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()6,0±，离心率为305.因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以6a =，且22306a b a -=，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=. （Ⅱ）因为4323MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m-=()22160k m +->，所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则2121MN kx x =+-()22121214k x x x x =++-()222222411211616m km k k k -⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭. 因为433MN =，即()222222411211616m km k k k -⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭433=. 整理得()42221839791k k m k -++=+.令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=.等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意. 故m 的最大值为153. 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪. 因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .（Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x-=()()22ln 2ln 24ln x x x x x x +-.令()ln 2p x x x =-，所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11p x x x'=-10x x -=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p <ln e 2e 0=-<.所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e =-.所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=.将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=.解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ， 所以()()223012AB =-++=32.（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=.令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为2231211d ---=+32=.PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=.23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥.因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++，所以()2223a b c ++()2a b c ≥++.因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥.所以()()2211a b ++++()21613c +≥.（Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥.综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。

P CBA2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D（7）C （8）A （9）B （10）C （11）A （12）B 二、填空题（13）4π （14）540- （15）[)1,8,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ （16）292三、解答题 (17) 解:(Ⅰ) 在△APC 中, 因为60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=,由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠, ………………………1分所以()()2222424cos 60AP AP AP AP ︒=+--⋅⋅-⋅,整理得2440AP AP -+=, ………………………2分 解得2AP =. ………………………3分 所以2AC =. ………………………4分 所以△APC 是等边三角形. ………………………5分 所以60.ACP ︒∠=………………………6分(Ⅱ) 法1: 由于APB ∠是△APC 的外角, 所以120APB ︒∠=. ………………………7分D P CBA因为△APB的面积是2,所以1sin 22⋅⋅⋅∠=AP PB APB .…………………8分 所以3PB =. ………………………………………………………………………9分在△APB 中, 2222cos AB AP PB AP PB APB=+-⋅⋅⋅∠2223223cos120︒=+-⨯⨯⨯19=,所以AB =………………………………………………………………………10分 在△APB 中, 由正弦定理得sin sin =∠∠AB PBAPB BAP, ………………………11分所以sin ∠BAP ︒=38=.………………………………………………12分 法2: 作AD BC ⊥, 垂足为D ,因为△APC 是边长为2的等边三角形,所以1,30PD AD PAD ︒=∠=. ……………7分 因为△APB所以12AD PB ⋅⋅=. ………………………8分 所以3PB =. ………………………………………………………………………9分 所以4BD =.在Rt △ADB 中, AB == ……………………………………10分所以sin BD BAD AB ∠==, cos AD BAD AB ∠==. 所以()sin sin 30BAP BAD ︒∠=∠-sin cos30cos sin30BAD BAD ︒︒=∠-∠………………………11分12=38=. ……………………………………………………………12分（18）解： (Ⅰ) 22⨯列联表：………………………………………………………………………2分()222008010407011.111,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………………………………………3分 因为11.111 6.635>，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. …………4分 (Ⅱ) 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3． …………………………………………………………6分()()321332723540;1;512555125P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212323362= 55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3332383=55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………10分 X 的分布列为：………………………………11分所以2754368601231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ………………………………12分 或者:由于23,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则26355=⨯=EX . ………………………………12分(19) 解：(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB . …………………………………2分又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D =, …………………………………3分所以AB ⊥平面ADC . …………………………………………………………………4分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为∠CAD . ……5分又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AD . 依题意6tan ==∠ADCDCAD . ……………………………………………………6分 因为1AD =，所以6=CD . 设()0AB x x =>，则12+=x BD .依题意△ABD ～△BDC ，所以AB CDAD BD=，即1612+=x x . ………………7分解得x =3AB BD BC ====. ………………8分法1：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则)0,0,0(D ,)0,0,3(B ,)0,6,0(C ，E ⎫⎪⎪⎝⎭，A ⎝⎭，所以3DE ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，3DA ⎛= ⎝⎭. 由（Ⅰ）知平面BAD 的法向量)0,1,0(=n .……………………………………………9分 设平面ADE 的法向量),,(z y x m =由0,0,m DE m DA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0.33x y x z +=⎪+=⎪⎩令6=x ，得y z ==所以)3,3,6(--=. ………………………………………………10分 所以21||||,cos -=⋅>=<m n . ………………………………………………11分由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角， 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ……………………………………………12分 法2 ：因为DC ⊥平面ABD ， 过点E 作EF //DC 交BD 于F ，G F EDCBA 则EF ⊥平面ABD . 因为AD ⊂平面ABD ，所以EF ⊥AD . ………………………………………………………………… 9分 过点F 作FG ⊥AD 于G ，连接GE ， 所以AD ⊥平面EFG ，因此AD ⊥GE .所以二面角B AD E --的平面角为EGF ∠. ………………………………………10分 由平面几何知识求得2621==CD EF ，2221==AB FG ，所以EG =. 所以cos ∠EGF =21=EG FG . ………………………………………………11分 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ………………………………………………12分（20）解：(Ⅰ) 法1:由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线PA 的斜率为112x . 因为点()11,A x y 和()22,B x y 在抛物线C 上, 所以21114y x =,22214y x =. 所以直线PA 的方程为()21111142y x x x x -=-. …………………………………1分 因为点(),2P a -在直线PA 上, 所以()211111242x x a x --=-,即211280x ax --=. ………………………………2分 同理, 222280x ax --=. …………………………………………3分 所以12,x x 是方程2280x ax --=的两个根.所以128x x =-. …………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分 所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分 法2:设过点(),2P a -且与抛物线C 相切的切线方程为()2y k x a +=-, ………………1分由()22,4,y k x a x y ⎧+=-⎨=⎩消去y 得24480x kx ka -++=,由()2164480k ak ∆=-+=, 化简得220k ak --=. ……………………………2分所以122k k =-. …………………………………………………………………3分 由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线PA 的斜率为1112k x =,直线PB 的斜率为2212k x =. 所以12124x x =-, 即128x x =-. …………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分 所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分 (Ⅱ) 法1：直线PA 的垂直平分线方程为1112222y x a y x x -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, ……………7分 由于21114y x =,21182x ax -=, 所以直线PA 的垂直平分线方程为111242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ① ……………8分 同理直线PB 的垂直平分线方程为222242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ② ……………9分 由①②解得32x a =, 212a y =+,所以点23,122a M a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. ……………………………………………………10分 抛物线C 的焦点为()0,1,F 则()23,,,3.22a MF a PF a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 由于2233022a a MF PF ⋅=-=，……………………………………………………11分 所以.MF PF ⊥所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分另法: 以PM 为直径的圆的方程为()()23210.22a x a x a y y ⎛⎫⎛⎫--++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……11分把点()0,1F 代入上方程,知点F 的坐标是方程的解.所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分法2：设点M 的坐标为(),m n ，则△PAB 的外接圆方程为()()()()22222x m y n m a n -+-=-++， 由于点()()1122,,,A x y B x y 在该圆上， 则()()()()2222112x m y n m a n -+-=-++， ()()()()2222222x m y n m a n -+-=-++.两式相减得()()()()12121212220x x x x m y y y y n -+-+-+-=, ① …………7分 由(Ⅰ)知2212121122112,8,,44x x a x x y x y x +==-==,代入上式得 ()()31244420x x a m a a an --++-=, ……………………………………8分当12x x ≠时, 得38420a m a an -+-=, ②假设以PM 为直径的圆恒过点F ,则,MF PF ⊥即()(),1,30m n a ----=, 得()310ma n --=, ③ ……………………………………………………9分 由②③解得231,122m a n a ==+, …………………………………………………10分 所以点231,122M a a ⎛⎫+⎪⎝⎭. ……………………………………………………11分当12x x =时, 则0a =,点()0,1M .所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分 （21）解:(Ⅰ)法1: 函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞. 由()ln a f x x x =+, 得()221a x af x x x x-'=-=. ……………………………………1分因为0a >,则()0,x a ∈时, ()0f x '<;(),x a ∈+∞时,()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分 当x a =时, ()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分当ln 10+≤a , 即0<≤a 1e时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. …4分 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分法2：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞. 由()ln 0af x x x=+=, 得ln a x x =-. …………………………………………………1分 令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+.当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<.所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………………2分故1x e =时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. …………………………3分 因而函数()ln af x x x=+有零点, 则10a e <≤. ………………………………………4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………………………………………5分(Ⅱ) 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+. 当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1x e =时, ()min 1h x a e=-+⎡⎤⎣⎦. ………………………………………6分 于是,当a ≥2e 时, ()11.h x a e e ≥-+≥① ………………………………………7分令()x x xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-. 当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max 1x e ϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………………8分 于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤② ………………………………………………9分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当0,x >2a e≥时, ln -+>x x x a xe . ……………………………………………10分因为1,>b 所以ln 0>b .所以()ln ln ln ln ln -⋅+>⋅b b b a b e . …………………………………………11分 所以()1ln ln ln +>a b b b , 即()1ln >f b b. ………………………………………12分 （22）解： (Ⅰ) 由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, ……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为()1,1+ααP , ………………………………6分则点P 到直线l的距离为=d …………………………7分==………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d , ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为10分 法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………6分当直线l '与圆C相切时,= ………………………………………7分解得0b =或4b =-(舍去),所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分所以直线l 与直线l '的距离为d == …………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为………………………………10分 （23）解：(Ⅰ) 因为()13<f ，所以123+-<a a . ………………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; ……………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………3分③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分 (Ⅱ) 因为1,≥∈a x R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥. ……………………………………………………………………10分。

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) 的左, 右焦点, 椭圆 C a2 b2
使 ∠F1 PF2
钝角, 则椭圆 C 的离心率的取值范围是
A
2 2 ,1
B
1 ,1 2
C
2 0, 2
x
D
1 0, 2
8 , 则该几何体的 视 3
是
7
五个人围坐在一张圆桌旁 个人面前放着完全相 的硬 所有人 时翻 自 的 硬 . 若硬 面朝 , 则这个人站起来; 若硬 面朝 , 则这个人继续坐着. 那 , 没有相邻的 个人站起来的概率 A
1 2
知 F1 , F2
B
15 32
C
11 32
D
Байду номын сангаас
5 16
在点 P
8
别是椭圆 C :
则 f ( n) =
Sn + 60 (n ∈ N * )的最小值 n +1
说明 证明过程或演算
解答题 解答 写出文 17 本小题满 12
如 , 在△ ABC 中, 点 P 在 BC 边 , ∠PAC = 60° , PC = 2, AP + AC = 4 . ( ) 求 ∠ACP ; ( ) 若△ APB 的面 是 18 近 本小题满 来 12 电子商 蓬勃发展. 2016 “618”期间 某网购 的销售业绩高达 516 的商品和服 的评 系统.
阳马;将四
鳖臑, PA ⊥ 面 ABC ,
PA = AB = 2
面 A
AC = 4 ,
B
棱锥 P − ABC 的四个顶点都在球 O 的球面 , 则球 O 的表

绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）复数21i+的虚部是 （A ）2- （B ） 1- （C ）1 （D ）2 （2）已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（A ） 1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (Ｄ) （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）（5）已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f(Ａ)43 (Ｂ) 23 (Ｃ) 43- (Ｄ) （6）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 是双曲线C 的左, 右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则2PF （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为（A ）8π （B ）12π （C ）20π （D ）24π （11）已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则 （A ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （B ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （C ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （D ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （12）已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为 （A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。