最全的高中幂指数对数三角函数知识点总结
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一.幂 函 数
一、幂函数定义:形如
)(R x y ∈=αα
的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数。
注意:幂函数与指数函数有何不同?
【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置. 观察图:
归纳:幂函数图像在第一象限的分布情况如下:
二、幂函数的性质
归纳:幂函数在第一象限的性质:
0>α,图像过定点(0,0)(1,1),在区间(+∞,0)上单调递增。 0<α,图像过定点(1,1),在区间(+∞,0)上单调递减。
探究:整数m,n 的奇偶与幂函数n
m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系?
结果:形如n
m
x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性
(1)当m ,n 都为奇数时,f (x )为奇函数,图象关于原点对称; (2)当m 为奇数n 为偶数时,f (x )为偶函数,图象关于y 轴对称;
(3)当m 为偶数n 为奇数时,f (x )是非奇非偶函数,图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法:
关键先画第一象限,然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于1,在第一象限为抛物线型(凹); 指数等于1,在第一象限为上升的射线;
指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(凸); 指数等于0,在第一象限为水平的射线; 指数小于0,在第一象限为双曲线型; 四、规律方法总结:
1、幂函数
)1,0(==αα
x y 的图像:
2、幂函数
),,,,(互质q p Z q p p q
x y ∈=
=αα的图像:
3、比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;
(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.
二.指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *.
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,
a a n
n =,当n 是偶数时,
⎩
⎨
⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n
n 2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m )1,,,0(1
1
*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
(1)r
a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>;
(3)
s
r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>.
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [;
(2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当
R x ∈;
(3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =;
三、对数函数 (一)对数
1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式)
说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ;
○
2 x N N a a x =⇔=log ; ○
3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:
○
1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○
2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln .
指数式与对数式的互化
幂值 真数
b
对数 (二)对数的运算性质
如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○
1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○
2 =N
M
a log M a log -N a log ;
○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式
a b
b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b )
. 利用换底公式推导下面的结论
(1)b m
n
b a n a m
log log =;(2)a b b a log 1log =.
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:x y 2log 2=,5
log 5x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○
2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 2、对数函数的性质: