北师大版数学必修二

2.3.2 空间两点间的距离

明目标、知重点 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．

1．空间两点间的距离公式

(1)平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间距离P1P2＝x2－x12＋y2－y12，特别地，点A(x，y)到原点距离为OA＝x2＋y2.

(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是AB＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA＝x2＋y2＋z2.

2．空间两点的中点坐标公式

连结空间两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的线段P1P2的中点M的坐标为x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22.

[情境导学] 我们已经学习了平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式AB＝x1－x22＋y1－y22.那么空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？本节我们就来探讨这个问题．

探究点一 空间中点P与坐标原点的距离

公式

思考1 根据平面上两点间的距离公式，你能猜想出空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式吗？

答 AB＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.

思考2 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？

答 OA＝|x|，OB＝|y|，OC＝|z|.

思考3 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？

答 OA＝x2＋y2，OB＝y2＋z2，OC＝x2＋z2. 思考4 如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？PM，OM的值分别是什么？

答 M(x，y,0)，PM＝|z|，OM＝x2＋y2.

思考5 基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？

答 如图，在Rt△OMP中，根据勾股定理

OP＝OM2＋PM2＝x2＋y2＋z2.

探究点二 空间两点间的距离

问题 在空间中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，在xOy平面上的射影分别为M、N.

思考1 M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？

答 M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；

MN＝x1－x22＋y1－y22.

思考2 若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？

答 P1P2＝|z1－z2|.

思考3 若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？

答 P1P2＝MN＝x1－x22＋y1－y22.

思考4 若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2的距离如何计算？

答 在Rt△P1HP2中，根据勾股定理，

得P1P2＝P1H2＋HP22

＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.

小结 空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离P1P2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.

思考5 连结平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的线段AB的中点M的坐标为x1＋x22，y1＋y22，那么，已知空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点M的坐标是什么呢？

答 坐标为x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22 例1 求空间两点P1(3，－2,5)，P2(6,0，－1)间的距离P1P2.

解 利用两点间距离公式，

得P1P2＝6－32＋[0－－2]2＋－1－52

＝9＋4＋36＝7.

反思与感悟 空间两点间的距离公式与平面解析几何中求平面上两点间的距离类似，只是多了一个z坐标的差的平方．公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根．

跟踪训练1 求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．

证明 根据空间两点间距离公式，

得AB＝10－42＋－1－12＋6－92＝7，

BC＝4－22＋1－42＋9－32＝7，

AC＝10－22＋－1－42＋6－32＝98.

因为AB2＋BC2＝AC2，且AB＝BC，

所以△ABC是等腰直角三角形．

例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为x2＋y2＝1.在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．

解 与坐标原点的距离为1的点P(x，y，z)的轨迹是一个球面，满足OP＝1，即x2＋y2＋z2＝1.

因此x2＋y2＋z2＝1，就是所求的球面方程．

反思与感悟 求空间点的轨迹方程和求平面内的点的轨迹方程类似，关键是寻找动点满足的等量关系，然后用坐标表示等量关系，化简等式即为所求的轨迹方程．

跟踪训练2 若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为____________．

答案 x2＋z2－y2＝0

解析 由题意得|y|＝x2＋z2，即x2＋z2－y2＝0.

探究点三 空间两点间距离公式的应用

例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ 2)．

(1)求MN的长；

(2)当a为何值时，MN的长最小．

解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，

∴BE⊥平面ABCD，

∴AB、BC、BE两两垂直．

过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，

垂足分别为G、H，连结NG，易证NG⊥AB.

∵CM＝BN＝a，

∴CH＝MH＝BG＝GN＝22a，

∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，

则M22a，0，1－22a，N22a，22a，0.

(1)MN＝22a－22a2＋0－22a2＋1－22a－02

＝a2－2a＋1＝a－222＋12，

(2)由(1)得，当a＝22时，MN最短，

最短为22，这时M、N恰好为AC、BF的中点．

反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值． 跟踪训练3 在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解 假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．

设坐标原点为O，A、B都在平面xOz上，而y轴垂直于平面xOz，所以OA⊥OM，OB⊥OM.MA＝OA2＋OM2，MB＝OB2＋OM2，又因OA＝OB＝10，所以y轴上的所有点都能使MA＝MB成立，所以只要再满足MA＝AB，就可以使△MAB为等边三角形．

因为MA＝32＋－y2＋12＝10＋y2，AB＝25.

于是10＋y2＝25，解得y＝±10.

故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．

1．点P(1，2，3)到原点O的距离是________．

答案 6

解析 d＝1＋22＋32＝6.

2．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为________．

答案 25

解析 点P(1,2,2)关于y轴的对称点Q的坐标为(－1,2，－2)，所以PQ＝1＋12＋2－22＋2＋22＝4＋16＝25.

3．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，AB＝11，则z＝________.

答案 －5或7

解析 ∵AB＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z－1)2＝112，化简得(z－1)2＝36，即|z－1|＝6，

∴z＝－5或z＝7.

4．已知三点A(1,3,2)、B(－2,0,4)、C(－8，－6,8)，证明：A，B，C三点在同一直线上．

解 利用两点间距离公式， 得AB＝22、BC＝222、AC＝322，

所以AB＋BC＝AC，所以A，B，C三点在同一直线上．

[呈重点、现规律]

1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．

2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.

一、基础过关

1．点P(x，y，z)满足x－12＋y－12＋z－12＝2，则点P运动的轨迹是_________________．

答案 以点(1,1,1)为球心，以2为半径的球面

解析 x－12＋y－12＋z－12＝2表示的是空间直角坐标系中的动点P(x，y，z)到定点(1,1,1)的距离为2，所以P点满足球面的定义，所以点P运动的轨迹是以点(1,1,1)为球心，以2为半径的球面．

2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为__________________________________________________________________．

答案 29

解析 由已知求得C1(0,2,3)，∴AC1＝29.

3．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离CM等于________．

答案 532

解析 AB的中点M(2，32，3)，它到点C的距离d＝2－02＋32－12＋3－02＝532.

4．已知△ABC顶点坐标分别为A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(12，52，3)，则△ABC为________三角形．

答案 直角