|{<>∈x a
x x x 或 当a>2时，}12|{><∈x a
x x x 或 14、解：（1）令a =b =0
则f （0）+ f （0）=2 f （0）·f （0） 所以2 f （0）·[f （0）－1]=0 又因为f ()00≠，所以f （0）=1
（2）令a =0，b =x ，则f （x ）+ f （－x ）=2 f （0）·f （x ） 由f （0）=1可得f （－x ）= f （x ） 所以f （x ）是R 上的偶函数。 15、解：（Ⅰ）在()()()()()
1f m f n f m
n f m f n ++
=
+中，令0,0m n >=，则有()()()()()010f m f f m f m f +=+．即：
()()()()()100f m f m f f m f +=+????．也即：()()()2
010f f m ??-=??
． 由于函数()f x 的值域为()1,1-，所以，()()2
10f m ??-≠??
，所以()00f =．
（Ⅱ）函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -，于是，由已知
()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+，我们可以联想到：是否有()()()
()()
1f m f n f m n f m f n --=-？
（＊）
这个问题实际上是：()()f n f n -=-是否成立？
为此，我们首先考虑函数()f x 的奇偶性，也即()()f x f x -与的关系．由于
()00f =，所以，在(
)()()()()
1f m f n f m n f m f n ++=
+中，令n m =-，得()()0f
m f m +-=．所以，函数()f x 为奇函数．故（＊）式成立．所以，
()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--????
．任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，故
()210
f x x -<且
()()211,1
f x f x -<<．所以，
()()()()()21212110f x f x f x x f x f x -=--
减．
16、解:（1）由已知对于任意x ∈R ，y ∈R ，f （x+y ）=f （x ）+ f （y ）恒成立 令x=y=0，得f （0+0）= f （0）+ f （0），∴f （0）=0
令x=-y ，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x ，都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数.
（2）设任意x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则x 2-x 1＞0，由已知f （x 2-x 1）＜0（1） 又f （x 2-x 1）= f （x 2）+ f （-x 1）= f （x 2）- f （x 1）（2）
由（1）（2）得f(x 1)＞f(x 2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-∞，+∞)上是减函数.
∴f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立，当且仅当f(-3)≤6， 又∵f （-3）= - f （3）= - f （2+1）=-[ f （2）+ f （1）]= -[ f （1）+ f （1）+ f （1）]= -3 f （1）， ∴f （1）≥-2.
（3）n
1 f （ax 2）- f （x ）＞n
1
f （a 2x ）- f （a ）
? f （ax 2）- f （a 2x ）＞n[f （x ）- f （a ）] ? f （ax 2-a 2x ）＞nf （x-a ）（10分） 由已知得：f[n （x-a ）]=nf （x-a ） ∴f （ax 2-a 2x ）＞f[n （x-a ）] ∵f （x ）在（-∞，+∞）上是减函数
∴ax 2-a 2x ＜n （x-a ）.即（x-a ）（ax-n ）＜0， ∵a ＜0，
∴（x-a ）（x-
a
n
）＞0，（11分） 讨论：（1）当a ＜a
n
＜0，即a ＜-n 时，
原不等式解集为{x | x ＞a
n
或x ＜a}；
（2）当a=a n
＜0即a=-n 时，原不等式的解集为φ；
（3）当a
n
＜a ＜0时，即-n ＜a ＜0时，
原不等式的解集为{x | x ＞a 或x ＜}a
n
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当06、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;
函数的单调性与奇偶性-练习题-基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2= C ．y ＝x 2 －4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a ~ 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2 －mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2 －a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． - (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 ； 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析[1]
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性 一、典例分析 1.求函数值 例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ） （A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5. 例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。 2、比较函数值大小 例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(1998 1x x f =试比较)1998( f 、)17101(f 、)15 104(f 的大小. 3、求函数解析式 例 4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当 0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，. 4)3(2)(2 +--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 4、判断函数奇偶性 例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性. 5、确定函数图象与x 轴交点的个数 例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
函数的单调性奇偶性训练题20130117
函数的单调性奇偶性训练题 一、选择题 1. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ). A ． B ． C ． D ． 2．函数 的增区间是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 3． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 4 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ） A ．3 1=a ，b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 5.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是 A )2()3()(->->f f f π B )3()2()(->->f f f π C )2()3()(-<-?是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.1 (0,)3 C.11 [,)73 D.1 [,1)7 二、填空题 11．函数 ,当 时,是增函数,则f(1)的范围为___________ 12 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时()f x =___________
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f
9运用函数地单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版
教学容概要
教学容 【知识精讲】 一、常见的抽象函数模型： ① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。 ② 幂函数模型：()2 x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=；() ()y f x f y x f =??? ? ??。 ③ 指数函数模型：()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+；()()() y f x f y x f = -。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=??? ? ??。 ⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()() y f x f y f x f y x f ?-+= +1。 如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。 二、奇偶函数的性质：
奇函数：（1）()()f x f x -=-； （2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =； （3）图像关于原点对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相同； 偶函数：（1）()()f x f x -=； （3）图像关于y 轴对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相反； 三、函数单调性的逆用： 若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x .(1x 2,x D ∈). 四、不等式恒成立问题的解法 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。 【经典例题】
高一函数单调性奇偶性经典练习题
函数单调性奇偶性经典练习 一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21 ()3 x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法） 练习2 证明函数2()f x x =2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法） 练习3 求函数3 ()2 x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明.
特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (ｋ≠0) f(x+y)＝f(x)＋ｆ（y) 幂函数 ｆ（ｘ)=x n f(xy)=f （x)f(y) ［或) y (f )x (f )y x (f = ] 指数函数 f(ｘ）=a x (a>０且a ≠1） ｆ(x+y ）=f(x ）ｆ(ｙ) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x ）=lo ｇa ｘ (a 〉0且ａ≠1) f(xy)=f(x ）+ｆ(y) ［)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x ）=si ｎx f （ｘ)=cosx f(ｘ+T ）=f(x ） 正切函数 f(x ）＝ｔanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(ｘ)＝co ｔx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 1。已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠，求证()f x 为偶函数。 证明：令x =0， 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y ＝0则2(0)f =２(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =１∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。 ２．奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解：由2 (1)(1)0f m f m -+-<得2 (1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2 (1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在（—1，1)内递减,∴2 21111110111m m m m m -<--? 3。如果()f x =2 ax bx c ++(a 〉0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2 ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f （2）最小，f （1)=f (3)∵在［２,+∞）上,()f x 为增函数 ∴f （3）〈f （4),∴f (2）〈f (1）〈f (4） 4。 已知函数f (x ）对任意实数ｘ,y ,均有ｆ(x +y )＝f (x )＋f (y ),且当x >0时，f (ｘ)＞０，f (－1）=－2,求f (x )在区间［－2，1]上的值域。 分析:由题设可知，函数f (x )是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域,关键在于研究它的单调性。 解：设，∵当 ,∴ ， ∵, ∴ ，即,∴f （x )为增函数. 在条件中,令y ＝－x ,则，再令x ＝ｙ=０,则f (０）=２ f (0)，∴f （0）＝0,故ｆ（－ｘ)＝f (x ）,ｆ(x )为奇函数， ∴f (1）=－f （－1）＝2,又f （－２)＝２ f （－1）=-４， ∴ｆ(x ）的值域为［－4，2]。
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案 1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（） A.y＝x3 B.y＝|x|＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－|x| 2.f（x）＝x2＋|x|（） A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数 C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数 3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（） A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数 B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数 C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数 4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（） A.在[－1,0]上是增函数 B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数 C.在[1,0]上是减函数 D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数 5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（） A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数 B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数 C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数 D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数 6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（） A.f（1）>f（2） B.f（1）>f（－2） C.f（－1）>f（－2） D.f（－1）7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（） A.fb>0，给出下列不等式 ①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足，求 证：是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0(1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >.
常见抽象函数的单调性与奇偶性
常见函数的抽象函数单调性与奇偶性 特殊模型抽象函数 正比例函数: 幂函数:或 指数函数: 对数函数: 正、余弦函数: 正切函数: 余切函数: 1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数. 2.奇函数在定义域内递减，求满足的实数的取值范围. 3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小. 4.已知函数对任意实数均有且当时求在区间上的值域. 5.已知函数对任意满足条件，且当时，求不等式的解. 6.设函数的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何和成立,求： （1）； （2）对任意值,判断值的正负. 7.是否存在函数，使下列三个条件：同时成立？若存在，求出的解析式，如不存在，说明理由. 8.是定义在上的单调增函数，满足 求：（1） （2）若求的取值范围. 9.设函数的反函数是如果那么是否正确，试说明理由. 10. 己知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当 是定义域中的数时，有是定义域中的一个数）；③当时，f试问：
（1）的奇偶性如何？说明理由. （2）在上,的单调性如何？说明理由. 11. 已知函数对任意实数都有且当时， .（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并给出证明；（3）若 ，求的取值范围. 12. 设f(x)定义于实数集上，当 时， ，且对于任意实数x、y，有 ， 求证： 在R上为增函数. 13.已知函数 对任意不等于零的实数 都有 ，试判断函数f(x)的奇偶性. 14.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有 ，且当x>0时，00时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值. 16.设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数.
函数单调性奇偶性练习题
一、选择题 1.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是() A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D 2.函数f(x)＝x5＋x3＋x的图象() A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 3.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于() A． 1 B． 2 C． D．－ 4.若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则f等于() A． 1 B． 3 C． D． 5.若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上() A．最小值是9 B．最小值是－9 C．最大值是－9 D．最大值是9 6.设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于() A． 6 B．－6 C． 2 D．－2 7.若函数f(x)＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()
A． 2 B．－2 C． 2或－2 D． 0 8.下列图象表示的函数具有奇偶性的是() A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D 9.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是() A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(－x)·f(x)≤0 D．＝－1 10.在下面的四个选项所给的区间中，函数f(x)＝x2－1不是减函数的是() A． (－∞，－2) B． (－2，－1) C． (－1,1) D． (－∞，0) 11.已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是() A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D 12.如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是()
广西省高中数学 函数的单调性与奇偶性综合练习教时教案 人教版
第十一教时 教材：函数的单调性与奇偶性综合练习 目的：通过对例题（习题）的判析，使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻的理解。 过程： 一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等概念。 二、处理《三维设计》第21、22课例题 例一．（P43 例一）注意突出定义域：x≠1 然后分区间讨论 例二．（P43 例二）难点在于：判断x2 + x1x2 + x2 > 0 应考虑用配方法 而且：∵x1, x2中至少有一个不为0, ∴…… 反之，倘若x1, x2全为0 x2 + x1x2 + x2 = 0 例三．（P43 例三）难点在于：分 a > 0, a = 0, a < 0 讨论 应突出“二次函数”，再结合图象分析例四．（P45 例一） 1、2题已讲过； 第3题是两个函数之乘积, 尤其后者要利用幂指数概念 例五．（P45 例二）此题是常见形式：应注意其中的“转换 ．．”关系 例六．（P45 例三）此题是单调性与奇偶性综合题，注意思路分析。 三、补充： 例七、已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增函数。 证：任取x1, x∈ R 且x1 < x2 ∵g (x) 在R上是增函数∴g (x1) 0时，f (x) = x2- 2x , 则x < 0 时，f (x) = -x2- 2x。 其中正确的序号是：①②④ 例十、判断 1 1 1 1 ) ( 2 2 + + + - + + = x x x x x f的奇偶性。 解：∵0 1 12≠ + + +x x∴函数的定义域为 R 且f (x) + f (-x) )1 1 ( )1 ( ) 1 ( )1 ( ) 1 ( 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = - + + - - + + + - + = + - + - + - - + - + + + + + - + + = x x x x x x x x x x x x x x ∴f (x) = -f (-x) ∴f (x)为奇函数 注：判断函数奇偶性的又一途径：f (x) + f (-x) = 0 为奇函数 f (x) + f (-x) = 2 f (x) 为偶函数 四、作业：《三维设计》第21、22课中“练习题” 用心爱心专心 1
抽象函数之——单调性、奇偶性与周期性
单调性、奇偶性与周期性相结合 1、已知奇函数()x f 的定义域为[]2,2-，且在区间[)0,2-内递减，求满足()()0112<-+-m f m f 的实数m 的取值范围． [)1,1- 2、（2009·山东卷）已知定义在R 上的奇函数()x f 满足()()x f x f -=-4，且在区间[]2,0上是增函数。 若方程())0(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，则=+++4321x x x x -8 3、（2011·山东卷）已知()x f 为R 上的最小正周期为2的周期函数，当20<≤x 时，()x x x f -=3， 则函数()x f y =的图像在区间[]6,0上与x 轴的交点的个数为 （B ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4、（2012·山东卷）定义在R 上的函数()x f 满足()()6f x f x +=，当13-<≤-x 时，()()2 2+-=x x f ， 当31<≤-x 时，()x x f =，则()()()()=+??????+++2012321f f f f （ B ） A ．335 B ．338 C ．1678 D ．2012 5、定义在R 上的函数()x f 满足：()()x f x f -=4且()()022=-+-x f x f ，则()2008f 的值为（ B ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．无法确定 6、已知()x f 为R 上的偶函数，且对任意的x ，等式()()x f x f 13- =+都成立，又当23-≤≤-x 时，()x x f 2-=，则()=5.113f （B ） A ．51 B ．51- C ．7 2- D ．72 7、定义在R 上的函数()x f 满足：()()132=+?x f x f ，若()21=f ，则()=99f （C ） A ．13 B ．2 C ．213 D ．13 2 8、定义在R 上的奇函数()x f 满足：()()x f x f -=+2，则()6f 的值为 （ B ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 9、已知函数()x f 满足：()()x f x f -=+1，且()x f 是偶函数，当[]1,0∈x 时，()2x x f =，若在 区间[]3,1-内，函数()()k kx x f x g --=有4个零点，则实数k 的取值范围是（ C ）
函数单调性和奇偶性练习题-(2923)
函数单调性和奇偶性 一、选择题 (每小题 5 分，一共 12 道小题，总分60 分) 1．命题“若x, y都是偶数，则x y 也是偶数”的逆否命题是（）A．若x y 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数 B．若x y 是偶数，则x与y不都是偶数 C．若x y 是偶数，则x与y都不是偶数 D．若x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数 2．下列函数是偶函数的是（） 1 ． y 2x 1 A．y sin x B． y x sin x C．y x 2D 2x 3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（） A．y2x B． y 2 x C．y2x 2 x D．y 2x 2 x 4．下列函数中，不是偶函数的是（） A．y x24B． y tan x C．y cos2x D． y3x 3 x 5．（ 2015 秋?石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞ +∞）上单调递增的 是（） A． y=﹣B．y=sinx C． y=x D．y=ln|x| 6．如图，给出了偶函数y f x 的局部图象，那么 f 1 与 f 3的大小关系正确的是( ) A. f 1 f 3 B. f 1 f 3 C. f 1 f 3 D. f 1f3 7．设函数 f ( x), g( x) 的定义域为R ，且 f (x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A．f ( x) g(x)是偶函数B．| f ( x) | g( x)是奇函数
8 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 y f ( x) 具 有 下 列 性 质 : ① f ( x) f ( x) 0 ; ② f (x 1) f ( x) 1 ; ③ y f ( x) 在 [ 0,1] 上为增函数 , 则对于下述命题： ① y f (x) 为周期函数且最小正周期为 4; ② y f (x) 的图像关于 y 轴对称且对称轴只有 1 条 ; ③ y f (x) 在 [3,4] 上为减函数 . 正确命题的个数为 ( ) A ．0 个 B ．1个 C ． 2 个 D ．3个 9．设 f ( x) 是奇函数，且在 ( 0, ) 内是增函数，又 f ( 3) 0 ，则 x f ( x) 的解集 是 A ． x | 3 x 0或x 3 B ． x | x 3或0 x 3 C ． x | 3 x 0或 0 x 3 D ． x | x 3或x 3 10 ． 函 数 f x 的 定 义 域 为 R , 若 函 数 f x 的周期 6．当 3 x 1 时 , f x x 2 2 ，当 1 x 3 时， f x x ．则 f 1 f 2 f 2013 + f 2014 （ ） A ． 337 B ． 338 C ． 1678 D ． 2012 二、填空题 (每小题 5 分，一共 6 道小题，总分 30 分) 11 ．若函数 f ( x) x (2 a 1)x 1 1 为奇函数，则 a ________． x 12 ．已知奇函数 f （x ）当 x ＞ 0 时的解析式为 f （ x ） = ，则 f （﹣ 1）= ． 13 ． 已 知 f ( x) 3 b x 4其 中 a, b 为 常 数 ， 若 f ( 2) 2 ， 则 f ( 2 ) 的 值 等 a x 于 ． 14 ．若函数 f ( x) kx 2 ( k 1)x 2 是偶函数，则 f (x) 的递减区间是 ． 15 ．设定义在 R 上的函数 （fx ）满足 f ( x 2) f (x) 7，若（f 1）=2，则 （f 107）=__________. 16 ．设函数 f(x) 是奇函数且周期为 3，若 f(1) ＝－ 1，则 f(2015) ＝ ________． 三、解答题 (每小题 5 分，一共 4 道小题，总分 20 分) 17．已知函数 f ( x) a (1,3) 、 (2,3) 两点． bx ( 其中 a ， b 为常数 ) 的图象经过 x
高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究
高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究 〔摘要〕文章以高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的重要性为分析点，依次对高中数学抽象函数的单调性与奇偶性学习中存在的问题和高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究进行了详细的阐述。 〔关键词〕抽象函数单调性奇偶性 1 前言 高中数学课程中抽象函数的单调性与奇偶性是非常重要的章节，数学学习中对函数的单调性与奇偶性掌握的要求也越来越高。因此，在学习过程中我们要不断进行抽象函数的单调性与奇偶性的研究，才能对单调性与奇偶性的掌握更加娴熟。 2 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的重要性 函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至
还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点。 高中数学函数部分是高中数学的重要内容，它贯穿整个高中数学的始终。其中函数的性质尤其重要，是历年高考的热点和重点内容。判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但要保证定义域不变，再利用定义判定；用图象判定也是常用的方法。 单调性是函数学习中非常重要的内容，由于新教材增加了“导数”的内容，因此应用十分广泛。解决具体函数的单调性问题，一般用求导的方法解决，对于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数。而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。 3 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性学习中存在的 问题 3.1 学生没有掌握数形结合的学习方法。数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
