学业水平测试 数学试题 与答案

2023年山西省初中学业水平考试数学（满分120分，考试时间120分钟）第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.计算（-1）×（-3）的结果为（）A.3B.31C.-3D.-42.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量.图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）3.下列计算正确的是（）A.632aaa=⋅ B.2623)(baba-=- C.236aaa=÷ D.632)(aa=4.山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（）A.1.464×108千瓦时B.1464×108千瓦时C.1.464×1011千瓦时D.1.464×1012千瓦时5.如图，四边形ABCD内接于☉O,AC、BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为（）A.40oB.50oC.60oD.70o6.新趋势跨学科问题一种弹簧秤（如图）最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A.xy5.012-= B.xy5.012+= C.xy5.010+= D.xy5.0=7.新趋势跨学科问题如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心0的光线相交于点P，点F为焦点，若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为（）（第4题）（第5题）（第6题）（第7题）A B C D8.若点A（-3,a），B（-1,b），C（2，c）都在反比例函数xky=（0<k）的图象上，则a、b、c的大小关系用“<”连接的结果为（）A.cab<< B.abc<< C.cba<< D.bac<<9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径km5.1=OA，则这段圆曲线AB的长为（）A.km4πB.km2πC.km43πD.km83π10.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P、Q、M均为正六边形的顶点，若点P、Q的坐标分别为（32-、3），（0、-3），则点M的坐标为（）A.（33、-2） B.（33、2） C.（2、33-） D.（-2、33-）第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.计算)36)(36(-+的结果为.12.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片……依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）13.如图，在□ABCD中，∠D=60°.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A、E为圆心，以大于AE21的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OEOF的值为.14.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核（第9题）（第10题）第1个第2个第3个第4个（第12题）心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是.15.如图，在四边形ABCD 中，o 90=∠BCD ，对角线AC 、BD相交于点O.若5==AC AB ，B 6=BC ，CBD ADB ∠=∠2，则AD 的长为.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）（1）计算：122)53()21(8-⨯+---⨯-（2）计算：xx x x 4)1()2(2-+++17.（本题7分）解方程：223111-=+-x x 18.（本题9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔，报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4:4:2的比例计算出每人的总评成绩.小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图.（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67、72、68、69、74、69、71.这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分.（2）请你计算小涵的总评成绩.（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.选手测试成绩/分总评成绩/分采访写作摄影小悦83728078小涵8684▲▲（第13题）（第14题）（第15题）19.（本题9分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌（如图）显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由l 个A 部件和3个B 部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A 部件和2个B 部件的总质量为2.8吨，2个A 部件和3个B 部件的质量相等.（1）1个A 部件和1个B 部件的质量分别是多少？（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备?20.（本题8分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022-2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流人选.在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）.某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC 和AB 的长度（结果精确到0.1m.参考数据：73.13≈，41.12≈）课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解调查内容功能驳岸是用来保护河岸、阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等驳岸剖面图材料相关数据及说明：图中，点A 、B 、C 、D 、E 在同一竖直平面内，AE 和CD 均与地面平行，岸墙AB ⊥AE于点A ，o 135=∠BCD ,o 60=∠EDC ,m 6=ED ,m 5.1=AE ,m5.3=CD 计算结果交流展示21.（本题7分）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图（1），在四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接E、F、G、H 得到的四边形EFGH 是平行四边形.我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形，瓦里尼翁（Varingnon ，Pierre l654—1722）是法国数学家、力学家，瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图（1）证明如下：证明：如图(2)，连接AC ，分别交EH、FG 于点P、Q ,过点D 作DM ⊥AC 于点M ,交HG 于点N .∵H、G 分别为AD、CD 的中点∴HG //AC ,AC HG 21=,（依据1）∴GC DGNM DN =∵GCDG =∴DMNM DN 21==∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形∴HE //GF ，即HP //GQ 又 HG //AC ,即HG ∥/PQ∴四边形HPQG 是平行四边形，（依据2）∴S ☐=HPQG MN HG ⋅=DMHG ⋅21∵DMHG DM AC S ADC ⋅=⋅=∆21∴S ☐=HPQG ADCS ∆21同理……任务：（1）填空：材料中的依据1是指.依据2是指.（2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形.（要求同时画出四边形ABCD 的对角线）（3）在图（1）中，分别连接AC、BD 得到图（3），请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与四边形ABCD 对角线AC、BD 长度的关系，并证明你的结论.22.（本题12分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图（1）中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中o 90=∠=∠DEF ACB ，D A ∠=∠.将△ABC 和△DFE 按图（2）所示方式摆放，其中点B 与点F重合（标记为点B ）.当A ABE ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G .试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由.数学思考：（1）请你解答老师提出的问题.深入探究：（2）老师将图（2）中的△DBE 绕点B 沿逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题.①“善思小组”提出问题：如图（3），当BAC ABE ∠=∠时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，BM 与AC 交于点N .试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明.请你解答此问题.②“智慧小组”提出问题：如图（4），当BAC ABE ∠=∠时，过点A 作AH ⊥DE 于点H ，若9=BC ，12=AC ，求AH 的长.请你思考此问题，直接写出结果.23.（本题13分）综合与探究如图，二次函数x x y 42+-=的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B （1，3)，与y 轴交于点C（1）求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标.（2）点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m①当OC PD 21=时，求m 的值.②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.2023年山西省初中学业水平考试数学（答案）10~1题：11题：312题：（22+n ）13题：314题：6115题：39716题：（1）原式=212418⨯-⨯112=-=（2）原式=124122222+=-++++x x x x x x 17题：原方程可化为)1(23111-=+-x x 方程两边同乘)1(2-x ，得3)1(22=-+x 解得23=x 检验：当23=x 时，0)1(2≠-x ∴原方程的解是23=x 18题：（1）696970（2）82244270484486=++⨯+⨯+⨯答：小涵的总评成绩为82分.（3）小涵能入选，小悦不一定能入选.理由：由题中20名学生的总评成绩频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且低于80分的学生有6名.小涵和小悦的总评成绩分别是82分、78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选.12345678910A C D C B B C D B A（1）设1个A 部件的质量为x 吨，1个B 部件的质量为y 吨.根据题意，得⎩⎨⎧==+y x y x 328.22（2）解得⎩⎨⎧==8.02.1y x 答：1个A 部件的质量为1.2吨，1个B 部件的质量为0.8吨.（2）设该卡车一次可运输m 套这种设备通过此大桥根据题意得308)38.02.1(≤+⨯+m 解得959≤m 因为m 为整数，所以m 的最大值为6答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.20题：如图，过点E 作EF ⊥CD 于点F ，则o 90=∠EFD 在Rt△EFD 中，o 60=∠EDF ，6=ED ,ED EF EDF =∠sin ，EDFDEDF =∠cos ∴3323660sin 6sin o =⨯=⨯=∠⋅=EDF ED EF 321660cos 6cos o =⨯=⨯=∠⋅=EDF ED FD 延长AB 、DC 交于点H ，由题意得，o 90=∠H ，四边形AEFH 是矩形∴33==EF AH ，5.1==AE HF ∵5.035.3=-=-=FD CD CF ∴15.05.1=-=-=CF HF CH 在Rt△BCH 中，o 90=∠H ,o o o o 45135180180=-=∠-=∠BCD BCH ，BCCHBCH =∠cos ，CHBH BCH =∠tan ∴4.1222145cos 1cos o≈===∠=BCH CH BC 145tan 1tan o =⨯=∠⋅=BCH CH BH ∴2.4173.13133≈-⨯≈-=-=BH AH AB 答：BC 的长约为1.4m ，AB 的长约为4.2m（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）（2）如图即为所求.（答案不唯一，只要符合题意均可得分）例如：（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 对角线AC 与BD 长度的和.证明：∵点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点∴AC EF 21=，ACGH 21=∴AC GH EF =+同理BDFG EH =+∴四边形EFGH 的周长BDAC FG EH GH EF +=+++=即瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 对角线AC 与BD 长度的和.22题：（1）四边形BCGE 为正方形.理由：∵o90=∠BED ∴o o 90180=∠-=∠BED BEG ∵A ABE ∠=∠∴AC//BE∴o 90=∠=∠BED CGE 又 o 90=∠，o 90=∠BEG ∴四边形BCGE 为矩形.∵△ACB ≌△DEB ∴BEBC =∴矩形BCGE 为正方形.（2）①BE AM =证明：∵AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ∴CM ∠==∠o 90又∵BAC ABE ∠=∠,BA AB =∴△BAM ≌△ABC∴BCAM =又∵BCBE =∴BEAM =②AH 的长为527解答提示：如图，设AB 、DE 的交点为M ，过点M 作MG ⊥BD 于点G ∵△ACB ≌△DEB∴9==BC BE ，12==AC DE ,D BAC ∠=∠,DBEABC ∠=∠∴DBMCBE ∠=∠又∵BACCBE ∠=∠∴DBMD ∠=∠∴MB MD =（等角对等边）又∵MG ⊥BD∴点G 是BD 的中点（等腰三角形三线合一）由勾股定理得1522=+=DE BE BD ∴21521==BD DG ∵BD DE DM DG D ==∠cos ∴875121525=⨯=⋅=DE BD DG DM ∴875==DM BM ∴84587515=-=-=BM AB AM ∵AH ⊥DE ,BE ⊥DE ,BMEAMH ∠=∠∴△AMH ∽△BME∴53==BM AM BE AH ∴52795353=⨯==BE AM 23题：（1）对于x x y 42+-=，当y =0时，042=+-x x ，解得01=x ,42=x ∵点A 在x 轴正半轴上∴点A 的坐标为（4，0）设直线AB 的函数表达式为)0(≠+=k b kx y 将A、B 两点的坐标（4，0），（1，3）分别代入b kx y +=得⎩⎨⎧=-=41b k ∴直线AB 的函数表达式为4+-=x y将x =0代入4+-=x y ，得y =4∴点C 的坐标为（0，4）（2）①∵点P 在第一象限内二次函数x x y 42+-=的图象上，且PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，其横坐标为m∴点P、D 的坐标分别为P（m ，m m 42+-）、D （m ，4+-m ）∴m m PE 42+-=,4+-=m DE ,mOE =∵点C 的坐标为（0，4）∴4=OC ∵OC PD 21=∴2=PD 如图（1），当点P 在直线AB 上方时，45)4(422-+-=+--+-=-=m m m m m DE PE PD ∵2=PD ∴2452=-+-m m ，解得21=m ，32=m 如图（2），当点P 在直线AB 下方时，45)4(422+-=+--+-=-=m m m m m PE DE PD ∵2=PD ∴2452=+-m m ，解得275±=m ∵10<<m ∴2175-=m 综上所述，m 的值为2、3或2175-②如图（3），由①得m OE =,m m PE 42+-=,4+-=m DE ∵BQ ⊥x 轴于点Q ,交OP 于点F ，点B 的坐标为（1，3）∴1=OQ ,o90=∠OQF ∵点P 在直线AB 上方∴1-=m EQ ∵PE ⊥x 轴于点E∴o90=∠=∠OEP OQF∵FQ //DE∴△FOQ ∽△POE ∴OE OQ PE FQ =∴mm m FQ 142=+-∴442+-=+-=m mm m FQ ∴四边形FQED 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵PE ⊥x 轴∴四边形FQED 为矩形∴45)4)(1(2-+-=+--=⋅=m m m m FQ EQ S ∵49)25(4522+--=-+-=m m m S ,01<-,41<<m ∴当25=m 时，S 取最大值，最大值为49。

2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷共5页25题.全卷满分100分.考试用时90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2､选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑､涂匀､涂实，未涂､错涂､多涂或填涂不规范均不得分.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效.在试卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束后，请将本试卷､答题卡和草稿纸一并上交.一､选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}{}2,4,6,8,6,8U A ==，则U A =ð（）A.{}2 B.{}2,4 C.{}2,4,6 D.{}2,4,6,8【答案】B 【解析】【分析】利用补集的定义即可求解.【详解】由{}2,4,6,8U =，{}6,8A =，则{}2,4U A =ð，故选：B .2.πcos 2θ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.sin θ B.sin θ- C.cos θD.cos θ-【答案】A 【解析】【分析】根据诱导公式求解.【详解】πcos sin 2θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：A3.欧拉恒等式iπe 10+=（其中i 为虚数单位，e 为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式i e cos isin x x x =+的特例，即当πx =时，iπe cosπisinπ1=+=-，得iπe 10+=.根据欧拉公式，πi 4e 表示的复数是（）A.B.+C.22i 22-- D.22i 22-【答案】A 【解析】【分析】复数πi 4ππecosisin 44z ==+，进而得出共轭复数为z.【详解】由题意，复数πi 4ππ22e cosisin i 4422z ==+=+.故选：A4.已知向量()()1,0,0,1a b == ，则23a b +=r r （）A.()2,3- B.()2,3-- C.()2,3- D.(2,3)【答案】D 【解析】【分析】运用向量的坐标运算计算即可.【详解】已知向量()()1,0,0,1a b == ，则()()()2321,030,12,3a b +=+=.故选：D.5.命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（）A.2x ,10R x x ∀∈-+≤B.2x ,10R x x ∀∈-+<C.2000x ,10R x x ∃∈-+≤ D.2000x ,10R x x ∃∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据否定的定义书写命题即可.【详解】全称命题的否定“2000,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：C.6.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5g 501.5g ~之间的概率约为（）A.0.1B.0.15C.0.25D.0.5【答案】C 【解析】【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在497.5g 501.5g ~之间的频率，用频率估计概率，可得结果.【详解】在所给的数据中，在497.5g 501.5g ~之间的数据有498,501,500,501,499共5个，所以数据在497.5g 501.5g ~之间的频率为：50.2520=.用频率估计概率，则所求概率为0.25.故选：C7.已知tan 3α=，则2sin cos sin 2cos αααα+=-（）A.1B.3C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案.【详解】将2sin cos sin 2cos αααα+-分子分母同除以cos α可得：2sin cos 2tan 12317sin 2cos tan 232αααααα++⨯+===---.故选：D.8.已知b 克糖水中含有a 克糖()0b a >>，再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（）A.a m ab b+< B.b m ba a+<C.a m ab m b+>+ D.b m ba m a+>+【答案】C 【解析】【分析】根据题意建立不等关系即可.【详解】由题意可知糖水原浓度为a b，加糖之后的浓度为a m b m ++，则有a m ab m b+>+.故选：C9.如图，1C 是函数(01)x y a a =<<的图象，234,,C C C 是由1C 经轴对称变换得到的函数图象，则234,,C C C 对应的函数解析式分别是（）A.,log ,log xa a y a y x y x -===-B.log ,,log xa a y x y a y x -===-C.log ,log ,xa a y x y x y a-==-=D.log ,,log xa a y x y a y x -=-==【答案】B 【解析】【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得.【详解】由图可知，2C 与1C 关于直线y x =对称，所以2C 的解析是为log a y x =；3C 与1C 关于y 轴对称，所以3C 的解析是为x y a -=；4C 与3C 关于y x =轴对称，所以4C 的解析是为log a y x =-.故选：B10.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为2%，本利和为y （单位：元），存期数为x ，则y 关于x 的函数解析式为（）A.2009800y x =+B.20010000y x =+C.1100001.02x y -=⨯ D.10000 1.02xy =⨯【答案】D 【解析】【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果.【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为()1000012%10000 1.02y =⨯+=⨯，存期数为2时可得本利和为()221000012%100001.02y =⨯+=⨯，⋅⋅⋅⋅⋅⋅所以存期数为x 时，本利和为10000 1.02x y =⨯.故选：D11.若函数()f x 满足“对定义域内任意实数,a b ，都有()()22f a f b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭”，则()f x 可以是（）A.()f x x =B.()2f x x=C.()2xf x = D.()ln f x x=【答案】A 【解析】【分析】根据解析式代入检验判断A ，取特殊值检验判断BC ，根据解析式及基本不等式可判断D.【详解】对A ，22a b a bf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22f a f b a b ++=，所以满足条件，故A 正确；对B ，取0,1a b ==，11(0)(1)1,2422f f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，不满足条件，故B 错误；对C ，取0,1a b ==，1(0)(1)1232222f f f ++⎛⎫===⎪⎝⎭，不满足条件，故C 错误；对D ，(),0,a b ∞∈+，ln 22a b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()ln ln ln ln 222f a f b a b ab ++===由2a b +≥知当a b ≠时，2a b+>，故()()22f a f b a b f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误.故选：A12.向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下：2107416554675678570565428358859286668722872699861057511558117361212112386124001303916530则这组数据的第50百分位数为（）A.8720B.8722C.8724D.8726【答案】C 【解析】【分析】将成绩按照从小到大的顺序排列后利用百分位数的定义计算即可得出结果.【详解】根据题意将8位同学的成绩按照从小到大的顺序排列如下：2107,4165,5467,5678,5705,6542,8358,8592,8666,8722,8726,9986,10575,11558,11736,12121,12386,12400,13039,16530；又2050%10⨯=，所以数据的第50百分位数为第10个数和第11个数的平均数，即为8722872687242+=.故选：C .13.如图，平行四边形ABCD 中，P 是CD 边上的一点，则（）A.DA DP PA+= B.DA AB BP DP++= C.AB BC CP PA ++=D.PA PB BA+=【答案】B【分析】根据向量线性运算化简求解即可.【详解】DA DP PA -= ，故A 错误；DA AB BP DP ++=，故B 正确；AB BC CP AP ++= ，故C 错误；PA PB BA -=，故D 错误.故选：B14.若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式2012h v t gt =-，其中2010m /s ,g v ≈为初速度.向盼归同学以011m /s v =竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间为（）A.1.8s B.2.8sC.3.8sD.4.8s【答案】A 【解析】【分析】令25112h t t =->，求解t ，求出排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间.【详解】由题意得：2115h t t =-，令25112h t t =->，即211205t t -+<，解得0.22t <<，所以排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间为20.2 1.8s -=.故选：A.15.习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间t （单位：h ），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于40h 的概率为（）A.0.150B.0.400C.0.450D.0.850【答案】D【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的含义即可求得答案.【详解】由频率分布直方图可估计该校学生阅读时间不少于40h 的概率为：()004000300015100850....++⨯=，故选：D二､选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）16.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，则（）A.a b= B.a b=C.a b⊥D.//a b【答案】BC 【解析】【分析】根据向量的坐标可判断A ；计算向量的模判断B ；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD.【详解】由于()()1,1,1,1a b ==- ，则a b ≠ ，A 错误；由于a b === ，B 正确，因为()11110⨯+⨯-=，故a b ⊥，C 正确；因为()11110⨯--⨯≠，故,a b不平行，D 错误；故选：BC17.已知e 2.71828= 为欧拉常数，π 3.14159= 为圆周率，则（）A.3πe e <B.3πe 3> C.e e3π< D.e 33π>【答案】AC 【解析】【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性逐项判断即可.【详解】因为函数e x y =是增函数，且3π<，所以3πe e <，故A 正确；因为函数3y x =是增函数，且e 3<，所以33e 3<，又函数3x y =是增函数，且3π<，所以3π33<，所以3πe 3<，故B 错误；因为函数e y x =在0,+∞是增函数，且3π<，所以e e 3π<，故C 正确；因为函数πx y =是增函数，且e 3<，所以e 3ππ<，所以e e 33ππ<<，D 错误.故选：AC18.如图，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNQ 平行的是（）A. B.C. D.【答案】BCD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可.【详解】对A ：如图：连接BC ，交MN 于点E ，连接EQ ，则EQ ，AB ⊂平面ABC ，且直线EQ 与直线AB 不平行，所以直线AB 与平面MNQ 相交，故A 错误；对B ：如图：因为////AB CD MQ ，MQ Ì平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故B 正确；对C ：如图：取AC 中点F ，易证,,,M N Q F 四点共面，且//AB QF ，QF ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故C 正确；对D ：如图：连接CD ，则////MN CD AB ，MN ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故D 正确.故选：BCD三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）19.已知1a b == ，且0a b ⋅=，则a b += ______.【解析】【分析】根据a b += .【详解】a b +===.20.已知事件A 与事件B 相互独立，且()()0.7,0.8P A P B ==，则（1）()P A B ⋂=______；（2）()P A B = ______.【答案】①.0.56②.0.94【解析】【分析】利用独立事件乘法公式计算积事件概率，利用概率的性质计算和事件的概率即可.【详解】()()()0.56P A B P A P B ⋂=⨯=；()()110.30.20.94P A B P A B ⋃=-⋂=-⨯=.故答案为：0.56；0.9421.已知3log 21x=，则24x x +=__________.【答案】12【解析】【分析】根据指数与对数的运算法则计算．【详解】由3log 21x=得23x =，则24(2)9x x ==，所以243912x x +=+=，故答案为：12.22.已知函数()sin cos f x x x m =+的最大值为32，则（1）常数m 的值为______；（2）()f x 取最大值时，x 的一个取值为______.【答案】①.1②.π4（答案不唯一）【解析】【分析】根据倍角公式可得()1sin 22f x x m =+，进而结合正弦函数的性质求解即可.【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x m x m =+=+，则()max 1322f x m =+=，即1m =.当()f x 取最大值时，sin 21x =，即π22π2x k =+，k ∈Z ，即ππ4x k =+，k ∈Z ，所以x 的一个取值为π4.故答案为：1；π4（答案不唯一）.四､解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）23.《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马V ABCD -中，VD ⊥底面ABCD ，点E 是VC 的中点，连结,,DE BD BE.（1）证明：,,VD AD CD 两两垂直；（2）设阳马V ABCD -的体积为1V ，四面体E BCD -的体积为2V ，求12V V 的值.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质可得VD AD ⊥，VD CD ⊥，和“阳马”的定义得AD CD ⊥；（2）取DC 的中点G ，连接EG ，可得EG ⊥底面ABCD ，再利用锥体的体积公式即可求解.【小问1详解】由VD ⊥底面ABCD ，,AD CD ⊂底面ABCD ，则VD AD ⊥，VD CD ⊥，又在阳马V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，因此可得,,VD AD CD 两两垂直.【小问2详解】取DC 的中点G ，连接EG ，又点E 是VC 的中点，则//VD EG ，且12EG VD =，又VD ⊥底面ABCD ，则EG ⊥底面ABCD ，则四面体E BCD -的体积211111113232243V DC BC EG DC BC VD DC BC VD ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又阳马V ABCD -的体积113V DC BC VD =⋅⋅，则2114V V =，因此可得124V V =.24.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S .已知π33,32B S ==，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求ABC V 的周长.①a c +=；②ab =注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】3+【解析】【分析】若选择①，根据面积公式求ac ，再根据余弦定理求b ，即可求解周长；若选项②，根据面积公式求角C 以及角A ，再结合ab =，即可求解周长.【详解】若选择①a c +=，1333sin 242S ac B ac ===，得6ac =，()2222222cos 327169b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，得3b =，所以3a b c ++=+；若选择②ab =1sin 22S ab C C ===，得1sin 2C =，因为π3B =，所以π6C =，那么ππ2A B C =--=，sin 2b a B a ==，232ab a ==a =，3b =，1sin 2c a C a ===，所以3a b c ++=+，所以ABC V 的周长为3+25.已知函数()ln (,,R 1m f x a b a b m x =++∈+，且0)m ≠.（1）当0a =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明；（2）对给定的非零常数m ，是否存在实数,a b ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，2m a =-，ln 2m b =-【解析】【分析】（1）结合函数的定义域，分区间(),1∞--和()1,∞-+，证明函数的单调性；（2）根据函数的定义域，确定2m a =-，并根据()00f =确定eb a -=，并代入验证函数是奇函数.【小问1详解】当0a =时，()ln1m f x b x =++，设121x x >>-，()()2121211ln ln ln 111x m m f x f x x x x +-=-=+++，因为121x x >>-，所以12110x x +>+>，则211011x x +<<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,∞-+上单调递减；设121x x <<-，()()2121211ln ln ln 111x m m f x f x x x x +-=-=+++，因为121x x <<-，所以12110x x +<+<，则211011x x +<<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在(),1∞--上单调递增；【小问2详解】()()1ln 1a x mf x b x ++=++，因为1x ≠-，若函数是奇函数，则1x ≠，即20a m +=，则2m a =-，所以()()1ln 1a x f x b x -=++，()0ln 0f a b =+=，即e b a -=，所以()1ln e 1b x f x b x -⎛⎫-=⋅+ ⎪+⎝⎭，()11ln e ln e 11b b x x f x b b x x --⎛⎫⎛⎫--+-=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，()()2ln e 2220b f x f x b b b -+-=+=-+=，所以只要满足2m a =-，e b a -=，即2m a =-，ln 2m b =-时，函数()f x 是奇函数.【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，()00f =.。

2024年高中学业水平合格性考试模拟练习数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间90分钟．参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．球的体积公式24π3V R =，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0,1,2,3U =，集合{}0,1,2M =，{}0,2,3N =，则U M N = ð（）．A ．∅B ．{}1C ．{}2,3D ．{}0,1,22．命题“R x ∃∈，()12f x <≤”的否定形式是（）．A ．R x ∀∈，()12f x <≤B ．R x ∃∈，()12f x <≤C ．R x ∃∈，()1f x ≤或()2f x >D ．R x ∀∈，()1f x ≤或()2f x >3．复数1i1i+-等于（）．A ．1B ．1-C ．i D ．i-4．不等式()()120x x --≥的解集为（）．A ．{|}12x x ≤≤B ．}1{|2x x x ≤≥或C ．{}2|1x x <<D ．}1{|2x x x <>或5．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四6．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不够8环的概率为（）．A ．0.9B ．0.6C ．0.4D ．0.37．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）．A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位8．在△ABC 中，π3A =，3BC =，AB =，则C =（）．A ．π6B ．π4或3π4C ．3π4D ．π49．若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，l α⊥，则“l m ⊥”是“m α∥”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列函数中，周期为π且为偶函数的是（）．A ．sin(22πy x =-B ．cos(2)2πy x =--3）C ．sin(2πy x =+D ．cos()2πy x =+11．三个数3log 2a =，21log 4b =，0.512c -⎛⎫= ⎪⎝⎭之间的大小关系为（）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．b c a<<12．一个圆柱的底面直径和高都等于球O 的直径，则球O 与该圆柱的体积之比为（）．A ．18B ．16C ．12D ．2313．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，点E 满足13EC AC = ，则DE =（）．A ．2133a b-B ．2133a b- C ．1233a b- D ．1233a b- 14．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（）．A ．23B ．36C ．2121D ．4212115．函数()22log 43xf x a x a =+⋅+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，则实数a 的取值范围是（）．A ．12a <-B ．32a <-C ．3122a -<<-D ．34a <-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上。

2024年浙江省“山海联盟”初中学业水平考试数学 试题卷考生须知：1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、准考证号等信息．3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B 铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑．卷Ⅰ说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B 铅笔在“答题卷”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．对称美是我国古代平衡思想的体现，常用于标识的设计上，使对称美惊艳了千年时光．下列校徽图标不属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．中国空间站离地球的远地点距离约为347000m ，其中数字347000用科学记数法可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．一次函数的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在一次评比中，甲同学的面试成绩为84分，笔试成绩为92分，若分别赋予笔试、面试成绩的权为，则计算甲同学的平均分正确的是（ ）A．B ．C ．D ．5．不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．434.710⨯43.4710⨯53.4710⨯60.34710⨯223y x =-+2:384922+8429232⨯+⨯84292323⨯+⨯+84392232⨯+⨯+215,342x x -≤⎧⎨+>-⎩6．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：密文…8…明文…我爱中华大地…把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）A ．中华大地B ．爱我中华C ．爱大中华D ．我爱中大7．如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（）（第7题）A ．B ．C ．D ．8．下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值：…124……353…则下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向上B ．函数图象与轴无交点C ．函数的最大值为5D ．当时，的值随值的增大而减小9．如图，是等边三角形的边上一点，作于点，若，，则的长为（ ）（第9题）A ．3B．C ．D ．10．已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有()()222288x m n y m n ---m n-m n+x y-x y+x()()222288x m n y m n ---x y x1-y7-x 3x >y x D ABC AC AE BD ⊥E 7BC =150AEC ∠=︒CD 527374243y x x =-+P P m 4m x ≤≤，则的值为（ ）A ．B ．C ．D．卷Ⅱ说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在“答题卷”的相应位置上．二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）11．计算：______．12．现有六张背面完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，把这六张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，任意抽取一张卡片，抽取的卡片的数字为奇数的概率为______．13．如图是一个矩形木框，，，若在点处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是______cm ．（第13题）14．已知关于的一元二次方程有两个不同的解，其中一个解是，则该方程的另一个解是______．15．毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，．已知顶角为的等腰三角形的底边上的高线为，腰上的高线为，则______．16．如图是直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，为的中点，与相交于点，则点到直线的距离等于______．（第16题）三、解答题（本题共有8小题，共72分）17．（本题满分6分）14y m -≤≤m 44434()2222---=1,2,3,4,5,6ABCD 30cm AB =60cm BC =,A C x 260x ax a -+=3x a =2sin18=︒36︒H h hH=10AB =O C 4sin 5AOC ∠=P »AB AP BC Q Q AB小孙同学化简分式，解答过程如下：解：原式（第一步）（第二步）．（第三步）你认为小孙的解答过程是否正确？如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程．18．（本题满分6分）某数学学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝．图2是其示意图，已知两条侧翼的长均为60cm ，夹角为，平分，求两点间的距离．（参考数据：，，）（第18题）19．（本题满分8分）若以50千克为基准，超过基准的千克数记为正数，不足基准的千克数记为负数．称量6筐水果的重量，甲组为实际称量数据，乙组为记录数据，如下表所示（单位：千克）： 序号组别123456甲485247495354乙234（第19题）22311x x +--()()()()231111x x x x =++-+-()()2311x x +=+-251x =-,AB AC BAC ∠100︒AD BAC ∠,B C sin500.77︒≈cos500.64︒≈tan50 1.19︒≈2-3-1-（1）将乙组数据画成折线图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的关系式．②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较的大小关系，并说明理由．20．（本题满分8分）．在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：………（1）当时，______，______．（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）．（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．21．（本题满分10分）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表：051015202523.52014.57252015105（1）根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象．（2）在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．（3）在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？x 甲x 乙x 甲x 乙2S 甲2S 乙22,S S 甲乙abc312=+4212=⨯⨯52121=⨯⨯+523=+12223=⨯⨯132231=⨯⨯+734=+24234=⨯⨯252341=⨯⨯+945=+40245=⨯⨯412451=⨯⨯+11a =b =c =n n x 1y 2y 12,y y x x1y 2y 12,y y 12,y y x 12,y y（第21题）22．（本题满分10分）如图，在中，，点分别在的延长线上，连结，若．（第22题）（1）求证：．（2）若，，求的长．23．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，设二次函数．（1）若为整数，二次函数图象过点（其中是正整数），求抛物线的对称轴．（2）若，为抛物线上两个不同的点．①当时，，求的值．②若对于，都有，求的取值范围．24．（本题满分12分）如图1，是半径为5的的直径，是的中点，连结交于点，连结，．图1图2（第24题）ABCD Y DA DB =,E F ,BA CB ,DF EF DFE C ∠=∠BDF BEF ∠=∠60DFE ∠=︒5CF =BE ()()210y ax a x a =-+≠a (),0n n ()11,M x y ()22,N x y 124x x +=12y y =a 122x x >≥12y y >a AB O e C ¼ABD CD AB E ,AC AD OC（1）求证：．（2）若，求的长．（3）如图2，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长．OC AD ⊥1BE =AD CF AB ⊥H AD F CB AD G 1OH =AG2024年浙江省“山海联盟”初中学业水平考试参考答案一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案BCCDDDDDCD二、填空题（本题共有6小题．每小题3分，共18分）11．12．13．14．1516．三、解答题（本题共有8小题，共72分）17．（本题满分6分）解：小孙的解答过程不正确，他是从第一步开始出错的．正确解答过程如下：原式．18．（本题满分6分）解：如答图，设与相交于点．（第18题答图），平分，，，，，，．答：B ，C 两点间的距离约为92.4cm ．19．（本题满分8分）解：（1）如答图所示．8-122x =103()()()()()()()221325251111111x x x x x x x x x x +++=+==+-+-+--AD BC E 60cm AB AC == AD BAC ∠100BAC ∠=︒AE BC ∴⊥2BC BE =1502BAE BAC ∠=∠=︒()sin sin50600.7746.2cm BE AB BAE AB ∴=⋅∠=⋅︒≈⨯=()2246.292.4cm BC BE ∴==⨯=（第19题答图）（2）①．②．理由如下：，代入，得到，．20．（本题满分8分）（1）60 61解：（2）．（3）．结论成立．21．（本题满分10分）解：（1）函数的图象如答图所示．50x x =+甲乙22S S =甲乙()()()()()()222222214852474953545S x x x x x x ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ 甲甲甲甲甲甲甲50x x =+甲乙()()()()()2222221485052504750495053505S x x x x x ⎡=--+--+--+--+--⎣甲乙乙乙乙乙()25450x +--⎤⎦乙()()()()()()222222212231345x x x x x x S ⎡⎤=--+-+--+--+-+-=⎣⎦乙乙乙乙乙乙乙22S S ∴=甲乙()()()2222121211n n n n n ⎡⎤⎡⎤++⨯+=⨯++⎣⎦⎣⎦()()()()()()22211212112121121n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯++-⨯+=⨯+++⨯+⨯++-⨯+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22222212244121n n n n n n n =++++=++=+12,y y（第21题答图）（2）由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数，函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数．由题意可设．把点（10，20）和点（20，7）分別代入，得解得；设．把点和点分别代入，得解得．（3），当时，取最大值，最大值为．答：当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克．22．（本题满分10分）解：（1）四边形是平行四边形，．，．，．又，．（2）如答图．在延长线上截取．连结．1y 1y x 2y 2y x ()21250y ax bx a =++≠100102520,40020257,a b a b ++=⎧⎨++=⎩0.04,0.1,a b =-⎧⎨=-⎩210.040.125y x x ∴=--+()20y kx m k =+≠()0,25()5,2025,520,m k m =⎧⎨+=⎩1,25,k b =-⎧⎨=⎩225y x ∴=-+()22212145810.040.125250.040.925416y y x x x x x x ⎛⎫-=--+--+=-+=--+ ⎪⎝⎭∴454x =12y y -81164548116ABCD BAD C ∴∠=∠DA DB = BAD ABD ∴∠=∠DFE C ∠=∠ DFE ABD ∴∠=∠DFE BEF ABD BDF ∠+∠=∠+∠ BDF BEF ∴∠=∠DB BG BF =FG（第22题答图）由（1）可知，．四边形是平行四边形，，是等边三角形，，是等边三角形，，，．又，，．，，．，．23．（本题满分12分）解：（1）代入，得，解得，，．是正整数，为整数，（舍去），．则，对称轴为直线．（2）①时，，，两点关于抛物线的对称轴对称，则对称轴为直线，．②由题意可知．对于任意的，随的增大而增大，可得60BAD ABD C DFE ∠=∠=∠=∠=︒ ABCD BC DA DB ∴==BCD ∴△60FBG DBC ∴∠=∠=︒FBG ∴△BG BF FG ∴==60BFG DFE ∠=︒=∠GFD BFE ∴∠=∠BDF BEF ∠=∠ ()AAS GFD BFE ∴≌△△BE DG ∴=BG BF = DB BC =DG CF ∴=5CF = 5BE CF ∴==(),0n ()210an a n -+=10n =21a n a+=n a 10n ∴=2111a n a a+==+1a =∴()112a x a-+=-=124x x += 12y y =()11,M x y ∴()22,N x y ()12112222a x x a x a a -+++=-===13a ∴=2x ≥y x解得．24．（本题满分12分）解：（1）如答图1，连结．（第24题答图1）是的中点，，．，垂直平分，．（2）如答图2．延长交于点．连结．（第24题答图2），，是直径，，，，，．，，，，，在中，（3）解法一：如答图3．延长交于点．()0,12,2a a a >⎧⎪-+⎨-≤⎪⎩13a ≥OD C ¼ABD »»CA CD ∴=CA CD ∴=OA OD = CO ∴AD OC AD ∴⊥CO AD P BD OC AD ⊥ 90CPA ∴∠=︒AB 90ADB ∴∠=︒ADB CPA ∴∠=∠OC BD ∴∥DBE COE ∴∽△△BD BE OC OE ∴=5OB OC OA === 1BE =4OE OB BE ∴=-=10AB =55441BD ⨯∴==∴Rt ABD △AD ==CO AD P（第24题答图3），．，，，，，，，，，，，．，．，，．，，，解得．解法二：，．，，，，．是的直径，，．，．，，，，即．设．在Rt 中，，解得．CF AB ⊥ 90CHA CHB ∴∠=∠=︒1OH = 5OC OA OB ===6AH ∴=4BH =CH ∴==AC ==BC ==DC AC ∴==90CHA CPA ∠=∠=︒ COH AOP∠=∠OC OA =()AAS COH AOP ∴≌△△AP CH ∴==OC AD ⊥ 2AD AP ∴==»»BDBD = BAD BCD ∴∠=∠G G ∠=∠ GBA GDC ∴∽△△AG GB AB CG GD CD∴==GD AG AD =- GBCG BC =-AG CG ∴==AG =CF AB ⊥ 90CHA CHB ∴∠=∠=︒1OH = 5OC OA OB ===6AH ∴=4BH =CH ∴==AB O e 90ACB ∴∠=︒ABC ACH ∴∠=∠CA CD = CAD CDA ∴∠=∠CDA ABC ∠=∠ CAD ACH ∴∠=∠FA FC ∴=FA FG ∴=2AG AF =HF x =AHF △(2226x x +=+x =，注：如果选择两种解法分别作答、按第一个解法计分．FA ∴=AG ∴=。