2019-2020学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题解析

上海市黄浦区2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数 B ．非奇非偶函数C ．偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用定义判断出函数()y f x =的奇偶性. 【详解】由诱导公式得()cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，该函数的定义域为R ，关于原点对称， 且()()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=--=-⋅-==， 因此，函数()y f x =为偶函数，故选C. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，解题时要将函数解析式进行简化，然后利用奇偶性的定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 2．若0,0x y >>且191x y+=，则x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．12C ．24D ．16【答案】D 【解析】试题分析：()199101016y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9y x x y =时等号成立，所以最小值为16考点：均值不等式求最值3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BECN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．4．直线x+y+2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的最小值为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．22【答案】B【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，减去圆的半径，求得△ABP 面积的最小时，三角形的高，由此求得△ABP 面积的最小值. 【详解】依题意设()()2,0,0,2A B --，故AB =圆的圆心为()2,0，半径为r =P 到直线AB 的距离的最小值为d r -==d 为圆心到直线的距离），所以△ABP 面积的最小值为122⨯=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆上的点到直线的距离的最小值的求法，考查三角形面积的最值的求法，属于基础题. 5．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2 2.5x y ==，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A ．0.4.7ˆ1yx =+ B ．2 1.2ˆ-yx = C ．-37.5ˆyx =+ D ．-2 6.5ˆyx =+ 【答案】D 【解析】 【分析】由于变量x 与y 负相关，得回归直线的斜率为负数，再由回归直线经过样本点的中心()2,2.5，得到可能的回归直线方程. 【详解】由于变量x 与y 负相关，排除A,B ，把()2,2.5代入直线5ˆ2 6.yx =-+得： 2.522 6.5=-⨯+成立，所以()2,2.5在直线上，故选D.【点睛】本题考查回归直线斜率的正负、回归直线过样本点中心，考查基本数据处理能力.6．设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ ②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥③若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥ A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确． 【详解】如图正方体1111ABCD A B C D -，平面ABCD 是平面α，平面11BCC B 是平面β，但两直线BC 与1B C 不垂直，①错； 平面ABCD 是平面α，平面1111D C B A 是平面β，但两直线11B C 与AB 不平行，②错；直线11A B 是直线m ，直线BC 是直线n ，满足m n ⊥，但平面11A B CD 与平面ABCD 不垂直，③错； 由,m n m α⊥∥得n α⊥，∵n β，过n 作平面γ与平面β交于直线l ，则//n l ，于是l α⊥，∴αβ⊥，④正确．∴只有一个命题正确． 故选A ．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．7．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-【答案】A 【解析】【分析】通过整理直线的形式，可求得所过的定点. 【详解】直线:120l mx y m +-+=可整理为()210m x y ++-=，当2010x y +=⎧⎨-=⎩ ，解得2,1x y =-=，无论m 为何值，直线总过定点()2,1-. 故选A. 【点睛】本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ） A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A 【解析】解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2πr ，全面积：侧面积=[（2πr ）2+2πr 2]：（2πr ）2 这个圆柱全面积与侧面积的比为122ππ+,故选A 9．直线:1l y x =+上的点到圆22:2440C x y x y ++++=上点的最近距离为（ ）A B ．2-C 1D ．1【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果. 【详解】将圆化为标准形式可得()()22121x y +++= 可得圆心为()1,2C --，半径1r =，而圆心()1,2C --到直线10x y -+=距离为d ==因此圆上点到直线的最短距离为1d r -=，故选：C. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求圆心到直线的距离是解题的关键，属于中档题.10．设M 和m 分别表示函数11cos 3y x =-+的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．23B ．23-C ．2-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数cos y x =的值域，确定出11cos 3y x =-+的最大值和最小值，即可计算出M m +的值. 【详解】因为cos y x =的值域为[]1,1-，所以11cos 3y x =-+的最大值121133M =-+⨯=-，所以11cos 3y x =-+的最小值()141133m =-+⨯-=-，所以24233M m ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数的最值问题，难度较易.求解形如()cos 0y a x b a =+≠的函数的值域，注意借助余弦函数的有界性进行分析. 11．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数的整数ω有且仅有一个,则实数ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数的整数ω有且仅有一个,结合正弦函数的单调性,即可求得答案. 【详解】()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数可得0262263,,22362k k k Z k Z k k πππωωππππωϕπωϕπ⎧<≤--+≤-⎧⎪⎪⎪∈∴∈⎨⎨≤+⎪⎪+≤+⎩⎪⎩，， 当03πϕ-<≤时，满足整数ω至少有12，,舍去当0ϕ>时，0,(0,2]k ω=∈，30πωϕ<≤要使整数ω有且仅有一个, 须123πϕ≤<,解得:63ππϕ<≤ ∴实数ϕ的取值范围是,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A ． 【点睛】本题主要考查了根据三角函数在某区间上单调求参数值,解题关键是掌握正弦型三角函数单调区间的解法和结合三角函数图象求参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 12．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22ac bc > B ．11a b< C ．b a a b< D ．||1||1a bc c >++【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法对每一个选项逐一判断分析. 【详解】选项A, 222()0,ac bc a b c -=-≥所以a≥b,所以该选项错误；选项B, 11b a a b ab--=，符合不能确定，所以该选项错误； 选项C, ()()b a b a b a a b ab+--=，符合不能确定，所以该选项错误；选项D, 0||1||1||1a b a b c c c --=>+++，所以||1||1a bc c >++，所以该选项正确. 故选D 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题13．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间是______．【答案】()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（区间端点开闭均可）【解析】 【分析】由已知函数图象求得T ，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得ϕ，则得到函数的解析式，然后利用复合函数的单调性求出()f x 的单调增区间． 【详解】 由图可知，115212122T πππ=-=，则T π=，2ω∴=． 又52122ππϕ⨯+=，3ϕπ∴=-．则()sin()f x x π=-223． 由222232k x k πππππ-+-+，k Z ∈，解得51212k xk ππππ-++，k Z ∈． ()f x ∴的单调增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈． 【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式以及复合函数单调区间的求法． 14．若在等比数列{}n a 中，129512a a a ⋅=，则5a =__________．【答案】2 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，将等式129512a a a ⋅=化成95512a =即可求得答案．【详解】{}n a 是等比数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅．因为129512a a a ⋅=，所以95512a =，52a ∴=．故答案为：1． 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为3225的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．【答案】15 【解析】 【分析】根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出PAB ∆的边长为a ，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为h ，用h 表示出水的体积，由=+V V V 锥球水即可求得液面高度. 【详解】因为铁球半径为3225，所以由球的体积公式可得343003V R ππ==球， 设PAB ∆的边长为a ，则由面积公式与内切圆关系可得23113225sin 223a a π⨯⨯=，解得323225a =⨯，则圆锥的高为33225⨯.则圆锥的体积为()()2331322532256753V ππ=⋅⋅⨯⋅⨯=锥，设拿出铁球后的水面为EF ，且P 到EF 的距离为h ，如下图所示：则由PH h =，可得33EH h =, 所以拿出铁球后水的体积为2313339V h h h ππ⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭水，由=+V V V 锥球水，可知3675=300+9h πππ，解得15h =，即将铁球取出后容器中水的深度为15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题. 16．直线的倾斜角为________.【答案】【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】 因为， 所以，设直线的倾斜角为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

上海市七宝中学【最新】高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()12sin 4y x =-的最小正周期是________. 2．函数cos 2y x =的对称轴方程是________.3．在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin2θ=_______.4．若锐角αβ、满足()35cos cos 513ααβ=+=-，，则cos β=______. 5．函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为________. 6．已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x =________（用反正弦表示） 7．方程sin x x _______.8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且224S (a b)c =+-，则cosC =______．9．若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 10．已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意x R ∈，都有不等式()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，则21x x -的最小值为_________. 11．已知函数()()()1sin 20192019xxx f x x R π-=∈+，下别列命题: ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像．其中真命题有________(填所有真命题的序号).12．已知k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足方程：sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒⋅︒⋅⋯︒的k 有_______个.二、单选题 13．“22x ππ⎡⎥∈-⎤⎢⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件14．将函数πy sin x 12⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上的点πP ,t 4⎛⎫⎪⎝⎭向左平移s(s 0)>个单位，得到点P'，若P'位于函数y sin2x =的图象上，则( )A ．1t 2=，s 的最小值为π12B ．t =s 的最小值为π6C ．1t 2=，s 的最小值为π6D ．t =s 的最小值为π1215．若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．98⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．908⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．918⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，16．如图，在△ABC 中，BC=，a AC=b ，AB=c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD:OE:OF 等于（ ）A ．::a b cB ．cos :cos :cos A BC C ．sin :sin :sin A B CD ．111::a b c三、解答题17．已知()7cos 2325θπ-=，且θ是第四象限角． (1)求cos θ和sin θ的值；(2)求()()()3cos sin 22tan cos tan cos 1ππθθπθθθπθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--⎡⎤+-⎣⎦的值． 18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，已知24sin 2sin .a b c A B -===，，(1)求△ABC 的面积S ； (2)求()sin 2A B -的值.19．已知函数()sin 2.f x x x - (1)求()y f x =的最小正周期和对称中心；(2)将()f x 的图像向左移()0αα＞个单位得函数()y g x =的图像，若()02y g x πα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，，的一条对称轴为12x π=，求()02y g x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，的值域．20．如题所示:扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条三条商业街道PQ 、QR 、RP ，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，直线PQ 表示第三条街道．(1)如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；(2)由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？(精确到1万元)21．给出集合()()()(){}|21.M f x f x f x f x x R =+=+-∈， (1)若()sin3xg x π=，求证:函数()g x M ∈；(2)由(1)可知，()sin3xg x π=是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲:集合M 中的元素都是周期函数；命题乙:集合M 中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确,请举出反例；(3)设p 为常数,且0p x R ≠∈，，求()sin h x px M =∈的充要条件并给出证明.参考答案1．2π 【解析】 【分析】根据三角函数的周期公式求解即可. 【详解】函数12sin(4)y x =-， 所以函数()f x 的周期22||42T πππω===. 故答案为2π． 【点睛】本题主要考查三角函数周期的求法，是基本知识的考查． 2．,2k x k Z π=∈ 【解析】 【分析】根据余弦函数cos y x =的对称轴方程x k π=，k Z ∈，运用整体法可得cos 2y x =的对称轴方程． 【详解】 cos2y x =，令2x k =π，k Z ∈，则,2k x k Z π=∈， cos2y x ∴=的对称轴方程为：,2k x k Z π=∈．故答案为,2k x k Z π=∈． 【点睛】本题考查了余弦型函数图象的对称轴的求法，考查了整体思想，属基础题． 3．35【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin 2θ的值. 【详解】角θ的顶点在平面直角坐标系xOy 原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=2222sin cos 2tan 63sin 21105sin cos tan θθθθθθθ∴====++，故答案为35． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题． 4．3365【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin()αβ+，sin α的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解． 【详解】α、β为锐角，(0,)αβπ∴+∈，5cos()13αβ+=-，3cos 5α=，12sin()13αβ∴+==，4sin 5α=，5312433cos cos[()]cos()cos sin()sin ()13513565βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+⨯=． 故答案为：3365． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 5．511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间． 【详解】对于函数2sin(2)3y x π=-，令3222232k x k πππππ+-+，k Z ∈, 求得5111212k x k ππππ++， 可得它的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈， 故答案为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈． 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 6．2arcsin 5π+ 【详解】 由于2arcsin5表示[]22ππ-，上正弦值等于25的一个锐角，由2sin 5x =- 3()2x ππ<<，则2arcsin 5x π=+，故答案为2arcsin 5π+.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点是表示出符合条件的角. 7．7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化方程为sin()3x π-，求出方程的解即可．【详解】方程sin x x =12(sin )2x x ∴=sin()32x π∴-=， 解得234x k πππ-=+或3234x k πππ-=+，k Z ∈；即7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 故答案为7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 【点睛】本题考查了三角函数的化简与三角方程的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 8．0 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将224S (a b)c =+-化为2absinC 2abcosC 2ab =+，进而可求出结果. 【详解】 因为1S ab 2sinC =，余弦定理222c a b 2abcosC =+-，又224S (a b)c =+-，所以有2absinC 2abcosC 2ab =+，即sinC cosC 1-=C 14π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此C 244k πππ-=+或()3C 2k Z 44k πππ-=+∈，所以C 22k ππ=+或()C 2k Z k ππ=+∈，因为C 三角形内角，所以C 2π=，故cosC 0=.故答案为0 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型. 9．32【解析】 【分析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦ 因为g()x 为偶函数， 所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为32， 故答案为32． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题． 10．38【解析】 【分析】先化简函数的解析式，再作出函数一个周期的图象，由三角函数的性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，即可得解． 【详解】 由22cos 2()cos 22cos 2sin x sin x xf x x sin x xππππππ≥⎧=⎨<⎩，所以函数在一个周期的图象如图所示，因为对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x 恒成立，即当1x x =时，函数()y f x =取最小值，当2x x =时，函数()y f x =取最大值， 则21||x x -的最小值为513848-=. 故答案为38．【点睛】本题考查考查三角函数的图象和性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题． 11．②④ 【解析】 【分析】由正弦函数的奇偶性和指数的运算性质，可判断()f x 的奇偶性；由()0f x =，解方程可得零点个数；由(1)()f x f x -=，可得()f x 的对称性，可判断正确结论． 【详解】由sin()sin()x x ππ-=-，可得sin()y x π=为奇函数， 而120192019x x y -=+，不为偶函数， 则()f x 不是奇函数，故①错误；由()0f x =，可得sin()0x π=，即x k ππ=，即x k =，k Z ∈，在[2π-，2]π上，6x =-，5-，⋯，0，1，⋯，6，共有13个实根，故②正确； 由11sin (1)sin (1)()2019201920192019x x x xx xf x f x ππ----===++，可得()f x 的图象关于直线12x =对称， 故函数()f x 在区间(0,1)上不单调，故③错误，④正确． 故答案为②④． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、对称性的判断，以及零点个数，考查定义法和化简运算能力，属于基础题． 12．11 【解析】【分析】由三角函数的值域可知，除1k =外当等式sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒︒⋯︒的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k 的个数．【详解】由三角函数的单调性及值域，可知sin1sin2sin 1k ︒︒⋯︒<．∴除1k =外只有当等式sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒︒⋯︒的左右两边均为0时等式成立，则1k =、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立， 满足条件的正整数k 有11个．故答案为11．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的图象和性质，寻找规律是解答该题的关键，属基础题．13．B【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]，sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14．C【分析】先由题意求出t ，再由将函数πy sin x 12⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上的点πP ,t 4⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移s(s 0)>个单位， 得到点P'，以及P'位于函数y sin2x =的图象上，可表示出s ，进而可求出结果.【详解】 将πx 4=代入得：π1t sin 62==，进而求出平移后P'的坐标， 将函数πy sin x 12⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上的点πP ,t 4⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移s(s 0)>个单位， 得到点P'(π,4s t -)，若P'位于函数y sin2x =的图象上， 则π1sin 2s cos2s 22⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 则π2s 2k π3=±+，k Z ∈， 则πs k π6=±+，k Z ∈， 由s 0>得：当k 0=时，s 的最小值为π6， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型. 15．B【解析】【分析】把方程化为22cos sin 1a x x =+-，利用三角函数即可求出a 的取值范围．【详解】方程212cos sin 0x x a --+=可化为22cos sin 1a x x =+-， 则22192sin sin 12(sin )48a x x x =-++=--+， 由sin [1x ∈-，1]， ∴21(sin )[04x -∈，25]16，2192(sin )[248x ∴--+∈-，9]8， 即实数a 的取值范围是[2-，9]8． 故选B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与应用问题，是基础题．16．B【分析】作出ABC ∆的外接圆，连接OA 、OB 、OC ，由垂径定理和圆周角定理可得12B AOC AOE ∠=∠=∠，同理可知A BOD ∠=∠、C AOF ∠=∠，若设O 的半径为R ，可用R 分别表示出OD 、OE 、OF ，进而可得到它们的比例关系．【详解】如图，连接OA 、OB 、OC ；22BOC BAC BOD ∠=∠=∠，BAC BOD ∴∠=∠；同理可得：BOF BCA ∠=∠，AOE ABC ∠=∠；设O 的半径为R ，则：cos cos OD R BOD R A =∠=∠，cos cos OE R AOE R B =∠=∠，cos cos OF R BOF R C =∠=∠，故::cos :cos :cos OD OE OF A B C =∠∠∠，故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理及垂径定理的综合应用，解题的关键是能够作出已知三角形的外接圆，难度中等．17．（1）3cos 5θ=，4sin 5θ=-；（2）38 【解析】【分析】（1）先化简已知7cos 225θ=-，再利用二倍角公式求出cos θ和sin θ的值；（2）利用诱导公式和同角的三角函数关系化简求值得解.【详解】（1）由7cos(23)cos(2)cos225θππθθ-=-+=-=， 所以7cos 225θ=- 即27cos212sin 25θθ=-=-， θ是第四象限角，4sin 5θ∴=-． 27cos22cos 125θθ=-=- θ是第四象限角，3cos 5θ∴=． （2）由3cos()sin()sin cos sin cos 22sin tan [cos()1]tan()cos()tan cos tan tan cos sin sin cos ππθθθθθθθθπθπθθθθθθθθθθ--+=-=-+-------cos cos 1cos sin θθθθ=--- 33355348155=+=-- 【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系式化简和计算能力．属于基础题18．（1（2【分析】 (1)由已知及正弦定理可求a ，b 的值，由余弦定理可求cos B ，从而可求sin B ，即可由三角形面积公式求解．(2)由(1)知22A C A B B π=⇒-=-．从而sin(2)sin(2)sin 2A B B B π-=-=，代入即可求值．【详解】(1)由sin 2sin 2A B a b =⇒=．又2a b -=，4a ∴=，2b =．2222224427cos 22448a cb B ac +-+-===⨯⨯．sin B ===11sin 4422ABC S ac B ∆∴==⨯⨯= （2）由(1)知22A C A B B π=⇒-=-．sin(2)sin(2)sin 2A B B B π∴-=-=2sin cos B B =728= 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．19．（1）,,0,62k T k Z πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎣ 【解析】【分析】（1）()2cos(2)6f x x π=+，所以22T ππ==，令262x k πππ+=+得：26k x ππ=+，k Z ∈，故()y f x =的最小正周期为π，对称中心为(26k ππ+，0)，k Z ∈．（2）由三角函数图象的平移得：()2cos(22)6g x x πα=++，又(0,),()2y g x πα∈=的一条对称轴为12x π=，解得3πα=，所以5()2cos(2)6g x x π=+，所以()[2g x ∈-，得解． 【详解】（1）因为()2sin 2f x x x =-． 所以()2cos(2)6f x x π=+， 所以22T ππ==， 令262x k πππ+=+得：26k x ππ=+，k Z ∈， 故()y f x =的最小正周期为π，对称中心为(26k ππ+，0)，k Z ∈． （2）将()f x 的图象向左移(0)αα>个单位得函数()y g x =的图象， 所以()2cos[2()]2cos(22)66g x x x ππαα=++=++， 又(0,),()2y g x πα∈=的一条对称轴为12x π=， 令226x k παπ++=， 解得3πα=， 所以5()2cos(2)6g x x π=+， 因为[0x ∈，]2π， 所以552[66x ππ+∈，11]6π，所以()[2g x ∈-，故答案为[2-．【点睛】本题考查了三角函数的周期及对称中心、对称轴及在闭区间的值域问题，属中档题．20．（1）2+；（2）1222万元【分析】（1）由P 为于BAC ∠的角平分线上，利用几何关系，分别表示||PQ ，||PR ，||RQ ，即可求得三条街道的总长度；（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，根据三角函数关系及余弦定理，即可求得||PQ ，||PR ，||RQ ，则总效益||300||200||400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得答案．【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||||cos 2AQ PA PAB =∠==， 由60BAC ∠=︒，且||||AQ AR =，QAB ∴∆为等边三角形，则||||RQ AQ ==三条街道的总长度||||||112l PQ PR RQ =++=++=（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，则||||sin 2sin PQ AP θθ==，||||sin(60)2sin(60)sin PR AP θθθθ=︒-=︒-=-， ||||cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=︒-=︒-=+ 由余弦定理可知：222||||||2||||cos60RQ AQ AR AQ AR =+-︒，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos60θθθθθθ=+-⨯+︒，3=，则||RQ =三条街道每年能产生的经济总效益W ，||300||200||400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯3002sin sin )200400sin θθθθθ=⨯+-⨯+=++，200(2sin )θθ=+)θϕ=++tan 2ϕ=，当sin()1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为1222，三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查余弦定理，正弦函数图象及性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．21．（1）证明见解析；（2）命题甲正确，命题乙不正确；（3）()sin h x px M =∈的充要条件为3k p π=，k Z ∈，且0k ≠．证明见解析. 【分析】（1）()g x M ∈转化证明(1)()(2)g x g x g x +-=+等价于(1)(2)sin sin sin 333x xx πππ++-=，利用两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）命题甲正确．集合M 中的元素都是周期为6的周期函数，验证(6)()f x f x +=即可，命题乙不正确．集合M 中的元素不都是奇函数，列举反例即可；（3）由函数的周期性，结合正弦公式，化简可得所求p 的值．【详解】（1）证明：()g x M ∈转化证明(1)()(2)g x g x g x +-=+(1)(2)sin sin sin 333x x x πππ++⇔-=，左边(1)11sin sin sin sin sin 332333323x x x x x x x πππππππ+=-=-=- (2)sin 3x π+==右边；（2）命题甲正确．集合M 中的元素都是周期为6的周期函数．(2)(1)()f x f x f x +=+-，可得(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，即有(3)()f x f x +=-，可得(6)(3)()f x f x f x +=-+=，即(6)()f x f x +=，()f x 为最小正周期为6的函数；命题乙不正确．集合M 中的元素不都是奇函数． 如()sin 3xg x π=是奇函数；()sin()34x h x ππ=+不是奇函数． （3）由(2)(1)()f x f x f x +=+-，可得(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，即有(3)()f x f x +=-，可得(6)(3)()f x f x f x +=-+=，即(6)()f x f x +=，()sin h x px M =∈，可得(6)()h x h x +=，即为sin (6)sin cos6cos sin6sin p x px p px p px +=+=，即为cos61p =，可得62p k π=，k Z ∈，且0k ≠， 可得3k p π=，k Z ∈，且0k ≠． 则()sin h x px M =∈的充要条件为3k p π=，k Z ∈，且0k ≠． 【点睛】本题考查函数的应用，函数的周期性和奇偶性，考查三角函数的恒等变换的应用，考查充要条件的判断和证明，属于中档题．。

上海市普陀区2019-2020学年高一下期末教学质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20160a > B ．若40a >，则20170a > C ．若30a >，则20170S > D ．若40a >，则20160S >【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用通项公式与求和公式即可判断出结论． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，若30a >，则210a q >，则10a >，()20171201710,1a q S q-∴=>-而201520161a a q =与0的大小关系不确定.若40a >，则310a q >，则1a 与q 同号，则()2016120162017120161,1a q a a q S q-==-与0的大小关系不确定.故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．在ABC 中，12AN AC =，点P 是直线BN 上一点，若AP mAB AC =+，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1- C ．14- D ．54【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加减运算法则，通过12AN AC =，把AP 用AB 和AN 表示出来，即可得到m 的值. 【详解】在ABC ∆中，12AN AC =，点P 是直线BN 上一点， 所以2AP mAB AC mAB AN =+=+， 又,,P N B 三点共线，所以21+=m ，即1m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题. 3．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( )A ．3,23,69B ．4,24,70C ．4,23,70D ．3,24,70【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差16911n a a d n n -==--，所以，1n -可能为3,23,69，的所有可能取值为4,24,70,选B .考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；13【答案】D 【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数， 所以中间一个矩形最该，故数据的众数为101512.52+=， 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标， 第一个矩形的面积为0.2，第二个矩形的面积为0.3，故将第二个矩形分成3:2即可， 所以中位数是13，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.5．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．233ππ或【答案】B 【解析】 【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大.6．如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45︒，若50CD =米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ（）A ．231B ．231C 31D 31【答案】C 【解析】 【分析】先在ABC ∆中利用正弦定理求出BC 的值，再在BCD ∆中由正弦定理解出sin θ，再计算cos θ． 【详解】在ABC ∆中，sin sin AB BACBC ACB∠=∠100sin1550(62)sin(4515)︒==︒-︒，在BCD ∆中，sin sin BC CBDBDC CD∠∠=50(62)231-==，又∵cos sin BDC θ=∠，∴cos 1θ=.故选C. 【点睛】本题考查解三角形在实际中的应用，属于基础题．7．△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cb ＝1，∠B ＝6π，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】试题分析：在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin 6sin 12c BC bπ===，因为0C π<<，所以3C π=或23π，所以2A π=或6π，所以ABC ∆的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D ． 考点：正弦定理．8．在ABC ∆中，若sin2sin2A C =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】sin 2sin 2sin 2sin(2)A C A C π=⇒=-，两种情况对应求解.【详解】sin 2sin 2sin 2sin(2)A C A C π=⇒=-所以A C =或2A C π+=故答案选D 【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.9．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.10．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33D ．23【答案】B 【解析】由题意不妨令棱长为2，如图1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，故23DA =由勾股定理得146433A D =-=过1B 作1B E ⊥平面ABC ，则1B AE ∠为1AB 与底面ABC 所成角，且1263B E = 如图作1A S AB ⊥于中点S 13AS ∴=1AB ∴==1AB ∴与底面ABC所成角的正弦值1sin B AE ∠==故答案选B点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形．11．在ABC △中，b =，4cos 5B =-，则sin A = （ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据4cos 5B =-计算出sin B的值，然后根据正弦定理以及b =即可计算出sin A 的值，最后得出结果。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 对于α：a−1a+1>0，β：关于x 的方程x 2−ax +1=0有实数根，则α是β成立的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合P ={0,1}，Q ={−1,0，1}，则( ) A. P ∈QB. P ⊆QC. P ⊇QD. Q ∈P 3. 若实数a <b <0，则下列不等式中正确的是( ) A. 1a <1bB. |b |>|a |C. a b +b a >2D. ab <b 2 4. 若函数f(x)=x−1x ，则方程f(4x)=x 的根为( ) A. −2 B. −12 C. 12 D. 2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x|1≤x ≤2}，集合B ={x|x ≥a}.若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是______．6. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．7. 命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是__________．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b =ab +2a +b ，则关于实数x 的不等式：x ⊙(x −2)<0的解集为______ ．9. 已知函数f(x)={2x ,x >0x,x ≤0，则f(1)+f(−1)为________． 10. 若f(x)=√x(x +1)，g(x)=√x ，则f(x)⋅g(x)= ______ ．11. 不等式|2x −1|<x 的解集为______ ．12. 已知不等式x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围为______ ．13. 设函数f(x)=√1−lgx 的定义域为______．14. 函数y =x +1x−3(x >3)的最小值为________.15. 如果|x −1|+|x −9|>a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是______ ．16. 若集合M ={0,1，2}，N ={(x,y)|x −2y +1≥0，且x −2y −1≤0，y ∈M}，则集合N 中元素的个数为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−2x −8=0}，B ={x|x 2+ax +a 2−12=0}，且A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．18.设f(x)=|x|+|x+10|．(Ⅰ)求f(x)≤x+15的解集M；(Ⅱ)当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚(0≤x≤10) 6万元，且每年的能源消耗费用H(万元)与隔热层厚度x(毫米)满足关系H(x)=403x+5设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)请解释H(0)的实际意义，并求f(x)的表达式；(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f(x)最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．21.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】>0得a>1或a<−1，解：α：a−1a+1β：关于x的方程x2−ax+1=0有实数根，则判别式△=a2−4≥0，得a≥2或a≤−2，∵{a|a≥2或a≤−2}⫋{a|a>1或a<−1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．2.答案：B解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查集合与集合的关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合P={0,1}，Q={−1,0，1}，∴P⊆Q．故选：B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．根据不等式的性质取特殊值验证即可．【解答】令b=−1，a=−2，则C正确，A，B，D错误，故选：C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．【解答】解：因为函数f(x)=x−1，x=x，所以f(4x)=x即为4x−14x即4x2−4x+1=0，，解得x=12故选C．5.答案：a≤1解析：因为A∪B=B，所以A⊆B，由集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≥a}．所以a≤1.故填a≤1．根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．此题考查了子集及其运算，属于简单题．6.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M ∩N ={0,1}．故答案为：{0,1}．7.答案：若x 2−x <0，则x ≤2．解析：【分析】本题考查否命题的概念，属于基础题．注意否命题需要对条件和结论都否定．【解答】解：命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2−x <0，则x ≤2”.故答案为：若x 2−x <0，则x ≤2．8.答案：(−2,1)解析：解：由题意知：原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0⇔x 2+x −2<0⇔(x +2)(x −1)<0⇔−2<x <1．故答案为：(−2,1)．原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0，解之得−2<x <1．本题借助新定义题考查了一元二次不等式的解法，根据定义把不等式转化为一元二次不等式是关键． 9.答案：1解析：【分析】本题考查了分段函数，将x 的值代入函数的解析式即可得答案．【解答】解：由函数f(x)={2x ,x >0x,x ⩽0可得f(1)+f(−1)=2−1=1， 故答案为1．10.答案：√x +1(x >0)．解析：解：由题意f(x)的定义域为{x|x ≤−1或x ≥0}，g(x)的定义域为{x|x >0}，∴f(x)g(x)的定义域为{x|x >0}，f(x)g(x)=√x +1，故答案为√x +1(x >0)．确定函数的定义域，再求出函数的解析式即可．本题考查函数解析式的求解，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：(13,1)解析：解：由不等式|2x −1|<x 可得−x <2x −1<x ，解得13<x <1，故不等式||2x −1|<x 的解集是(13,1)．故答案为：(13,1)．原不等式等价于−x <2x −1<x ，由此求得不等式|2x −1|<x 的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 12.答案：(−∞,−13)∪(1,+∞)解析：【分析】不等式恒成立，需△<0，解出即可．本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法，考查转化思想、考查学生解决问题的能力．【解答】解：∵x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，∴△=(m +1)2−4m 2<0，解得：m <−13或m >1．故答案为：(−∞,−13)∪(1,+∞)． 13.答案：(0,10]解析：解：函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0， 解得：0<x ≤10．∴函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：(0,10]．故答案为：(0,10]．由函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0，解不等式组即可求出答案． 本题考查函数的定义域及其求法，考查不等式的解法，是基础题．14.答案：5解析：解：∵x >3，∴y =x +1x−3=x −3+1x−3+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3=2+3=5，当且仅当x −3=1时，即x =4时取等号，故答案为：5．根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．15.答案：a<8解析：解：由于|x−1|+|x−9|表示数轴上的点x到1和9对应点的距离之和，其最小值等于8，故由题意可得a<8，故答案为：a<8利用|x+1|+|x+9|表示数轴上的点x到−1和−9对应点的距离之和，其最小值等于8，从而求得a 的取值范围．本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，判断|x−1|+|x−9|的最小值等于8，是解题的关键．16.答案：4解析：【分析】本题考查元素和集合的关系的应用，属于基础题目．【解答】解：因为集合M={0,1，2}，N={(x,y)|x−2y+1≥0，且x−2y−1≤0，x，y∈M}，所以N={(0,0)，(1,1)，(1,0)，(2,1)}，所以集合N中元素个数为4．故答案为4．17.答案：解：集合A={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，B={x|x2+ax+a2−12=0}，若A∪B=A，则B⊆A，可分为以下几种情况，(1)B=A，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2或x=4，解得a=−2；(2)B={−2}，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2，(−2)2−2a+a2−12=0，解得：a=−2(舍)或a=4；(3)B ={4}，即方程x 2+ax +a 2−12=0的解为x =4，a 2+4a +4=0，解得a =−2，此时B ={−2,4}≠{4}，故需舍弃；(4)B 为空集，即方程x 2+ax +a 2−12=0无解，a 2−4(a 2−12)<0，解得a >4或a <−4． 综上可知，若B ∪A =A ，a =−2或a ≥4，或a <−4．解析：化简集合A ，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，分类讨论，即可求实数a 的取值集合，本题考查实数的取值范围的求法，正确分类讨论是关键，是基础题．18.答案：解：( I)由f(x)=|x|+|x +10|≤x +15得：{x <−10−x −x −10≤x +15 ①，或{−10≤x ≤0−x +x +10≤x +15 ②，或{x >0x +x +10≤x +15③． 解①求得x ∈⌀，解②求得−5≤x ≤0，解③求得5≥x >0，故原不等式的解集为M ={x|−5≤x ≤5 }．( II)当a ，b ∈M 时，−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，不等式5|a +b||≤|ab +25|，等价于25(a +b)2≤(ab +25)2，即25(a 2+b 2+2ab)≤a 2⋅b 2+50ab +625，即25a 2+25b 2−a 2⋅b 2−625≤0，等价于(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0．而由−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，可得a 2≤25，b 2≤25，∴a 2−25≤0，25−b 2≥0，∴(a 2−25)⋅(25−b 2)≤成立，故要证的不等式5|a +b|≤|ab +25|成立．解析：( I)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a ，b ∈M 时，等价转化不等式5|a +b|≤|ab +25|为(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0，结合题意可得(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0成立，从而得出结论．本题主要考查绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于中档题．19.答案：解：(1)H(0)=405=8，H(0)的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f(x)的解析式为：f(x)=8003x+5+6x(0≤x ≤10)．(2)f(x)=8003x+5+6x =8003x+5+2(3x +5)−10≥2√1600−10=70．当且仅当8003x+5=2(3x +5)即x =5时取等号．∴厚度为5mm 时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：(1)将建造费用和能源消耗费用相加得出f(x)的解析式；(2)利用基本不等式得出f(x)的最小值及对应的x 的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论． 本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2，所以实数m 的最大值M =2；( 2)由(1)知a 2+b 2=2，又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号，又∵√ab a+b ≤12，∴ab a+b ≤√ab 2 ②，当且仅当a =b 时取等号， 由①②得ab a+b ≤12，所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．21.答案：5解析：【分析】本题考查集合的 新定义，属于基础题型，理解题意 是关键．【解答】解：∵A ={1,2，3}，B ={1,2}，定义集合间的运算A +B ={x|x =x 1+x 2,x 1∈A,x 2∈B}， ∴A +B ={2,3，4，5}故集合A +B 中元素的最大值是5；故答案为5．。