2018年中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第22课时锐角三角函数及其应用检测湘教版

课时训练(二十二)锐角三角函数及其应用

|夯 实 基 础|

一、选择题

1．[2017·天津]cos60°的值等于( )

A.3B．1 C.22D.12

2．[2017·湖州]如图K22－1，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )

A.35B.45C.34D.43

图K22－1

图K22－2

3．[2017·宜昌]△ABC在网格中的位置如图K22－2所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是( )

A．sinα＝cosαB．tanC＝2

C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1

4．[2017·益阳]如图K22－3，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)( )

A.hsinα B.hcosα

C.htanα D．h·cosα

图K22－3

图K22－4

5．[2017·兰州]如图K22－4，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )

A.513B.1213C.512D.1312

图K22－5

6．[2017·滨州]如图K22－5，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( )

A．2＋3B．2 3 C．3＋3D．3 3

二、填空题

7．[2017·烟台]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sinA2＝________．

8．[2017·宁波]如图K22－6，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)

图K22－6

图K22－7

9．[2017·临沂]如图K22－7，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝4，BD＝10，sin∠BDC＝35，则▱ABCD的面积是________．

三、解答题

10．[2017·衡阳]衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内．如图K22－8，为了测量来雁塔的高度，在Ε处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)

图K22－8

11.[2017·郴州]如图K22－9所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)

图K22－9

12．[2017·常德]图K22－10①②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所形成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离(精确到0.01米)．

(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)

图K22－10

13．[2017·长沙]为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图K22－11，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．

(1)求∠APB的度数；

(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

图K22－11

|拓 展 提 升|

14．[2017·舟山]如图K22－12，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝13，tan∠BA3C＝17，计算tan∠BA4C＝______，…，按此规律，写出tan∠BAnC＝________(用含n的代数式表示)．

图K22－12

15．如图K22－13，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

图K22－13

sin2A1＋sin2B1＝________；sin2A2＋sin2B2＝________；sin2A3＋sin2B3＝________.

(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A＋sin2B＝________；

(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；

(3)已知∠A＋∠B＝90°，且sinA＝513，求sinB.

参考答案

1．D

2．A [解析] 在Rt△ABC中，cosB＝邻边斜边＝BCAB＝35.

3．C [解析] sinα＝cosα＝22 2＝12，tanC＝21＝2，sinβ＝cos(90°－β)，故选C.

4．B [解析] 根据同角的余角相等得，∠CAD＝∠BCD，由cos∠BCD＝CDBC，知BC＝CDcos∠BCD＝hcosα，因此选B.

5．C [解析]

在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长度为120 m，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于50120＝512，故选C.

6．A [解析] 设AC＝a，则AB＝a÷sin30°＝2a，BC＝a÷tan30°＝3a，∴BD＝AB＝2a.∴tan∠DAC＝DCAC＝（2＋3）aa＝2＋3.

7.12 [解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，∴sinA＝32，∴∠A＝60°.

∴sinA2＝12.

8．280 [解析] 在Rt△ABC中，sinB＝ACAB，∴AC＝ABsin34°≈500×0.56＝280.

9．24 [解析] 过C作CE⊥BD于E，在Rt△CDE中，∵sin∠BDC＝35＝CECD＝CEAB，AB＝4，∴CE＝125，∴S▱ABCD＝2×12×BD×CE＝24.

10．解：因为∠CBD＝60°，∠CAD＝30°，

所以∠ACB＝30°，所以AB＝BC＝10.4米．

在直角三角形CBD中，BC＝10.4米，∠CBD＝60°，

所以CD＝BC×sin∠CBD＝10.4×32≈9.0(米)，

所以塔高为9.0＋1.5＝10.5(米)．

答：来雁塔的高度约为10.5米．

11．解：如图，过点P作PH⊥AC，交AC于点H，

由题意得∠EAP＝60°，∠FBP＝30°，

∴∠PAB＝30°，∠PBH＝60°，

∴∠APB＝30°，∴AB＝PB＝120，

∴在Rt△PBH中，PH＝PBsin∠PBH＝120×sin60°＝60 3≈103.8，

∵103.8＞100，

∴要修建的这条高速铁路不会穿越森林保护区．

12．解：如图，过点A作AM⊥FE交FE的延长线于M，

∵∠FHE＝60°，∴∠F＝30°.

在Rt△AFM中，FM＝AF·cosF＝AF·cos30°＝2.50×32≈2.165(米)．

在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝BC·tan75°≈0.60×3.732＝2.2392(米)．

∴篮板顶端F点到地面的距离为：FM＋AB＝2.165＋2.2392＝4.4042(米)，

∴篮筐D到地面的距离为：4.4042－FD＝4.4042－1.35＝3.0542≈3.05(米)．

13．解：(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，

∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°.

(2)作PH⊥AB于H.

∵∠BAP＝∠BPA＝30°，

∴BA＝BP＝50，

在Rt△PBH中，PH＝PB·sin60°＝

50×32＝25

3，

∵25 3>25，

∴海监船继续向正东方向航行是安全的．

14.1131n2－n＋1 [解析] 过点C作CH⊥BA4于H，由勾股定理得BA4＝42＋12＝17，

A4C＝32＋12＝10，

∵△BA4C的面积＝4－12×1×4－12×1×3＝12， ∴12×17CH＝12，∴CH＝1717，

则A4H＝A4C2－CH2＝13 1717，

∴tan∠BA4C＝CHA4H＝171713 1717＝113，

∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，13＝42－4＋1，

∴tan∠BAnC＝1n2－n＋1.

15．解： 1 1 1

(1)1

(2)证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°.

∵sinA＝ac，sinB＝bc，

∴sin2A＋sin2B＝a2＋b2c2.

∵∠C＝90°，

∴AC2＋BC2＝AB2，即a2＋b2＝c2，

∴sin2A＋sin2B＝1.

(3)∵sinA＝513，sin2A＋sin2B＝1，

∴sinB＝1－5132＝1213.