2020年浙江衢州市【数学真题】初中学业水平考试卷(原卷)汇编版

2020年浙江省衢州市中考数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“”所示区域内的概率是A. B.2. 过直线外一点作直线的平行线，下列尺规作图中错误的是A. B.C. D.3. 比小的数是A. C. D.4. 计算，正确结果是A. B. C. D.5. 要使二次根式有意义，则的值可以为A. B. C. D.6. 下列几何体中，俯视图是圆的几何体是A. B.C. D.7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是A. B.C. D.8. 某厂家年月份的口罩产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程A. B.C. D.9. 二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是A. 向左平移个单位，向下平移个单位B. 向左平移个单位，向上平移个单位C. 向右平移个单位，向下平移个单位D. 向右平移个单位，向上平移个单位10. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为A. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 一元一次方程的解是．12. 定义，例如．则的结果为．13. 某班五个兴趣小组的人数分别为，，，，．已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是．14. 小慧用图中的一副七巧板拼出如图所示的“行礼图”，已知正方形的边长为，则图中的值为．15. 如图，将一把矩形直尺和一块含角的三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，三角板的直角边交于点，反比例函数的图象恰好经过点，．若直尺的宽，三角板的斜边，则．16. 图是由七根连杆链接而成的机械装置，图是其示意图．已知，两点固定，连杆，，，，两点间距与长度相等．当绕点转动时，点，，的位置随之改变，点恰好在线段上来回运动．当点运动至点或时，点，重合，点，，，在同一直线上（如图）．（）点到的距离为；（）当点，，在同一直线上时，点到的距离为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 计算：．18. 先化简，再求值：，其中．19. 如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．（1）在图中画出一个以为边的平行四边形，使顶点，在格点上；（2）在图中画出一条恰好平分周长的直线（至少经过两个格点）．20. 某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．被抽样的学生视力情况频数表被抽样的学生视力情况扇形统计图（1）求组别的频数的值．（2）求组别的圆心角度数．（3）如果视力值及以上属于“视力良好”，请估计该市名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议?21. 如图，内接于，为的直径，，，连接，弦分别交，于点，，其中点是的中点．（1）求证：．（2）求的长．22. 年月日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离杭州的路程关于的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图中点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长；（2）若货轮比游轮早分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮?②游轮与货轮何时相距?23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别是直线与坐标轴的交点，点的坐标为，点是边上的一点，于点，点在边上，且，两点关于轴上的某点成中心对称，连接，．设点的横坐标为，为，请探究：①线段长度是否有最小值．②能否成为直角三角形．小明尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到随变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图）．请你在图中连线，观察图象特征并猜想与可能满足的函数类别．（2）小明结合图，发现应用三角形和函数知识能验证（）中的猜想，请你求出关于的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现能成为直角三角形，请你求出当为直角三角形时的值．24. 解答下列问题．（1）【性质探究】如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点．作于点，分别交，于点，．（）判断的形状并说明理由；（）求证：．（2）【迁移应用】记的面积为，的面积为，当时，求的值．（3）【拓展延伸】若交射线于点，【性质探究】中的其余条件不变，连接，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值．答案第一部分1. A【解析】由扇形统计图可得，指针落在数字“”所示区域内的概率是：．2. D【解析】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，D、无法判断两直线平行，故选：D．3. B【解析】，即比小的数是．4. B【解析】由幂的乘方与积的乘方法则可知，．5. D【解析】由题意得：，解得：．6. A 【解析】A、俯视图是圆，故此选项正确；B、俯视图是正方形，故此选项错误；C、俯视图是长方形，故此选项错误；D、俯视图是长方形，故此选项错误．故选：A．7. C【解析】由得；由得；故不等式组的解集为，在数轴上表示出来为：8. B【解析】从月份到月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程：．9. C【解析】A．平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．B．平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．C．平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意．D．平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．10. A【解析】由折叠补全图形如图所示．四边形是矩形，，，．由第一次折叠得：，．．．在中，根据勾股定理得，．由第二次折叠知，．．第二部分11.【解析】将方程移项得，，系数化为得，．12.【解析】根据题意得：．13.【解析】某班五个兴趣小组的人数分别为，，，，，已知这组数据的平均数是，，这一组数从小到大排列为：，，，，，这组数据的中位数是．14.【解析】正方形的边长为，②的斜边上的高是，④的高是，⑥的斜边上的高是，⑦的斜边上的高是，图中的值为．15.【解析】过点作，垂足为，则，在中，，所以，所以，设，则，所以，，所以，解得，，所以，所以．故答案为：．16.【解析】（）如图中，延长交于，过点作于．由题意：，，，，，，，，，点到的距离为；（）如图中，当，，共线时，过作于．设．由题意，，，，，，，解得，，点到的距离为．第三部分17.18.当时，19. （1）如图平行四边形即为所求（点的位置还有种情形可取）．（2）如图，直线即为所求．20. （1）本次抽查的人数为：，，即的值是；（2）组别的圆心角度数是：，即组别的圆心角度数是；（3）（人），答：该市名九年级学生达到“视力良好”的有人，建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．21. （1），是半径，，．（2）是直径，，，，，，，，，，，．22. （1）点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了．游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）①，点，点，，，点，设的解析式为，把代入，可得，，同理由，可得的解析式为，由题意：，解得，，货轮出发后小时追上游轮．②相遇之前相距时，，解得；相遇之后相距时，，解得．或时游轮与货轮何时相距．23. （1）用描点法画出图形如图，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图，过点，分别作，垂直于轴，垂足分别为，，则，记交轴于点，因为点与点关于轴上的点成中心对称，所以，因为，所以，所以，因为直线的解析式为，所以时，，所以，又因为，设直线的解析式为，所以解得所以直线的解析式为，过点作轴于点，所以点的橫坐标为，所以，所以，，因为，所以，令，得，所以．当时，的最小值为，所以的最小值为．（3）①为定角，不可能为直角．②时，点与点重合，点与点，点重合，此时．③如图，时，有．由（）得，又因为，，所以，又因为，所以，化简得，，解得，（不合题意，舍去），所以．综合以上可得，当为直角三角形时，或．24. （1）（）如图中，是等腰三角形．理由：平分，．，．，．，是等腰三角形．（）如图中，过点作交于，则．，，，，，，，，四边形是矩形，，，．（2）如图中，过点作于，则．，，，，，又，，，设，，则．．（3）或．【解析】设，．①如图中，连接，当点在线段上时，点在上．，，，，，，，，，，，即，，，由题意：，，即，，，，，．②如图中，当点在的延长线上时，点在线段上，连接．，，，，，，，，，，，即，，，由题意：，，即，，，，，，综上所述，的值为或．。

2020年衢州市中考数学试卷一、选择题1.比0小1的数是（）A. 0B. ﹣1C. 1D. ±12.下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（）A. B.C. D.3.计算（a2）3，正确结果是（）A. a5B. a6C. a8D. a94.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A. 13B.14C.16D.185.要使二次根式3x-有意义，x的值可以是（）A. 0B. 1C. 2D. 36.不等式组()324321x xx x⎧-≤-⎨>-⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.7.某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A. 180（1﹣x）2=461B. 180（1+x）2=461C. 368（1﹣x）2=442D. 368（1+x）2=4428.过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A. B.C. D.9.二次函数y=x2图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位10.如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（）A. 2B. 212+C. 512+D. 43二、填空题 11.一元一次方程2x +1=3的解是x =_____．12.定义a ※b =a （b +1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x ﹣1）※x 的结果为_____．13.某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____．14.小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD 的边长为4dm ，则图2中h 的值为_____dm ．15.如图，将一把矩形直尺ABCD 和一块含30°角的三角板EFG 摆放在平面直角坐标系中，AB 在x 轴上，点G 与点A 重合，点F 在AD 上，三角板的直角边EF 交BC 于点M ，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象恰好经过点F ，M ．若直尺的宽CD =3，三角板的斜边FG =83，则k =_____．16.图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O ，P 两点固定，连杆PA =PC =140cm ，AB =BC =CQ =QA =60cm ，OQ =50cm ，O ，P 两点间距与OQ 长度相等．当OQ 绕点O 转动时，点A ，B ，C 的位置随之改变，点B 恰好在线段MN 上来回运动．当点B 运动至点M 或N 时，点A ，C 重合，点P ，Q ，A ，B 在同一直线上（如图3）．（1）点P 到MN 的距离为_____cm ．（2）当点P ，O ，A 在同一直线上时，点Q 到MN 的距离为_____cm ．三、解答题17.计算：|﹣2|+（13）0﹣9+2sin30°． 18.先化简，再求值：21211a a a a ÷-+-，其中a =3． 19.如图，在5×5的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以AB 为边的▱ABDE ，使顶点D ，E 在格点上．（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC 周长的直线l （至少经过两个格点）．20.某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．被抽样的学生视力情况频数表组别 视力段频数 A5.1≤x ≤5.3 25B 4.8≤x≤5.0 115C 4.4≤x≤4.7 mD 4.0≤x≤4.3 52（1）求组别C的频数m的值．（2）求组别A的圆心角度数．（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？21.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC 于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD=∠CBA．（2）求OE的长．22.2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？23.如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分別是直线y=﹣83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F 两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l 与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．24.【性质探究】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE 于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF =2OG ．【迁移应用】（3）记△DGO 的面积为S 1，△DBF 的面积为S 2，当1213S S 时，求AD AB的值． 【拓展延伸】（4）若DF 交射线AB 于点F ，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF ，当△BEF 的面积为矩形ABCD 面积的110时，请直接写出tan ∠BAE 的值．2020年衢州市中考数学试卷答案1.B ．2.A ．3.B ．4.A ．5.D.6.C ．7.B ．8.D ．9.C ．10.A ．11.1．12.x 2﹣1．13.5．14.（4+2）．15.40316. (1). 160 (2).640917.解：原式=2+1﹣3+2×12 =2+1﹣3+1=1．18.解：原式=2(1)a a -•（a ﹣1） =1a a -， 当a=3时， 原式=33=312-． 19.解：（1）如图平行四边形ABDE 即为所求（点D 的位置还有6种情形可取），；（2）如图，直线l 即为所求．20.解：（1）本次抽查的人数为：115÷23%=500，m =500×61.6%=308，即m 的值是308；（2）组别A 的圆心角度数是：360°×25500=18°， 即组别A 的圆心角度数是18°；（3）25000×25+115500=7000（人）， 答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人，建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．21.（1）证明：∵AE =DE ，OC 是半径，∴AC CD=，∴∠CAD=∠CBA；（2）解：如图：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AE=DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC AC AB=，∴6 610 CE=，∴CE=3.6，∵OC=12AB=5，∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4．22.解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长=23﹣（420÷20）=23﹣21=2（h）．（2）①280÷20=14h，∴点A（14，280），点B（16，280），∵36÷60=0.6（h），23﹣0.6=22.4，∴点E（22.4，420），设BC的解析式为s=20t+b，把B（16，280）代入s=20t+b，可得b=﹣40，∴s=20t﹣40（16≤t≤23），同理由D（14，0），E（22，4，420）可得DE的解析式为s=50t﹣700（14≤t≤22.4），由题意：20t﹣40=50t﹣700，解得t=22，∵22﹣14=8（h），∴货轮出发后8小时追上游轮．②相遇之前相距12km时，20t﹣4﹣（50t﹣700）=12，解得t=21.6．相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）=12，解得t=22.4，∴21.6h或22.4h时游轮与货轮何时相距12km．23.解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK=∠DHK=90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF=KD，∵∠FKG=∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG=DH，x+4，∵直线AC的解析式为y=﹣83∴x=0时，y=4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴204k bb⎧-+=⎨=⎩，解得24kb，∴直线AB的解析式为y=2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，∵D点的橫坐标为m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER=2m，FR=﹣2m+4，∵EF2=FR2+ER2，∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，令﹣83x+4=0，得x=32，∴0≤m≤32．∴当m=1时，l的最小值为8，∴EF的最小值为22．（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．②∠BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．③如图3，∠BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，又∵BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4，∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，又∵BE2=（m+2）2，∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8=0，解得m1=43，m2=2（不合题意，舍去），∴m=43．综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m=0或m=43．24.（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF =∠OGL ，∴∠OGL =∠OLG ，∴OG =OL ，∵OL ∥AB ，∴△DLO ∽△DFB ， ∴=OL DO BF BD， ∵四边形ABCD 是矩形，∴BD =2OD ， ∴BF =2OL ，∴BF =2OG ．（3）解：如图3中，过点D 作DK ⊥AC 于K ，则∠DKA =∠CDA =90°，∵∠DAK =∠CAD ，∴△ADK ∽△ACD ， ∴=DK CD AD AC， ∵S 1=12•OG •DK ，S 2=12•BF •AD ， 又∵BF =2OG ，121=3S S ， ∴2==3DK CD AD AC ，设CD =2x ，AC =3x ，则AD = 25x ， ∴5==2AD AD AB CD ． （4）解：设OG =a ，AG =k ．①如图4中，连接EF ，当点F 在线段AB 上时，点G 在OA 上．∵AF =AG ，BF =2OG ，∴AF =AG =k ，BF =2a ，∴AB =k +2a ，AC =2（k +a ），∴AD 2=AC 2﹣CD 2=[2（k +a ）]2﹣（k +2a ）2=3k 2+4ka ， ∵∠ABE =∠DAF =90°，∠BAE =∠ADF ，∴△ABE ∽△DAF ， ∴=BE AE AB AD， ∴=2BE k k a AD +， ∴()2=k k a BE AD+， 由题意：()211022k k a a AD+⨯⨯⨯=AD •（k +2a ）， ∴AD 2=10ka ，即10ka =3k 2+4ka ，∴k =2a ，∴AD = 5a ，∴BE = ()2k k a AD += 55a ，AB =4a ， ∴tan ∠BAE =5BE AB =． ②如图5中，当点F 在AB 的延长线上时，点G 在线段OC 上，连接EF ．∵AF =AG ，BF =2OG ，∴AF =AG =k ，BF =2a ，∴AB =k ﹣2a ，AC =2（k ﹣a ），∴AD 2=AC 2﹣CD 2=[2（k ﹣a ）]2﹣（k ﹣2a ）2=3k 2﹣4ka ， ∵∠ABE =∠DAF =90°，∠BAE =∠ADF ，∴△ABE ∽△DAF ， ∴BE AE AB AD=， ∴2BE k k a AD =-， ∴ ()2k k a BE AD-=， 由题意：()211022k k a a AD-⨯⨯⨯=AD •（k ﹣2a ）， ∴AD 2=10ka ，即10ka =3k 2﹣4ka ，∴k = 143a ， ∴AD 2105， ∴()2810545k k a BE a AD -==，AB = 83a ， ∴tan ∠BAE = 10515BE AB =， 综上所述，tan ∠BAE 5105．。

浙江省衢州市2020年中考数学试题一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）（共10题；共30分）1. ( 3分) （2020·衢州）比0小1的数是（）A. 0B. -1C. 1D. ±12. ( 3分) （2020·衢州）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（）A. B. C. D.3. ( 3分) （2020·衢州）计算（a²）3，正确的结果是（）A. a5B. a6C. a8D. a94. ( 3分) （2020·衢州）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A. B. C. D.5. ( 3分) （2020·衢州）要使二次根式有意义，则x的值可以是（）A. 0B. 1C. 2D. 46. ( 3分) （2020·衢州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.7. ( 3分) （2020·衢州）某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示。

设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A. 180（1-x）2=461B. 180（1+x）²=461C. 368（1-x）2=442D. 368（1+x）²=4428. ( 3分) （2020·衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A. B. C. D.9. ( 3分) （2020·衢州）二次函数y=x²的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位10. ( 3分) （2020·衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）（共6题；共24分）11. ( 4分) （2020·衢州）一元一次方程2x+1=3的解是x=________。

2020年浙江省衢州市中考数学试卷一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）比0小1的数是（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．±12．（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）计算（a 2）3，正确结果是（ ） A ．a 5B ．a 6C ．a 8D ．a 94．（3分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．185．（3分）要使二次根式√x −3有意义，则x 的值可以为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．46．（3分）不等式组{3(x −2)≤x −43x ＞2x −1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D．7．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝4428．（3分）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．9．（3分）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位10．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（）A ．√2B ．√2+12C ．√5+12D ．43二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）一元一次方程2x +1＝3的解是x ＝ ．12．（4分）定义a ※b ＝a （b +1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x ﹣1）※x 的结果为 ．13．（4分）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是 ．14．（4分）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD 的边长为4dm ，则图2中h 的值为 dm ．15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD 和一块含30°角的三角板EFG 摆放在平面直角坐标系中，AB 在x 轴上，点G 与点A 重合，点F 在AD 上，三角板的直角边EF 交BC 于点M ，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象恰好经过点F ，M ．若直尺的宽CD ＝3，三角板的斜边FG ＝8√3，则k ＝ ．16．（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O ，P 两点固定，连杆P A ＝PC ＝140cm ，AB ＝BC ＝CQ ＝QA ＝60cm ，OQ ＝50cm ，O ，P 两点间距与OQ 长度相等．当OQ 绕点O 转动时，点A ，B ，C 的位置随之改变，点B 恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）17．（6分）计算：|﹣2|+（13）0−√9+2sin30°．18．（6分）先化简，再求值：aa−2a+1÷1a−1，其中a＝3．19．（6分）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．20．（8分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．被抽样的学生视力情况频数表组别视力段频数A 5.1≤x≤5.325B 4.8≤x≤5.0115C 4.4≤x≤4.7mD 4.0≤x≤4.352（1）求组别C的频数m的值．（2）求组别A的圆心角度数．（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．22．（10分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分別是直线y=−83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．24．（12分）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S1S2=13时，求ADAB的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的110时，请直接写出tan∠BAE的值．2020年浙江省衢州市中考数学试卷答案一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）比0小1的数是（）A．0B．﹣1C．1D．±1解：0﹣1＝﹣1，即比0小1的数是﹣1．故选：B．2．（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（）A．B．C ．D ．解：A 、俯视图是圆，故此选项正确； B 、俯视图是正方形，故此选项错误； C 、俯视图是长方形，故此选项错误； D 、俯视图是长方形，故此选项错误． 故选：A ．3．（3分）计算（a 2）3，正确结果是（ ） A ．a 5B ．a 6C ．a 8D ．a 9解：由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a 2）3＝a 2×3＝a 6． 故选：B ．4．（3分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．18解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：120360=13．故选：A ．5．（3分）要使二次根式√x −3有意义，则x 的值可以为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4解：由题意得：x ﹣3≥0， 解得：x ≥3， 故选：D ．6．（3分）不等式组{3(x −2)≤x −43x ＞2x −1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：{3(x −2)≤x −4①3x ＞2x −1②，由①得x ≤1； 由②得x ＞﹣1；故不等式组的解集为﹣1＜x ≤1，在数轴上表示出来为：．故选：C ．7．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．180（1﹣x ）2＝461B ．180（1+x ）2＝461C ．368（1﹣x ）2＝442D ．368（1+x ）2＝442解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程：180（1+x ）2＝461， 故选：B ．8．（3分）过直线l 外一点P 作直线l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）A．B．C．D．解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，D、无法判断两直线平行，故选：D．9．（3分）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．故选：C．10．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（）A ．√2B ．√2+12C ．√5+12D ．43 解： 由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADA '＝∠B ＝∠C ＝∠A ＝90°，AD ＝BC ＝1，CD ＝AB ，由第一次折叠得：∠DAE ＝∠A ＝90°，∠ADE =12∠ADC ＝45°，∴∠AED ＝∠ADE ＝45°，∴AE ＝AD ＝1，在Rt △ADE 中，根据勾股定理得，DE =√2AD =√2，故选：A ．二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一元一次方程2x +1＝3的解是x ＝ 1 ．解；将方程移项得，2x ＝2，系数化为1得，x ＝1．故答案为：1．12．（4分）定义a ※b ＝a （b +1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x ﹣1）※x 的结果为 x 2﹣1 ．解：根据题意得：（x ﹣1）※x ＝（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1．故答案为：x 2﹣1．13．（4分）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是 5 ．解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6，已知这组数据的平均数是5， ∴x ＝5×5﹣4﹣4﹣5﹣6＝6，∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，∴这组数据的中位数是5．故答案为：5．14．（4分）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为（4+√2）dm．解：∵正方形ABCD的边长为4dm，∴②的斜边上的高是2dm，④的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，⑦的斜边上的高是√2dm，∴图2中h的值为（4+√2）dm．故答案为：（4+√2）．15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8√3，则k＝40√3．解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，∴FN=√3MN＝3√3，∴AN＝MB＝8√3−3√3=5√3，设OA＝x，则OB＝x+3，∴F（x，8√3），M（x+3，5√3），∴8√3x＝（x+3）×5√3，解得，x＝5，∴F（5，8√3），∴k＝5×8√3=40√3．故答案为：40√3．16．（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆P A＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为160cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为6409cm．解：（1）如图3中，延长PO 交MN 于T ，过点O 作OH ⊥PQ 于H ．由题意：OP ＝OQ ＝50cm ，PQ ＝P A ﹣AQ ＝14﹣＝60＝80（cm ），PM ＝P A +BC ＝140+60＝200（cm ），PT ⊥MN ，∵OH ⊥PQ ，∴PH ＝HQ ＝40（cm ），∵cos ∠P =PH OP =PT PM ，∵4050=PT 200，∴PT ＝160（cm ），∴点P 到MN 的距离为160cm ，故答案为160．（2）如图4中，当O ，P ，A 共线时，过Q 作QH ⊥PT 于H ．设HA ＝xcm ．由题意AT ＝PT ﹣P A ＝160﹣140＝20（cm ），OA ＝P A ﹣OP ＝140﹣50＝90（cm ），OQ ＝50cm ，AQ ＝60cm ，∵QH ⊥OA ，∴QH 2＝AQ 2﹣AH 2＝OQ 2﹣OH 2，∴602﹣x 2＝502﹣（90﹣x ）2，解得x =4609，∴HT ＝AH +AT =6409（cm ）， ∴点Q 到MN 的距离为6409cm ． 故答案为6409．三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）17．（6分）计算：|﹣2|+（13）0−√9+2sin30°． 解：原式＝2+1﹣3+2×12＝2+1﹣3+1＝1．18．（6分）先化简，再求值：a a 2−2a+1÷1a−1，其中a ＝3． 解：原式=a (a−1)2•（a ﹣1） =a a−1，当a ＝3时，原式=33−1=32．19．（6分）如图，在5×5的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．解：（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）．（2）如图，直线l即为所求、20．（8分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．被抽样的学生视力情况频数表组别视力段频数A 5.1≤x≤5.325B 4.8≤x≤5.0115C 4.4≤x≤4.7mD 4.0≤x≤4.352（1）求组别C的频数m的值．（2）求组别A的圆心角度数．（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？解：（1）本次抽查的人数为：115÷23%＝500，m＝500×61.6%＝308，即m的值是308；（2）组别A的圆心角度数是：360°×25500=18°，即组别A的圆心角度数是18°；（3）25000×25+115500=7000（人），答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人，建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴AĈ=CD̂，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC ＝90°，∴∠AEC ＝∠ACB ，∴△AEC ∽△BCA ，∴CE AC =AC AB ， ∴CE 6=610，∴CE ＝3.6，∵OC =12AB ＝5，∴OE ＝OC ﹣EC ＝5﹣3.6＝1.4．22．（10分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km /h ，游轮行驶的时间记为t （h ），两艘轮船距离杭州的路程s （km ）关于t （h ）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km ？解：（1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h ．∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h）．（2）①280÷20＝14h，∴点A（14，280），点B（16，280），∵36÷60＝0.6（h），23﹣0.6＝22.4，∴点E（22.4，420），设BC的解析式为s＝20t+b，把B（16，280）代入s＝20t+b，可得b＝﹣40，∴s＝20t﹣40（16≤t≤23），同理由D（14，0），E（22，4，420）可得DE的解析式为s＝50t﹣700（14≤t≤22.4），由题意：20t﹣40＝50t﹣700，解得t＝22，∵22﹣14＝8（h），∴货轮出发后8小时追上游轮．②相遇之前相距12km时，20t﹣4﹣（50t﹣700）＝12，解得t＝21.6．相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）＝12，解得t＝22.4，∴21.6h或22.4h时游轮与货轮何时相距12km．23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分別是直线y=−83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK＝∠DHK＝90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF＝KD，∵∠FKG＝∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG ＝DH ，∵直线AC 的解析式为y =−83x +4，∴x ＝0时，y ＝4，∴A （0，4），又∵B （﹣2，0），设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，∴{−2k +b =0b =4， 解得{k =2b =4， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x +4，过点F 作FR ⊥x 轴于点R ，∵D 点的橫坐标为m ，∴F （﹣m ，﹣2m +4），∴ER ＝2m ，FR ＝﹣2m +4，∵EF 2＝FR 2+ER 2，∴l ＝EF 2＝8m 2﹣16m +16＝8（m ﹣1）2+8，令−8x 3+4＝0，得x =32，∴0≤m ≤32．∴当m ＝1时，l 的最小值为8，∴EF 的最小值为2√2．（3）①∠FBE 为定角，不可能为直角．②∠BEF ＝90°时，E 点与O 点重合，D 点与A 点，F 点重合，此时m ＝0．③如图3，∠BFE ＝90°时，有BF 2+EF 2＝BE 2．由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，又∵BE2＝（m+2）2，∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2＝（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8＝0，解得m1=43，m2＝2（不合题意，舍去），∴m=4 3．综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m=4 3．24．（12分）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S1S2=13时，求ADAB的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的110时，请直接写出tan∠BAE的值．（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴OL BF =DO BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝2OD ，∴BF ＝2OL ，∴BF ＝2OG ．（3）解：如图3中，过点D 作DK ⊥AC 于K ，则∠DKA ＝∠CDA ＝90°，∵∠DAK ＝∠CAD ，∴△ADK ∽△ACD ，∴DK AD =CD AC ， ∵S 1=12•OG •DK ，S 2=12•BF •AD ，又∵BF ＝2OG ，S 1S 2=13， ∴DK AD =23=CD AC ，设CD ＝2x ，AC ＝3x ，则AD ＝2√5x ， ∴AD AB =AD CD =√52．（4）解：设OG ＝a ，AG ＝k ．①如图4中，连接EF ，当点F 在线段AB 上时，点G 在OA 上．∵AF ＝AG ，BF ＝2OG ，∴AF ＝AG ＝k ，BF ＝2a ，∴AB ＝k +2a ，AC ＝2（k +a ），∴AD 2＝AC 2﹣CD 2＝[2（k +a ）]2﹣（k +2a ）2＝3k 2+4ka ，∵∠ABE ＝∠DAF ＝90°，∠BAE ＝∠ADF ，∴△ABE ∽△DAF ，∴BE AB =AE AD ， ∴BE k+2a =k AD ，∴BE =k(k+2a)AD， 由题意：10×12×2a ×k(k+2a)AD =AD •（k +2a ）， ∴AD 2＝10ka ，即10ka ＝3k 2+4ka ，∴k ＝2a ，∴AD ＝2√5a ，∴BE =k(k+2a)AD=4√55a ，AB ＝4a ， ∴tan ∠BAE =BE AB =√55．②如图5中，当点F 在AB 的延长线上时，点G 在线段OC 上，连接EF ．∵AF ＝AG ，BF ＝2OG ，∴AF ＝AG ＝k ，BF ＝2a ，∴AB ＝k ﹣2a ，AC ＝2（k ﹣a ），∴AD 2＝AC 2﹣CD 2＝[2（k ﹣a ）]2﹣（k ﹣2a ）2＝3k 2﹣4ka ， ∵∠ABE ＝∠DAF ＝90°，∠BAE ＝∠ADF ，∴△ABE ∽△DAF ，∴BE AB =AE AD ， ∴BE k−2a =k AD ，∴BE =k(k−2a)AD， 由题意：10×12×2a ×k(k−2a)AD =AD •（k ﹣2a ）， ∴AD 2＝10ka ，即10ka ＝3k 2﹣4ka ，∴k =143a ， ∴AD =2√1053a ， ∴BE =k(k−2a)AD =8√10545a ，AB =83a ， ∴tan ∠BAE =BE AB =√10515，综上所述，tan ∠BAE 的值为√55或√10515．。