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本节我们引进新算符aˆ，+aˆ，并用之于线性谐振子能量本征问题的求解，同时介绍占有数表象。
一、引进新算符1.定义： ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂μω+α=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω+α=x x 2p ˆi x 2a ˆh ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂μω−α=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω−α=+x x 2p ˆi x 2a ˆh ()1其中hμω=α，x ，p ˆ为厄米算符。
说明：a .由于+≠a ˆa ˆ，故aˆ不是厄米算符。
b .[]1a ˆ,a ˆ=+ ()2解释：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω−α⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω+α=+p ˆi x 2,p ˆi x 2a ˆ,a ˆ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡μω+⎥⎦⎤⎢⎣⎡μω−α=x ,p ˆi p ˆi ,x 22 [][]{}x ,p ˆp ˆ,x i 22+−μωα=而[]h i pˆ,x =所以[]+a ˆ,a ˆ()1i 2i 22=μωμω=−μωα=h h h2.aˆ，+a ˆ的意义 令x x α≡μω=ξh ，则：ξ∂∂α=ξ∂∂∂ξ∂=∂∂x x 所以ξα=1x ，ξ∂∂α−=h i p ˆ而⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω+α=p ˆi x 2a ˆ；⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω−α=+p ˆi x 2a ˆ则：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω+α=p ˆi x 2a ˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ξ∂∂+ξ=21 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω−α=+p ˆi x 2a ˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ξ∂∂−ξ=21 ()3于是把aˆ作用于谐振子的第n 个本征态n ψ上有：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ξ∂∂+ξ=ξψξ−n 21n n H e 2N a ˆ2 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ+ξξ−ξξ=ξ−ξ−ξ−'n 21n 21n 21n H e H e H e 2N 222 ()ξ=ξ−'n 21n H e 2N 2而()()ξ=ξ−1n 'nnH 2H 则：)(a ˆn ξψ＝)(nH 2e 2N 1n 21n2ξ−ξ−＝)(H e N N N n 21n 211n 1n n 2ξ−ξ−−− ＝)()!1n (2!n 2n 21n 1n n ξψ−παπα−− ＝)(n 1n ξψ−即：)x (aˆn ψ＝)x (n 1n −ψ (4)同理得：)x (aˆn ψ+＝)x (1n 1n +ψ+。
