几何最值
一、选择题 1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ） A ． 2 ＋1
B ． 2 ＋1
2
C ．2 2 ＋1
D ．2 2 —1
2
{答案} B
{解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋1
2
，因此本题选B ．
2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1
2，
有下列结论：
①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋37
2.
其中，正确结论的序号为（ ）
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
{答案} D
{解析}设AQ ＝x ，则BP ＝5
2
—x
①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝53
4，∴DE ＝
34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而33
2≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3
2
，∴都存在，∴②正确；
D
Q P
C
B A
N
M
H
G A
B C
D E
F
F E D
Q P
C B A
F
E A
B
C P Q
D
D Q C B(P)A
E
③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝
34×32－12⋅x ⋅34－1
2
×3×34（52－x ）＝34 x ＋21316，∵52—x ≥0，即x ≤52，∴当x =52时面积最大为313
16
；③正确； ④如图，将D 沿AB 方向平移1
2个单位得到E ，连接PE ，即四边形PQDE 为平行四边形，∴QD =PE ，四边形周长
为PQ +QD +CD +CP =3+PE +PC ，即求PE +PC 的最小值，作点E 关于AB 的对称点F ，连接CF ，线段CF 的长即为PE +PC 的最小值；过点D 作DG ⊥AB ，∴AG ＝14，EN =FN =HM =34，∴CH ＝332＋34＝734，FH ＝MN ＝3
2－
14－12＝34，∴FC ＝392，∴四边形PCDQ 周长的最小值为3＋39
2，④错误.
3．(2020·荆门)如图6，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD (点D 在点C 右侧)在x 轴上移动，A (0，2)，B (0，4)，连接AC 、BD ，则AC ＋BD 的最小值为( ) A ．25 B ．210 C ．62 D ．35
{答案}B
{解析}如图#，过点B 作BB′∥x 轴(点B′在点B 的左侧)，且使BB′＝2，则B′(－2，4)；作A 关于x 轴的对称点A′，则A′(0，－2)；连结A′B′交x 轴于点C ；在x 轴上向右截取CD ＝2，则此时AC ＋BD 的值最小，且最小值＝A′B′＝2226+＝210．故选B ．
4．（2020·南通）△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 为BC 的中点，直线l 经过点D ，过B 作BF ⊥l 于F ，过A 作AE ⊥l 于E ．求AE ＋BF 的最大值为
A ．6
B ．22
C ．23
D ．32
{答案}A
x
O y 图6
D C B A x O y 图#
D
C B
A B′ A′
{解析}过点A 作AH ⊥BC 于点H ，在Rt △AHB 中，∠ABC ＝60°，得BH ＝1，AH
，在Rt △AHC 中，∠ACB ＝45°，得AC
．
当直线l 与AB 相交时，延长BF ，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，可得AE ＋BF ＝AE ＋FM ＝BM ，在Rt △AMB 中，BM ＜AB ，当直线l ⊥AB 时，最大值为2； 当直线l 与AC 相交时，过点C 作CH ⊥l 于点H ，由点D 为BC 中点可证明△BFD ≌△CHD ，BF ＝CH ，延长AE ，过点C 作CN ⊥AE 于点N ，可得AE ＋BF ＝AE ＋CK ＝AE ＋EN ＝AN ，在Rt △ACN 中，AN ＜AC, 当直线l ⊥AC 时
；所以AE ＋BF
．
5．（2020·恩施）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE △周长的最小值为（ ）
．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
{答案}B
{解析}连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∵点B 与点D 关于AC 对称， ∵BF =DF ，
∵BFE △的周长=BF +EF +BE =DE +BE ，此时周长最小， ∵正方形ABCD 的边长为4， ∵AD =AB =4，∵DAB =90°， ∵点E 在AB 上且1BE =， ∵AE =3， ∵DE
5=，
∵BFE △的周长=5+1=6，
