高等代数试卷二
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则
A.)(x f 至少有一个有理根
B. )(x f 至少有一个实根
C.)(x f 存在一对非实共轭复根
D. )(x f 有三个实根.
【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-
【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为
A. ad bc ≠
B. ad bc =
C. ab cd ≠
D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有
A. A B =
B. 0Ax =与0Bx =同解
C. 秩()A =秩()B
D. *
*
A B =
【 】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩
()AB 是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（每小题2分，共20分）
1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .
3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则*1
()A -= .
4. 行列式1
23
00
00
a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中,i i αβ均为3维行向量。若16,2A B ==，
则A B -= .
6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .
7.线性方程组 121232
343414
x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .
8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则
r s.
9.设A 为3级矩阵, 且1
2
A =
, 则 1*A A --= 10. 设00120
0373*******A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝⎭
, 则1A -= .
三、判断题（每小题2分，共10分）
【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.
【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。 【 】3、若有方阵,,A B C 满足AB AC =，则B C = 【 】4、初等矩阵的转置矩阵均为初等矩阵。
【 】5、设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则||0A =
当且仅当 ||0B =.
四、计算题（每小题10分，共40分）
1.求λ为何值时方程组123412341
234122322332x x x x x x x x x x x x λ
+++=⎧⎪
+--=⎨⎪+--=⎩有解，并求出一般解
2. 若32
()61514f x x x x =-+-,求)(x f 的有理根,进而写出)(x f 在实数域上的标准分解式.
3、设3级方阵A 和B 满足AB A B =+，其中323100122A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求矩阵B 。
4、12
112
000
0,
0000
n n n
c b c b D c c b a a a +=
≠
五．证明题（第1小题12分，第2小题8分，共20分）
1． 设01
,,n b a a a 是n+2个互不相同的数，且00a ≠
0120
20
10
12
()n n n a a a a a x a a f x a a x a a a a x
= 证明 ((),)1f x x b -=
2．设A 为n ⨯n 矩阵，证明：存在非零矩阵B 使AB=0的充分必要条件为|A|=0.
高等代数试卷二答案
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
1、B
2、C
3、A
4、C
5、B
二 填空题（每小题2分，共20分）
1、((),())1f x f x '=
2、1
3、1230231002⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4、12a a
5、2
6、r ≥
7、12340a a a a +++= 8、≤ 9、14
10、0075004372003100-⎛⎫
⎪-
⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
三、 判断题（每小题2分，共10分）
1、×
2、√
3、×
4、√
5、√
四、计算题（每小题10分，共30分）
1 解： (1)1111
10054
000003A λ⎛⎫ ⎪
→-- ⎪ ⎪-⎝⎭
, 3λ=时有解; （5分）
其全部解为: (1,0,0,0)+k(-1,1,0,0)+t(-1,0,-4,5), 其中k,t 为任意数. （10分）
个向量，可取为(1,1,,1)ε=. （10分）
2、解.f(x)可能的有理根为1,2,7,14±±±±,由综合除法知2为f(x)的单根, （5分）
且f(x)在实数域上的分解式为 :
2()(2)(47)f x x x x =--+ （10分）
3. 解：由AB A B =+可得()A E B A -=。经计算10A E -=-≠，因此，矩阵A E - 可逆。所以，1
()B A E A -=-。 （5分）
