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第九章,方差分析

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第九章，方差分析
完全随机设计方差分析 随机区组设计方差分析
样本容量不同 样本容量相同
无原始数据
(已知条件：K n Si Xi)
只有一种无需分类

1，列出假设
设虚无假设和备择假设分别如下：
H0:=321 H1:=321

2，计算平方和 SSt=SSB+SSw SSt=NXX22 SSB=22NXinX SSw=inXX22 SSt=SSB+SSw SSt=nkXX22 SSB=

22
nkXn
X


SSw=


nXX

2
2

SSt=SSB+SSw



nXXXtX...
21
4

1

SSB=
2
1tXjXnkj

SSw=kjjSn12

SSt=SSB+SSr+SSe
SSt=nkXX22

SSB=knkXnX122
SSr=nnkRnR122
SSe=knkRnXnkXX112222
3，计算自由度 dft=N-1 dfb=k-1 dfw=N-k dft=n-1 dfb=k-1 dfw=k(n-1) dft=n-1 dfb=k-1
dfr=n-1
dfe=(k-1)(n-1)

4，计算均方 MSb=SSb/dfb MSw=SSw/dfw MSb=SSb/dfb MSr=SSr/dfr
MSe=SSe/dfe
5，计算F比值，进行F检验，做出决断 F=MSb/MSw 查F表，F0.05（dfb,dfw）,算得的F值大于（小于）临界值，P<0.05（P>0.05）可以拒绝（接受）虚无假设，认为存在（不存在）某种差异 FB=MSB/MSE(组间) FR=MSR/MSE（组内）
查F表，F0.05（dfb,dfe）, ，F0.05（dfr,dfe）算得的F值
大于（小于）临界值，P<0.05（P>0.05）可以拒绝（接受）
虚无假设，认为存在（不存在）某种差异

6，列出方差
分析表 变异来源 平方和 自由度 均方 F P 组间效应 SSb Dfb MSb MSb/MSw F*(0.05) F**(0.01) F***(0.001) 大于或小于0.05 组内效应 SSw Dfw MSw 总变异 SSt dft 变异来源 平方和 自由度 均方 F P 处理 SSb Dfb MSb Fb= MSb/MSe 大于或小于0.05 区组 SSr Dfr MSr Fr=
MSr/MSe
误差 SSe Dfe MSe
总计 SSt dft

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第9章 方差分析

第9章 方差分析

第九章方差分析➢学习目标◆了解方差分析的一般原理◆掌握方差分析的步骤◆掌握事后检验方法➢学习内容◆方差分析的一般原理◆完全随机设计方差分析◆多因素方差分析◆随机区组方差分析◆事后检验➢方差分析的基本原理及步骤方差分析又称变异分析，其主要功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总变异贡献的大小，从而确定实验中自变量是否对因变量有重要影响。

◆方差分析的基本原理:综合的F检验（1）综合虚无假设和部分虚无假设主要处理两个以上的平均数之间的差异检验问题。

研究为多组实验设计，需要检验的虚无假设是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。

设定虚无假设为，样本归属的所有总体平均数都相等，一般把这一假设称为“综合的虚无假设”（方差分析）。

组间的虚无假设相应的就称为“部分虚无假设”（事后检验）。

◆方差分析的基本原理:综合的F检验（2）方差的可分解性方差分析依据的基本原理就是方差（或变异）的可加性原则。

确切的说应该是方差的可分别性。

方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。

不同强度噪音下解数学题犯错误频数由于被试分组是随机分派，个体差异及实验误差带有随机性质，因而组内变异与组间变异相互独立，可以分解。

方差分析中组间均方和组内均方分别表示为：平方和的大小与项目数有关（即k 或n ）。

方差分析中组间变异与组内变异的比较不能直接比较各自的平方和，必须将项目数的影响去掉求均方。

比较组间均方与组内均方要用F检验。

方差分析关心的是组间均方是否显著大于组内均方。

如果组间均方小于组内均方，无须检验其是否小到显著性水平，因而总是将组间均方放在分子位置，进行单侧检验。

即F> 1 且落入F分布的临界区域说明数据的总变异基本上由不同的实验处理所造成，或者说不同的实验处理之间存在着显著差异。

◆方差分析的过程（1）求平方和为了简便，一般直接从原始数据计算平方和：◆方差分析的过程（2）计算自由度（3）计算均方◆方差分析的过程（4）计算F值（5）查F值表进行F检验并作出决策（6）陈列方差分析表◆方差分析的基本假定进行方差分析时，数据必须满足几个假定条件，否则得出的结论可能产生错误。

第九章单因素方差分析

第九章单因素方差分析

a n
… … … … … … … …
i yi1 yi2 … yij … yin yi. yi.
… … … … … … … …
a
处理间平均 数的差异是 由处理效应 引起的：
ya1 a ya2 … i 1 yaj … yan ya. ya.
( y
i.
y.. )
2
Yi.=∑yij y ..
处理内的变 异是由随机 误差引起：
相差较大，即处理效应比试验误差
试验误差
大得多，说明试验处理影响是很大
的，不可忽视。
1.3方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较
2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验
4. 方差的同质性检验
二、数学模型
假定有a组观测数据，每组有n个观测值，则共有 a na个观测值。 n n
处理 重复
况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著
性检验的一种引伸。
方差分析的 基本功能
对多组样本平均数差异 的显著性进行检验
例：某鱼场按常规方法所育鲢鱼一月龄的平均体长为7.25cm， 标准差为1.58cm，现采用一新方法进行育苗，一月龄时随机抽 取100尾进行测量，其平均体长为7.65cm，
问新育苗方法与常规方法有无显著差异？
方差是离均差平方和除以自由度的商
σ2 ＝
∑(y-μ)2
N
s2 =
∑(y- y )2
n-1
方差分析的基本思想：引起观测值出现 变异分解为处理效应的变异和试验误差的变 异。
要把一个试验的总变异依据变异来源分
为相应的变异，首先要将总平方和和总df分
解为各个变异来源的的相应部分。
3.1平方和的分解
第九章(一)方差分析

第九章(一)方差分析


nj
r
nj
2 ( X ij X j )( X j X )
j 1 i 1
nj
数理统计
续(三个平方和的关系)
由于
2 ( X ij X j )( X j X ) 2 ( X j X ) ( X ij X j )
j 1 i 1 j 1 r i 1 r nj r nj
是否成立。而备选假设则为
H1 : 1 , 2 , 3
和4 不全相等
３．上述假设的检验方法就是方差分析
数理统计
二、方差分析原理 １．两类误差及两类方差
⑴．每个水平为一个总体;
⑵．每个水平的一组观察值为总体的一个随机样本， 同一水平下样本观察值之间的差异称为随机误差，用组内 方差来表示; ⑶．不同水平下样本观察值之间的差异可能是由于不
问饮料的颜色是否对销售量产生影响。
表 9－1 超市 1 2 3 4 5 该饮料在五家超市的销售情况 无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 粉色 31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 橘黄色 27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 单位：箱 绿色 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
同水平引起的，这种误差称为系统误差，但也包含随机误
差。不同水平样本观察值之间差异用组间方差来表示，即
组间方差包括随机误差，也包括系统误差。
数理统计
２．方差的比较
⑴．如果不同水平对试验结果没有不同影响，那么组 间方差中只包括随机误差,这时，组间方差与组内方差应 该相近，组间方差与组内方差之比接近 1; ⑵．如果不同水平对试验结果有不同影响，那么组间 方差除了随机误差之外还包括系统误差,这时，组间方差 就会大于组内方差，组间方差与组内方差之比就会大于 1; ⑶．方差分析就是通过这种方差的比较，作出接受原 假设或拒绝原假设的判断。
第九章 方差分析

第九章 方差分析

第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。

本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。

第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。

例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。

喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。