拉格朗日乘数与影子价格

拉格朗日乘数的经济学意义
拉格朗日乘数是指，当一个有效资源存在时，任何一个给定此资
源加以投入，所得到每一投资单位产出的最大值，即投入此资源能够
从中获得收益最大值。

因此，拉格朗日乘数在经济学中有重要的意义，它说明了投资资源的最优投入折衷，以及投资资源的最佳强度，使资
源的有效使用变得容易。

此外，拉格朗日乘数还有助于消费者选择生
产投资最佳的产品，也就是能够使不同的资源有效组合，使资源的投
资变得更有效。

另外，它还可以帮助企业决定最优的营销模式，同时
确保生产的经济效益最大化，从而使企业能够取得良好的收益。

二、 经济人理性与利他行为
利他行为可否理性， 取决于理性的定义。其实， 从效用分析的角度看， 利他行为实际上是一定条件 ! "# !
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下的利己行为 # $ % 。因此， 利他行为也应该是理性的 # & % 。作为经济人， 最大化自身的效用， 利他行为是经济 利他行为是理性的， 符合一般性显示偏 人在约束条件下满足他自己的利他偏好的最大化行为 # ’ % 。可见， 好公理， 包含了利他行为的效用函数是连续的、 单调的凸函数 # ( % 。对此， 王玉珍认为， 人们之所以总是站 在经济人理性的角度对于利他行为进行分析， 是源于一元动机驱策两种行为的分析， 将各种因利他动机 但无论如何， 不仅人类寻求自利最大化的 而产生的利他行为也解释为是为了追求自身利益的最大化 # ) % 。 行为是理性的， 而且对利他行为的追求也是理性的 # "* % 。利己是经济人行为的根本目的， 利他是经济人实 现利己目的的有效手段， 为己利他是经济人的普遍持久的行为 # "" % 。 “利己动机” “利他行为” “双重动机假设” “社会人” 汪和建为了解决 和 的矛盾， 提出了 。他认为， 一个 具有原初的利己动机和新生的价值动机。价值动机控制、 约束和重塑利己动机， 使之具有社会认同的合 法性， 扩展成为利益动机或内化价值的利己动机 # "+ % 。 张旭昆则将利己动机和利他动机都看作是行为人的具体动机。他认为，人们从事活动的动机层次 结构分为：从事活动的根本动机及其在不同制度下的具体动机。行为人的具体动机则是追求各种需要 他还是将利己动机和利他动机并列， 属双重动机的范畴， 并 的满足， 包括利己动机和利他动机 # ", % 。可见， 未将经济人的行为动机统一起来。而董志勇认为利他行为产生于利他动机， 同时他给出一个行为模型， “利己心” “利他性” 导致 的论述也是相 认为利他动机可以来源于利己动机 # "- % 。这与亚当・斯密当初关于 一致的。 董志勇认为， 行为主 如图 " 所示， 体为了利己目标而产生了利己动机， 并且在实现自己的利己目标过程中， 发现要实现这一利己目标，需要以某 “发现” 些利他行为为手段， 这种 过程 便是利他动机形成的过程， 而形成的利他动机又成为利他行为发生的直接推动因素。这样， 就将利己动 机和利他行为统一起来了。这与林莎、 邓春玲的论述如出一辙。 同时， 管毅平认为， 理性就是行为人最大化自身的效用， 即在现实约束条件下追求自身做事结果最 优的利己心。这里的效用既包括物质的， 也包括精神的， 可以是利己的， 也可以是利他的， 总之是全方位 的社会中行为人的可能偏好。这样， 管毅平将经济人的理性动机、 偏好、 行为和效用函数结合起来， 构造 了一个关于理性行为人动机、 偏好及其行为假设的一般性命题： 利己行为， 是行为人在约束条件下满足 他自己的利己偏好的最大化行为； 利他行为， 是行为人在约束条件下满足他自己的利他偏好的最大化行 为。因此， 无论行为人的利己行为与利他行为都源自于唯一不变的利己动机。 这样， 利己动 机与利他偏好就 可以统一起来， 无 论是纯粹利他、 亲 缘利他， 还是互惠 利他， 都可以用这 一命题解释。由 ! "" !

影子价格名词解释影子价格（Shadow Price）是指在经济学中，用于衡量资源的生产（或消费）边际效益的价格。

它是指在特定条件下，如果增加（或减少）一单位资源的使用量，所带来的效益变化。

影子价格的概念在环境经济学、公共经济学等领域都有应用。

影子价格的概念起源于线性规划理论。

在线性规划中，通过建立一个数学模型，可以找到一种最优方案来分配资源以满足一定的约束条件。

在这种模型中，约束条件往往是资源的有限性和目标的最大化或最小化。

影子价格就是通过解决这个线性规划问题而得到的，它体现了资源在各约束条件下的边际效应。

具体来说，在线性规划模型中，每个约束条件都有一个对应的影子价格，用来衡量满足该约束条件所带来的增加或减少单位资源所能带来的效益变化。

影子价格的计算方法是通过对线性规划问题进行敏感度分析得到的，通过变化约束条件的系数来观察目标函数值的变化。

影子价格的概念在环境经济学中有广泛的应用。

例如，当考虑环境资源的利用时，如水资源、森林资源等，就可以使用影子价格来衡量资源的稀缺性和价值。

影子价格可以帮助决策者在资源配置中做出优化的决策，以实现资源的可持续利用和环境的保护。

此外，影子价格还可以应用于公共经济学领域。

在公共经济中，政府经常需要制定公共政策，如公共投资、税收政策等，来引导经济发展。

通过计算资源的影子价格，政府可以根据资源的相对稀缺性来制定合理的政策。

例如，当一个市场部门的投资需求超过资源供给时，政府可以通过增加该市场的资源影子价格来引导资源的流向。

在实际应用中，影子价格的计算方法因具体情况而异。

通常需要根据具体问题建立数学模型，并通过对线性规划问题的求解或敏感度分析得到。

影子价格可以帮助决策者更好地理解资源的价值，优化资源配置，实现可持续发展。

拉格朗⽇乘数法 拉格朗⽇乘数法是⽤于求条件极值的⽅法。

对于条件极值，通常是将条件⽅程转换为单值函数，再代⼊待求极值的函数中，从⽽将问题转化为⽆条件极值问题进⾏求解。

但是如果条件很复杂不能转换，就要⽤到拉格朗⽇乘数法了。

拉格朗⽇乘数法使⽤条件极值的⼀组必要条件来求出⼀些可能的极值点（不是充要条件，说明求出的不⼀定是极值，还需要验证）。

如寻求函数z =f (x ,y ) 在条件φ(x ,y )=0 下取得极值的必要条件。

如果在(x 0,y 0)下取得z 的极值，则⾸先应该有：φ(x 0,y 0)=0 另外，假定在(x 0,y 0)的某⼀领域内f (x ,y )与φ(x ,y )均有连续的⼀阶偏导数（没有连续导数让导数为0求极值就没有意义了），并且φy (x 0,y 0)≠0。

由隐函数存在定理（对于z =φ(x ,y )若∃φy (x ,y )≠0与φx (x ,y )则d yd x =−φx (x ,y )φy (x ,y )）可知，条件⽅程φ(x ,y )=0在(x 0,y 0)某领域确定具有连续偏导数的函数y =ψ(x )，代⼊z 得：z =f [x ,ψ(x )] 于是这个极值可以直接由⼀个变量x 来确定，由⼀元可导函数取极值必要条件得：d zd xx =x 0=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)d y d x x =x 0=0 即：f x (x 0,y 0)−f y (x 0,y 0)φx (x 0,y 0)φy (x 0,y 0)=0 设f y (x 0,y 0)φy (x 0,y 0)=−λ。

为什么要这么设呢？我觉得是因为它本⾝就是未知的，但⼜不是完全未知，是两个偏导数之商，在这⾥⾯⾸先不容易计算，其次这个偏导数商的条件也没什么⽤，因此就直接设为完全未知的参数λ了。

结合以上可以获得条件极值(x 0,y 0)应该满⾜的必要条件（第⼆⾏式⼦直接代⼊λ可以发现就等于0）：f x (x 0,y 0)+λφx (x 0,y 0)=0f y (x 0,y 0)+λφy (x 0,y 0)=0φ(x 0,y 0)=0 为了⽅便表达，引⼊辅助函数L (x ,y )=f (x ,y )+λφ(x ,y ) 必要条件就变成L x (x 0,y 0)=0L y (x 0,y 0)=0L λ(x 0,y 0)=0 于是通过这个联⽴式求得的(x ,y )就是可能的条件极值点。