高中数学基础知识汇总
第一章 集合与简易逻辑： 一．集合
1、 集合的有关概念和运算
（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；
（2）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；
2、子集定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ， 注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ
3、真子集定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂；
4、补集定义：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；
5、交集与并集 交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且 ；并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或
6、集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 二．简易逻辑：
1．复合命题： 三种形式：p 或q 、p 且q 、非p ； 判断复合命题真假：
2.真值表：p 或q ，同假为假，否则为真；p 且q ，同真为真；非p ，真假相反。
3.四种命题及其关系：
原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；
否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p ； 互为逆否的两个命题是等价的。
原命题与它的逆否命题是等价命题。 4.充分条件与必要条件： 若q p ⇒，则p 叫q 的充分条件； 若q p ⇐，则p 叫q 的必要条件； 若q p ⇔，则p 叫q 的充要条件；
第二章 函数
一． 函数
1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。
2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；
3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R ；②分式：分母0≠，0次幂：底数0≠；
③偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=；④对数：真数0>，例：)11(log x
y a -=
4、求值域的一般方法：
①图象观察法：|
|2.0x y =；②单调函数法： ]3,3
1[),13(log 2∈-=x x y ③二次函数配方法：)5,1[,42
∈-=x x x y ， 222++-=x x y
④“一次”分式反函数法：1
2+=
x x
y ；⑥换元法：x x y 21-+= 5、求函数解析式f （x ）的一般方法：
①待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②配凑法：,1
)1
(2
2
x
x x
x f +=-求f （x ）；③换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ） 6、函数的单调性：
（1）定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数； 若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。（一致为增，不同为减） （2）区间D 叫函数)(x f 的单调区间，单调区间⊆定义域； （3）复合函数)]([x h f y =的单调性：即同增异减；
7.奇偶性：
定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0⇔ f(x) =f(-x) ⇔f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0⇔ f(x) =－f(-x) ⇔f(x)为奇函数。
8.周期性：
定义：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f(x),则T 为函数f(x)的周期。 9．函数图像变换：
（1）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下 （3）注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量a （ｍ，ｎ）平移的意义。 10.函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1
x f y -=的图象关于直线x y =对称；点（a ，b ）关于直线
x y =的对称点为（b ，a ）； 二、指对运算：
1. 指数及其运算性质：当n 为奇数时，a a n
n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂：正分数指数幂：n
m n m a a =；负分数指数幂：n
m n m a a 1=- 3.对数及其运算性质： （1）定义：如果)1,0(≠>=a a N a b
，以10为底叫常用对数，记为lgN ，以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为lnN
（2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：01log =a ，③底的对数等于1：1log =a a ，④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N
M
a a a
log log log -=， 幂的对数：M n M a n
a log log =， 方根的对数：M n
M a n a log 1log =，
一．数列：（1）前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； （2）前n 项和与通项的关系：
⎩⎨⎧≥-===-)2()
1(111n S S n S a a n n
n
二．等差数列 ：
1.定义：d a a n n =-+1。
2.通项公式：d n a a n )1(1-+= （关于n 的一次函数），
3.前n 项和：（1）．2)(1n n a a n S += （2）. d n n na S n 2
)1(1-+
=（即S n = An 2
+Bn ） 4.等差中项： 2
b
a A +=
或b a A +=2 5.等差数列的主要性质：
（1）等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
也就是： =+=+=+--23121n n n
a a a a a a ，如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321
（2）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*
N k ∈，则k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差
数列。如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
三．等比数列：
1.定义：)0(1≠=+q q a a n
n ；2.通项公式：1
1-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ）
3.前n 项和]：⎪⎩⎪⎨⎧
≠--=--==)
1(,1)1(1)1(,111q q q a q
q a a q na S n
n n （推导方法：乘公比，错位相减）
说明：①)1(1)
1(1≠--=q q q a S n n ； ○2)1(11≠--=q q
q a a S n n ； ○
3当1=q 时为常数列，1na S n =。 4.等比中项：
G
b a G =，即ab G =2
（或ab G ±=，等比中项有两个）
5.等比数列的主要性质：
