高考数学热点必会题型第2讲
单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题
——每天30分钟7天轻松掌握
一、重点题型目录
【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值
【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式
【题型】三、构造奇偶函数求函数值
【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题
【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题
【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题
【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题
【题型】八、定义法判断证明函数的单调性
【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性
【题型】十、利用函数的周期性求函数值
二、题型讲解总结
第一天学习及训练
【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值
例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数()(0)axfxaax，若()(1)1gxfx是奇函数，则(2022)f（ ）
A．20222021 B．20212023 C．20222021 D．20212023
例2．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e()exxafx满足()()0fxfx，且()fx在(,())bfb处的切线方程为2yx，则ab___________.
例3．（2023·广东·高三学业考试）已知函数3log91xfxaxaR为偶函数．
(1)求a的值；
(2)当0,x时，不等式0fxb恒成立，求实数b的取值范围．
【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知()fx是定义在R上的偶函数，()fx在0+,上是增函数，且20f，则不等式(3)0xf的解集为（ ）
A．33,log2log2, B．3(log2,)
C．3(,log2) D．33(log2,log2)
例5．（2022·浙江·高三开学考试）已知fx是定义在0xx∣上的奇函数，当210xx时，1212120xxfxfxxx恒成立，则（ ）
Ⅰ复习提问
（一）奇偶函数的定义
奇函数 偶函数
代数定义 fxfx 恒成立 fxfx恒成立
几何定义 图像关于原点对称且00f 图像关于y轴对称
备注 定义域关于原点对称是判断奇偶函数的前提，函数奇偶性是函数的整体性质。
（二）、函数按奇偶分类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶）
（三）、奇偶函数的性质：
1、奇函数的反函数也是奇函数
2、奇偶函数的加减：奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶；奇偶函数的乘除：同偶异奇
3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
4、定义在R上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和
22fxfxfxfxfx奇偶
（四）、函数奇偶性的做题方法与步骤。
第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步，求出fx的表达式；第三步，
比较fxfx与的关系fxfxfxfx与相等，函数为偶
与互为相反数，函数为奇函数
Ⅱ 题型与方法归纳
题型与方法0,0,020,===fxfxfxfx则是奇函数定义法：1）看定义域是否关于对称，）若则是偶函数奇偶加减：奇奇奇，偶偶偶，奇偶非奇非偶快速判定奇偶乘除：同偶异奇。
一、判定奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性 奇偶性部分 1) 21fxxx 2）112logxxfx 3）2211fxxx
4）22fxxx 5）2211021102xxfxxx
解：1）fx的定义域为R，2211fxxxxxfx所以原函数为偶函数。
函数的性质
知识要点
一、 函数的奇偶性
1．定义：如果对于函数fx定义域内的任意x都有f－x=－fx,则称fx为奇函数；如果对于函数fx定义域内的任意x都有f－x=fx,则称fx为偶函数;
如果函数fx不具有上述性质,则fx不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx既是奇函数,又是偶函数;
注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；
2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称;
2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称；
2 确定f－x与fx的关系；
3 作出相应结论：若f－x = fx 或 f－x－fx = 0,则fx是偶函数；若f－x =－fx 或 f－x＋fx =
0,)0)((1)()(0)()()()(xfxfxfxfxfxfxf则fx是奇函数;
3．简单性质：
1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
2设fx,gx的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
3任意一个定义域关于原点对称的函数()fx 均可写成一个奇函数()gx 与一个 偶函数()hx 和的形式,则()()()()(),()22fxfxfxfxgxhx ;
4． 奇偶函数图象的对称性
1若)(xafy是偶函数,则)()2()()(xfxafxafxaf)(xf的图象关于直线ax对称；
2若)(xbfy是奇函数,则)()2()()(xfxbfxbfxbf)(xf的图象关于点)0,(b中心对称；
5．一些重要类型的奇偶函数： 1 函数()xxfxaa 是偶函数,函数()xxfxaa 是奇函数；
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高中数学：函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案
1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（ ）
A.f（－5）>f（3） B.f（－5）
C.f（－3）>f（－5） D.f（－3）
2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（ ）
A.f（－x1）>f（－x2） B.f（－x1）＝f（－x2）
C.f（－x1）
3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（ ）
A.10 B.－6 C.8 D.9
4.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f（x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））
A.1 B.2 C.3 D.4
5.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.
（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________.
（2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.
6.设定义在（－1,1）上的奇函数f（x）在[0,1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.
7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
