习题2-2
1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0
1,,
0,A X A =⎧⎨
⎩发生不发生.
写出随机变量X 的分布律.
解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者
2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为
c
c c c 167
,
85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠13571,24816c c c c
+++= 所以3716
c
=
. 所求概率为 P {X <1| X
0≠}=
258167852121
}0{}1{=++=≠-=c
c c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9
=
, 求{P Y ≥1}.
解 注意p{x=k}=k
k n k n C p q -,由题设5
{9
P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-
故213
q
p =-=
. 从而
{P Y ≥3219
1}1{0}1().327
P Y =-==-=
4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为
1927
, 求每次试验成功的概率.
解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是
27
19
，那么一次都
没有成功的概率是
278. 即278)1(3
=-p , 故 p =3
1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.
解 由泊松分布的分布律可知6=λ.
6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.
解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有103
5
=C 种取法.
{X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =10
1
;
{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=10
3
3523=C C ;
{X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=5
3
3524=C C .
X 的分布律是
1. 设X
求分布函数解 (1) F (x )=0,
1,0.15,10,0.35,01,1,
1.
x x x x <-⎧⎪-<⎪
⎨
<⎪⎪⎩≤≤≥
(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;
(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为
F (x ) = A +B arctan x -∞试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.
解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知
()0112
,.2()1
2A B A B A B πππ⎧
+-=⎪⎪⇒==⎨
⎪+=⎪⎩ 于是 11
()arctan ,.2F x x x π
=+-∞<<+∞
(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤
1111
(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-
11111().24242
ππππ=+⋅---=
3. 设随机变量X 的分布函数为
F (x )=0, 0,
01,21,1,
,x x
x x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥
求P {X ≤-1}, P {0.3 解 P {X 1}(1)0F -=
-=≤,
P {0.3P {05. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;
11
{1},{1}84
P X P X =-===; 在事件
{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成
正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .
解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,
1(1)8
F -=
;
当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以
115
{11}(1)(1){1}1.848
P X F F P X -<<=---==--=
易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为
{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,
