三角形中的角度计算

三角形中的角度计算

要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。
1、内角和定理

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180?/SPAN>
2、外角定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、直角三角形的两锐角
直角三角形的两个锐角之和等于90?/SPAN>
4、等腰三角形的三角的关系

已知等腰三角形的顶角为n埃蛄降捉俏?/SPAN>(180埃?/SPAN>n?/SPAN>);
已知等腰三角形的一个底角为
n埃蛄硪桓龅捉且彩?/SPAN>n?/SPAN>,顶角为180埃?/SPAN>2n?/SPAN>.

三角形中的角度计算主要分以下三种形式：
1、方程法，2、推理代换法，3、特殊值法

1、方程法
例1、在△ABC中，AB=AC，CD平分∠C，∠ADC=150埃蟆?/SPAN>B
[分析] (1)所求的∠B在△DBC内，已知的∠ADC是△DBC的外角，所以有∠
ADC=∠B+∠BCD。∠B是等腰△ABC的顶角，∠BCD是底角的一半，可以用∠B表
示，所以可利用方程式求∠B。
(2)因为∠A是底角，∠ACD是底角的一半，
∠ADC是已知角，所以可以先求出∠A。

解法1、设∠B=x，则∠ACB=(180埃?/SPAN>x),∠BCD=(180埃?/SPAN>x),
由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC，即

x+(180埃?/SPAN>x)=150?/SPAN>
所以x=140?/SPAN>

解法2、设∠A=x，则∠ACB=x,∠ACD=x。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180
埃?/SPAN>

所以 x+x+150?/SPAN>=180?/SPAN>
解得x=20?/SPAN>,即∠A=20?/SPAN>
∴∠B=180埃?/SPAN>2×20?/SPAN>=140?/SPAN>
例2、在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C比∠A大10埃蟆?/SPAN>C

解：设∠C=x,则∠A=x－10?/SPAN>,∠B=(x-10?/SPAN>),所以有
x+(x－10?/SPAN>)+(x－10?/SPAN>)=180?/SPAN>
解得x=60?/SPAN>,即∠C=60?/SPAN>

例3、D是△ABC的BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC
[分析]因为AD=BD，AB=AC=CD，所以有∠B=∠BAD=∠C，
∠DAC=∠ADC，且∠BAC+∠B+∠C=180埃庋颐强梢陨琛?/SPAN>B=x,列出方程
即可求。

解：设∠B=x，则∠C=∠BAD=∠B=x，∠ADC是△ABD的外角，所以
∠DAC=∠ADC=∠B+∠BAD=2x,∠BAC=∠BAD+∠DAC=3x,
∵∠B+∠BAC+∠C=180啊?/SPAN>x+3x+x=180?/SPAN>
解得x=36埃?/SPAN>
即 ∠BAC=3x=108?/SPAN>

例4、等腰三角形两内角的度数之比是1：
2，求顶角的度数。

[分析]等腰三角形的角可分为顶角和底角，所以本题可分为两个种情况来
解，即顶角与底角之比为1：2，或底角与顶角之比为1:2.

解：（1）若三角形的顶角与底角之比为1：2，设三角形的顶角为x，则
底角为2x,所以有

x+2x+2x=180?SPAN>,
解之可得x=36?/SPAN>
（2）若三角形的底角与顶角之比为1：2，设三角形的底角为x,则顶角2x，
所以

x+x+2x=180?SPAN>,
解之可得x=45?/SPAN>
所以顶角为2x=90?/SPAN>

2、推理代换法
例5、如图：在△ABC中，点D在BC边上，且AC=BC，AB=AD=DC，求∠C
解：∵ AD=DC，
∴ ∠C=∠1，,∠2=∠C+∠1=2∠C
又 ∵ CA=CB，AB=AD，
∴∠A=∠B=∠2，且∠A+∠B+∠C=180?/SPAN>
∴2∠C+2∠C+∠C=180?/SPAN>
解得 ∠C=36?/SPAN>
例6、△ABC的两条高AD，CE相交于点M，已知∠A=30埃?/SPAN>C=75埃
蟆?/SPAN>AMC
[分析]要求∠AMC，可先求出∠MAC和∠MCA
解：∵AD和CE是高，
∴∠DAC+∠ACD=90埃?/SPAN>
∠ACE+∠CAE=90啊?/SPAN>
∴∠DAC=90埃?/SPAN>ACD=15?/SPAN>
∠ACE=90埃?/SPAN>CAE=60?/SPAN>
∴∠AMC=180埃?/SPAN>(∠DAC+∠ACE)=105?/SPAN>
例、已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50埃
笳飧鋈切蔚亩ソ堑亩仁?/SPAN>

解：如图一，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE相交于P，则
∠APE＝50埃?/SPAN>
从而有
∠EAP＝90埃?SPAN>APE＝40?/SPAN>。
由于AD⊥BC，所以
∠C＝90埃?SPAN>EAP＝50?/SPAN>。
如图二，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE的生长线相交于点P，则
∠APE＝50埃?/SPAN>
从而有
∠EAP＝90埃?SPAN>APE＝40?/SPAN>。
由于AD⊥BC，所以
∠ACD＝90埃?SPAN>EAP＝50?/SPAN>。
所以
∠ACB＝180埃?SPAN>ACD＝130?/SPAN>
例、在△ABC中，
AB = AC，AB的中垂线
与AC所在直线相交所得的锐角是50埃蟆螧的
数。

[分析]，当等腰三角形的顶角为锐角时，AB
的中垂线交AC上。顶角为钝角时与AC交于CA的延
长线上。

解：如图一，AB的中垂线DE与AC交于点E，则
∠AED=50埃?/SPAN>
∵DE⊥AB
∴∠A=90埃?/SPAN>AED=40啊?/SPAN>
如图二、AB的中垂线DE与CA的延长线交于点E，则
∠AED=50埃?/SPAN>
∵DE⊥AB
∴∠EAD=90埃?/SPAN>AED=40?/SPAN>
∴∠BAC=180埃?/SPAN>EAD=140?/SPAN>

3、特殊值法

例：如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F六个角的和。
[分析]这六个角正好在三个不同的三角形里面，所以可以由这三个三角形的
内角和求出，而多余的三个角正好组成一个三角形的三个内角，只要减去多余的
角就可以了。

解：由内角和定理：
∠A＋∠B＋∠ANB＝180啊 。?/SPAN>1）
∠C＋∠D＋∠CPD＝180啊 。?/SPAN>2）
∠E＋∠F＋∠EMF＝180啊 。?/SPAN>3）
而
∠ANB＝∠MNP，∠CPD＝∠MPN，∠EMF＝∠PMN
且
∠MNP＋∠MPN＋∠PMN＝180啊 。?/SPAN>4）
所以（1）＋（2）＋（3）－（4）可得
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360?/SPAN>