习题8.11.判定下列平面点集D 中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}2(,)2x y y x <-；（3）{}2222(,)12)9x y x y x y +≥-+≤且(.（4）{}22(,)14x y x y <+≤；解 （1）集合是开集，无界集； 边界为{(,)0x y x =或0}y =，但不是区域.（2）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)2}x y y x =-. （3）集合是闭集，闭区域，有界集；边界为2222{(,)1}{(,)(2)9}x y x y x y x y +=-+=（4）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x yx y x y +=+=.2.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f txty t f x y =.证明略.3.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解 ()f x =. 4.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y +=-； （2）ln()arcsin y zy x x =-+；（3）z =； （4）u =.解 （1）定义域为{}(,)x y y x ≠±； （2）定义域为{}(,),(0)x y x y x x <≤-<；习题8-1（3）图（3）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭； （4）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠；5.求下列各极限：（1）22(,)(0,1)lim x y x xy y x y→+++； （2）(,)1limx y xy →； （3）(,)(0,0)lim x y → （4）(,)(0,3)tan()lim x y xy x→； （5）1(,)(0,2)lim (1)xx y xy →+； （6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）1；（2）0；（3）1/2；（4）3；（5）2e ；（6）0. 6. 讨论二元函数222222,0,(,)0,0.xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩当(,)(0,0)P x y O →时极限是否存在.解 此二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在.7.证明下列极限不存在：（1）2222(,)(0,0)lim x y x y x y →-+.证明略.8.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证 略. 9. 求(,)(1,0)ln(e )limy x y x →+.解(,)lim (1,0)ln 2y x y f →==.10.指出下列函数在何处间断： （1）22ln()z x y =+； （2）221z y x =-.解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点； （2）两条直线,y x y x ==-上的点均为函数221z y x=-的间断点. 11. 讨论二元函数2222422,0,(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)O 是否连续.解：可以证明，当(,)(0,0)P x y O →时极限不存在，所以，(,)f x y 在点(0,0)O 不连续.习题8.2解答1.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-； （2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-； （4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 （1）A;（2）B ；（3）2B;（4）2A. 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）2x z x y =-； （2）lnsin x z y=； （3）sin ex yz =； （4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+； （6）z = （7）(1)yz xy =+； （8）arctan()zu x y =- 解（1）212,z z x x x y y y∂∂=-=∂∂；（2）12sin 2z x x y y ∂=∂，22sin2z x xy y y ∂=-∂； （3）sin sin x y z e y x ∂=∂，sin cos x y zxe y y∂=∂； （4）21z y x y x∂=-∂，21z x y x y ∂=-∂；（5）3222222ln()z x x x y x x y ∂=++∂+，2222z x y y x y∂=∂+； （6）z x ∂=∂，z y ∂=∂； （7）21(1)y z y xy x -∂=+∂，z y ∂∂ (1)ln(1)1y xy xy xy xy ⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦； （8）12()1()z z u z x y x x y -∂-=∂+-， 12()1()z z u z x y y x y -∂-=-∂+-， 2()ln()1()z zu x y x y z x y ∂--=∂+-； （9）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1z u z x x y y -⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭，z u z x yy y ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭，ln zu x xy y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. （10）sec()z xy =；tan()sec()z y xy xy x ∂=∂，tan()sec()zx xy xy y∂=∂ 3. 设23(,)f x y x y =，求(,)x f x y ，(,)y f x y ，(1,1)x f ，(2,2)y f . 解:33(1,1)2112x f =⋅⋅=，22(2,2)32248y f =⋅⋅=.4. 设2222(,)()ln()arctan e x y y f x y x y x y x +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，求(1,0)x f .解 2111d d(1,0)(,0)(ln )(2ln )1d d x x x x f f x x x x x x x x ======+=.若用(1,0)(1,0)(,)x f f x y x∂=∂，也可求(1,0)x f ，但较麻烦.5.设2(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解：(,1)()1x f x x '==.6.设2(,)cos xt yf x y etdt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)cos x x f x y ex -=，2(,)cos y y f x y e y -=-.7.22,88x y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(8,4,10)处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？ 解 倾角4πα=.8.求下列函数的全微分： （1）2222x yu x y-=+； （2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）sin e 2yz yu x =++； （4）ey xz -=；（5）yz x =； （6）222ln()u x y z =++.解 （1）()22224u xy x x y ∂=∂+，()22224u x yy x y ∂=∂+，()2224d ()xy u ydx xdy x y =-++. （2）224422x y xyz x y e x xx y +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 224422x y xyz y x e y y xy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， dz )d d y x x y =-；（3）解 因为1u x ∂=∂，1cos e 22yz u y z y ∂=+∂，e yz uy z ∂=∂， 所以 1d d cos e d e d 22yz yz y u x z y y z ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.（4）d z 21e ()yxxdy ydx x-=--；（5）1,ln y y u uyx x x x y-∂∂==∂∂,1dz d ln d y yz u u dx dy yx x x x y x y -∂∂=+=+∂∂. （6）d u 2222(d d d )x x y y z z x y z=++++； 9.求下列函数的全微分：（1）2sin z x y =在点1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的全微分；（2）2arcsinxz y=在点 (1,1) 处的全微分. 解 （1）d z x y =+. （2）)22232222d ()d 2d 6x y x y dx xdy z x y y y ======-=-. 10.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解 ()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-， 全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦， 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.11.计算 3.02(1.99) 的近似值.（取ln2=0.693）解 设函数 (,)yf x y x =.显然，就是要求函数值(1.99,3.02)f .取 2,3,0.01,0.02x y x y ==∆=∆= ，故 (1.99,3.02)8120.01 5.5440.0f ≈+⨯+⨯≈.习题8.3解答1.求函数z =(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.解(1,2)12z l ∂=+=∂2.求函数2tan()z x y =在点(1,)4π处沿与x 轴正向夹角为60的方向的方向导数. 解(1,)41222z l πππ∂=⋅+=∂3.求函数222(,,)f x y z x y z =++沿着点(1,1,1)A 到点(2,0,1)B 的方向导数.解2220)f z x y l ∂=⋅=-∂. 4.设函数r ，求r 沿从原点O 至任意点(,)P x y 的方向导数. 解cos cos 1r x y x x y yl r r r r r rαβ∂=+=⋅+⋅=∂. 5. 求函数222(1)2(1)3(2)6u x y z =-+++--在点(2,0,1)处沿向量(1,2,2)--的方向导数. 解(2,0,1)12224(6)2333u l ∂⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-+-⋅-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭.6.求函数222u x y z =++在曲线x t =，2y t =，3z t =上点(1,1,1)处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数. 解(1,1,1)222u ∂=+=∂T7. 求函数221z x y =+在点(1,1)处的梯度.解 11(1,1)22z =--grad i j .8. 求函数2sin u x y z =在任意点(,,)x y z 处的梯度. 解 22(,,)2sin sin cos u x y z xy z x z x y z =++grad i j k .9.求函数u xy yz zx =++在点(1,2,3)处的梯度. 解 (1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)543u u uu x y z ∂∂∂=∂∂∂grad i +j +k =i +j +k .10.一个徙步旅行者爬山，已知山的高度满足函数22100023z x y =--，当他在点(1,1,995)处时，为了尽可能快地升高，他应沿什么方向移动？解 (1,1)(1,2,3)(1,1)46z z z x y ∂∂=--∂∂grad i +j =i j 由梯度的意义可知，沿梯度(4,6)--方向能尽快地升高.11.设u ，v 都是x ，y ，z 的函数，u ，v 的各偏导数都存在且连续，证明： （1）()u v u v +=+grad grad grad ； （2）()uv v u u v =+grad grad grad ； （3）2()2u u u =grad grad .证 （1）()u v +grad u v =+grad grad ；（2）()uv grad v u u v =+grad grad （3）2()2.u u u =grad grad .习题8.4解答1.设tan 2cos ex yu -=，2x t =，3y t =，求d d u t. 解 3tan22cos 2232e (sec 23sin )t t t t t -=+.2. 设(,,)2z f x y t xy t ==+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解 3. 3.设221z u v =+，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，zy∂∂.解z x ∂∂2232222(cos sin )(cos sin )y y x y y =-+， z y ∂∂32222(cos sin sin cos )0(cos sin )x y y x y y x y y =-+=+.4.设z v =，而2u x y =-，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂.解zx ∂∂=z y ∂=∂. 5. 设(,,)ln(sin tan )u f x y z y x z ==+，ex yz -=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解 u x ∂∂2cos e sec e sin tan ex y x yx yy x y x ---+=+， u y ∂∂2sin e sec e sin tane x y x yx yx y x ----=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，u t∂∂. 解u r∂∂222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦， u s∂∂222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦， ut∂∂222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦. 7.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）22(,)x z f x y e =-； （2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭； （3）32(,,)u f x x y xyz =； （4）(ln )u f xy =. 解（1）122x z xf e f x ∂''=+∂，12zyf y∂'=-∂； （2）1f u x y '∂=∂，1221u x f f y y z∂''=-+∂，22u y f z z ∂'=-∂； （3）212332u x f xyf yzf x ∂'''=++∂，223u x f xzf y∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂； （4）11(ln ),(ln )u u f xy f xy x x y y∂∂''==∂∂. 8.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂. 证 略.9.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证略. 10.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂.证略.11.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证略.习题8.5解答1.验证方程22194x y +=在点(0,2)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数，且当0x =时2y =的隐函数()y f x =，并求这函数的一阶导数与二阶导数在0x =处的值.解：0；-2/9. 2.设2e 0xyx y -=，求d d y x. 解 2d 2e .d exyxy y xy y x x x -=- 3.设arctanx y =dxdy. 解:x y y x+-. 4 验证方程224x y z ++=在点(1,1,2)-的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =；求z x ∂∂，z y∂∂， 在1,1x y ==-处的值. 解(1,1)2zx -∂=-∂，(1,1)2z y -∂=∂. 5.设方程222(,)0F x y z x y z +-++=确定了函数(,)z z x y =，其中F 存在偏导函数，求z x ∂∂，zy∂∂. 解 121222F xF z x F zF ''+∂=∂''-，121222F yF z y F zF ''+∂=∂''-. 6.证明题：（1）.设由方程(,,)0F x y z =分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z =，(,)y y x z =，(,)z z x y =，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.（2）.设x yexy +=，验证222223[(1)(1)](1)d y y x y dx x x -+-=--. 证略.7.求由方程xyz (,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解 222222222222()()d d d ()()yz x y z x xz x y z yz x y xy x y z z xy x y z z++++++=--++++++，(1,0,1)d d 3d z x y -=--. 8.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,43636,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x ； （2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂. 解 （1）2136d 72(721)d 7244(181)xx z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 224d 283d 724362y xy x z xy xy xx D yz y z ---+===++. （2）22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+. （3）1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+. 习题8.6解答1. 求2sin (2)z x y =+的二阶偏导数.解 2sin(2)cos(2)sin(24)zx y x y x y x ∂=++=+∂，2sin(2)cos(2)22sin(24)zx y x y x y y∂=++⋅=+∂，22[sin(24)]2cos(24)z x y x y x x ∂∂=+=+∂∂，2[sin(24)]4cos(24)z x y x y x y y∂∂=+=+∂∂∂， 2[2sin(24)]4cos(24)z x y x y y x x∂∂=+=+∂∂∂， 22[2sin(24)]8cos(24)z x y x y y y∂∂=+=+∂∂. 这里的两个二阶混合偏导数是相等的.2.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂； （2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =，求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂； （2）ln ln x z y y x x∂=∂， 2ln 11(1ln ln )x z y x y x y x-∂=+∂∂； （3）z x ∂=∂ ()232222z xxxy∂-=∂+，()23222z yx yxy∂-=∂∂+；（4）22z y x x y ∂=-∂+，22z x y x y∂=∂+， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()222222z y x x y x y ∂-=∂∂+，()222222z y x y x x y ∂-=∂∂+. 3.验证： （1）2esin kn ty nx -=满足22y y k t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.（3）lnz =22z x ∂∂＋22zy∂∂＝0.证 略.4.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =； （2）22()z f x y =+； （3）22(,)z f x y xy =； （4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=.解 （1）22112z y f x∂''=∂， 211112z z f xyf yf x y y x ∂∂∂⎛⎫'''''==++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭，2211122222zx f xf f y∂''''''=++∂. （2）22224z f x f x ∂'''=+∂，24z xyf x y ∂''=∂∂，22224z f y f y∂'''=+∂.（3）2432221112222244z yf y f xy f x y f x∂'''''''=+++∂ 232231211122222252zyf xf xy f x y f x yf x y∂''''''''=++++∂∂ 2223411112222244zxf x y f x yf x f y∂'''''''=+++∂ （4）()222311113332sin cos 2cos x y x y x y z e f xf xf e xf e f x+++∂''''''''=-+++∂()22312133233cos sin cos sin x y x y x y x y ze f x yf e xf e yf e f x y ++++∂'''''''''=-+-+∂∂ ()222322223332cos sin 2sin x y x y x y ze f yf yf e yf e f y+++∂''''''''=-+-+∂5. 设333z xyz a -=，求22zx∂∂.解 232232()z xy z x z xy ∂=-∂-.6.设(,)z z x y =是由方程2cos sin 0z x z y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解2(0,1)0z x y∂=∂∂.7.设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，试证：2220u ux y x x y∂∂+=∂∂∂.证明略.习题8.7解答1.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）在4πθ=的对应点处； （2）11x t =+，11t y t+=-，2z t =在t=0的对应点处； （3）2226x y z ++=，0x y z ++=在点(1,2,1)-处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 （1）切线方程为 44z b bπ-==. 法平面方程为 240bz b π--+=.cos sin x a y a z b θθθ===（2）切线方程为 110120x y z ---==-， 即210x y z +-== .法平面方程为 (1)2(1)0x y --+-=， 即 210x y --= . (3) 切线方程为121101x y z -+-==-， 法平面方程为1(1)0(2)(1)(1)0x y z ⋅-+⋅++--=，2.在曲线x t =，212y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面230x y z -+-=.解 所求点为111(,,)288或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： （1）22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处； （2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）ln()z xy = 在点()2,,3e e 处..解（1）切平面方程为3330x y z +--=. 法线方程为113331x y z ---==-. （2）切平面方程为 2234ln 20x y z +--+=. 法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）切平面方程为220ex y e z e +-+=.4.求曲面2222x y z ++=上平行于平面40x y z +-=的切平面方程.解 切平面方程为 1213x y --=，或1213x y --=-. 5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）. 证 略.6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦. 解 1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题8.8解答1.设0a >，求函数33(,)3f x y axy x y =--的极值.解 极大值3(,)f a a a =.2.求函数22(,)(6)(4)f x y x x y y =--的极值. 解 22(,)(6)(4)f x y x x y y =--的极大值为(3,2)36f =.3. 将一宽为24cm 的长方形铁皮的两边折起，做成一个断面为等腰梯形的水槽（如图），问怎样能使此水槽的断面面积达到最大？问题的目标函数（即需要求最值的函数）1(,)[(242)(2422cos )]sin 2(242cos )sin .A x x x x x x x x θθθθθ=-+-+=-+ 问题是求二元函数(,)A x θ在区域(,)012,02D x x θθπ⎧⎫=<<<≤⎨⎬⎩⎭内的最大值.当8x =厘米，3θπ=时断面面积(,)A x θ达到最大值. 4.求函数221z x y =++在指定条件30x y +-=下的条件极值. 解 本题属条件极值问题，易将它化为无条件极值问题.条件30x y +-=可以表示成3y x =-，代入221z x y =++，则问题化为求22(3)1z x x =+-+的极大值.32x =为极小值点，极小值为2233111222z ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 求函数u xyz =在附加条件1111(0,0,0,0)x y z a x y z a++=>>>> （1） 下的极值.解 作拉格朗日函数.1111(,,)()L x y z xyz x y z aλ=+++-.故(3,3,3)a a a 是函数u xyz =在条件（1）下唯一的驻点.极值为327a . 6.求周长为定值2a 的矩形面积的最大值.解 设矩形长、宽分别为x ，y ，则其面积为S xy =，且满足条件：222x y a x y a +=⇔+=，构造拉格朗日函数(,)()L x y xy x y a λ=-+- .最大值为2(,)224a a a S =.7. 要用铁板做一个体积为常数V 的有盖长方体水箱.问水箱各边的尺寸为多少时，用料能最省.解 设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则问题是求表面积函数2()S xy yz zx =++在约束条件xyz V =下的最小值（0x >，0y >，0z >）.构造拉格朗日函数(,,)2()()L x y z xy yz zx xyz V λ=+++-，(,,)x y z =是唯一可能的最值点，因此它就是所求的最小值点.8. 求表面积为2k 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三条棱长分别为,,x y z ，则问题求函数,(0,0,0)V xyz x y z =>>>在满足条件条件2(,,)2()0x y z xy yz xz k ϕ=++-= （2）下的最大值.作拉格朗日函数2(,,)[2()]L x y z xyz xy yz xz k λ=-++-，)是函数V xyz =在条件（2）下唯一的驻点. 此点就是所求的最大值点.即表面积为2k的长方体的体积体积为最大，最大的体积3V =.9.在直线20,27y x z +=⎧⎨+=⎩上找一点，使它到点(0,1,1)-的距离最短，并求最短距离.解 设所求的点为(,,)x y z ，则此点到点(0,1,1)-的距离为u =作拉格朗日函数222(,,)(1)(1)(2)(27)L x y z x y z y x z λμ=+++-++++-，1,2,3,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩由于驻点惟一，根据问题本身可知，距离的最小值必定存在，最短距离为=第8章复习题A 解答1.选择题：考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质： （1）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；（2）(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续； （3）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微；（4）(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在.若P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ ）.（A ）. (2)(3)(1)⇒⇒； （B ）. (3)(2)(1)⇒⇒； （C ）. (3)(4)(1)⇒⇒； (B) . (3)(1)(4)⇒⇒.答案:A.2.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内： （1）(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的 条件，(,)f x y 在点(,)x y 连续是(,)f x y 在该点可微分的 条件.（2）(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂及zy∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分的 条件.(,)z f x y =在点(,)x y 可微分是函数在该点的偏导数z x ∂∂及z y∂∂存在的 条件.（3）(,)z f x y =的偏导数z x ∂∂及z y∂∂在点(,)x y 存在且连续是(,)f x y 在该点可微分的 条件.（4）函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂及2zy x∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的 条件.答案：（1）充分，必要；（2）必要，充分；（3）充分；（4）充分； 3. 设(,,(,),(,))0F x y u x y v x y ≡， (,,(,),(,))0G x y u x y v x y ≡， 将上式两边对x 求偏导，得0,0.x u v x u v u v F F F x x u v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩ 可以求得：u x ∂∂= ； vx∂∂= .答案：x vx v u v u v F F G G u F F x G G --∂=∂，u xu xu v u vF FG G v F F x G G --∂=∂. 4.设3223(,)f x y x y x x y xy y +-=+--，求(,)f x y .解 2(,)f x y x y =. 5. 求下列极限问题：5-1.(,)(2,0)sin()lim x y xy y →；5-2.2(,)limy x y →；5-3.(,)(0,0)limx y xy e→+.解5-1. 2； 5-2.解10ln 2y x y →→=.5-3.解 1/2..6.讨论函数2(,)x f x y xy x y =+-当(,)(0,0)x y →时的极限存在性.解2(,)(0,0)lim x y x xy x y→+-不存在. 7.讨论下面函数的连续性：2tan(),0,(,),0.x y y f x y yx y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩解 函数处处连续.8.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+ 9.求下列函数的一阶偏导数： 9-1.ln tanx z y=；9-2.u = 9-3.e xyz =； 9-4 zy u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；9-5.(1)xz xy =+；解 9-1.21cot sec z x x x y y y∂=∂， 22cot sec z x x x y y y y∂=-∂；9-2.u x ∂=∂，u y ∂=∂；u z ∂=∂. 9-3.xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂； 9-4 1z u z y x x x -∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭，zu z y y x x ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭，ln zu x xz y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭.10.设yxz xy xe =+，证明z zx y xy z x y∂∂+=+∂∂. 解略.11.求下列函数的偏导数11-1.求函数2ln()z x y =+的二阶偏导数.11-2.设e sin u z v =，u xy =，v x y =+，求zx ∂∂，z y∂∂. 11-3.设222(,,)e x y z u f x y z ++==，2sin z y x =，求ux∂∂，u y ∂∂.解 11-1. 21z x x y ∂=∂+，()22221z x x y ∂=-∂+，22z yy x y∂=∂+， 222222()()z x y y x y ∂-=∂+，2222()z yx y x y ∂=-∂∂+； 11-2.e sin e cos 1u u z z u z vv y v x u x v x∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂ e [sin()cos()]xy y x y x y =+++， e sin e cos 1u u z z u z v v x v y u y v y ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂e [sin()cos()]xy x x y x y =+++； 11-3.zx∂∂ 2242sin 42e (cos sin )x y y xx y x x ++=+，zy∂∂2242sin 222e (12sin )x y y xy y x ++=+.12.求下列函数的全微分：12-1.22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；12-2.设(,)z z x y =是由方程222z x y z ye ++=所确定的隐函数，求dz ； 12-3.设y z x u x y z =，求du . 解 12-1.因为d z =221(2d 2d )1x x y y x y +++所以 12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+. 12-2.由2d 2d 2d d d zzx x y y z z e y ye z ++=+，得 22d d d 22zzz x y e z x y ye z ye z-=+--； 12-3.由ln ln ln ln u y x z y x z =++知，d u ln d ln d ln d y z x y z x x y z z x x y y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 13. 设2,,x s f x xyz y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求s x ∂∂，s y ∂∂，sz ∂∂.解 令2u x =，xv y=，, w xyz = 则函数关系示意图如图8.4-5，于是12u v ws s u s v s w xf f yzf x u x v x w x y∂∂∂∂∂∂∂'''=++=++∂∂∂∂∂∂∂， 2v ws s v s w xf xzf y v y w y y∂∂∂∂∂''=+=-+∂∂∂∂∂， ws s wxyf z w z∂∂∂'==∂∂∂. 其中u f '，v f '，wf '分别表示函数对第一、第二、第三个中间变量求偏导数. 14. 设222,x z f x xy y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭且f 具有一阶连续偏导数，求zx ∂∂与z y ∂∂.解1212()z x y f f x y ∂''=-+∂，1222()z x x y f f y y ⎡⎤∂''=-++⎢⎥∂⎣⎦.其中1f '，2f '分别表示函数对第一、第二个中间变量求偏导数.15.设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.解 2220.u ux y x x y∂∂+=∂∂∂16.求空间曲线2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处的切线与法平面. 解 切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.17. 求曲面222327x y z +-=在点(3,1,1)处的切平面方程和法线方程. 解 切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=.法线方程为311911x y z ---==-. 18. 设从x 轴的正向到l 的转角为θ，求函数22u x xy y =-+在点(1,1)M 处沿l 方向的方向导数(1,1)ul∂∂，并问θ取何值时，方向导数(1,1)u l∂∂：(1)具有最大值；(2)具有最小值；(3)等于零.解 故(1)当π4θ=时，u l ∂∂(2)当5π4θ=时，u l∂∂取得最小值图8.4-5(3)当3π4θ=或7π4θ=时，0.ul∂=∂ 19．在已知的圆锥内嵌入一个长方体，如何选择其长、宽、高，使它的体积最大. 解 设圆锥的底半径为R ，高为h ，以底面圆心为坐标原点，底面圆心到顶点射线方向为z 轴正方向，建立坐标系，则圆锥的表面方程为z h -=， 长方体的体积则为224.V x y z xyz =⨯⨯=3x y R==，13z h =，此时，2max 827V R h =. 20.求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数.解z l a b ⎛⎫⎛⎫∂=--=∂⎝⎝.第8章复习题B 解答1.求极限222(,)(,)limx x y xy x y →+∞+∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 解222(,)(,)lim0x x y xy x y →+∞+∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 2.设2242424,0,(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证明函数(,)f x y 在(0,0)处偏导数存在，但不连续. 证 略.3.设22220,(,)0,0.x y f x y x y +≠=+=⎩试证明(,)f x y 在(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微分. 证 略.4.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+. 解 略.5.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 (0,0,1)2xx f =，(2,0,1)4xy f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zz f =.6.设arcsin(0)xz y y=>，求dz.解21d d d x z x y y y ⎫=-⎪⎭7.设yzu x =，求du. 解 ()1d dl n d l n dyz u x yz x xz x y xyx z -=++ 8.设arctany x =，求d d yx. 解d d y x yx x y+=- 9.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解 ()223223222z z z z y ze xy z y z e x e xy ∂--=∂- 10．设(,)f x y 具有连续偏导数，且当0x ≠时有2(,)1f x x =，2(,)x f x x x '=，求2(,)y f x x '.解 21(,)2y f x x '=-.11.设,sin ,sin u v x y u x v y +=+⎧⎪⎨=⎪⎩确定函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，求d u ，d v .解 ()s i nc o s (s i n c o s )c o s c o sv x v d x u x v d y du x v y u +--=+，()c o s s i n (s i n c o s )c o s c o sy u v d x u y u d y dv x v y u -++=+.12.（0a >，为常数）上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和为a .提示：设(,,)F x y z =13.求函数u x y z =++在球面2221x y z ++=上点000(,,)x y z 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数. 解000(,,)x y z ul ∂=∂14.在椭球面2222221x y z ++=上求一点，使得函数222(,,)f x y z x y z =++沿着点(1,1,1)A 到点(2,0,1)B 的方向导数具有最大值.解 点11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭15.证明：函数(1)cos yyz e x ye =+-有无穷多个极大值，但无极小值.第八章测试题一解答（1小时30分）一、填空题：（12分，每小题6分）1-1.设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定，则3z z x y ∂∂+∂∂= . 2； 1-2.函数z 在点(0,0)O 处沿l =e i 方向的方向导数(0,0)f l∂∂= ，而偏导数(0,0)zx ∂∂ . 答案：1；不存在. 二、选择题：（15分，每小题5分）2-1. (,)f x y 在点00(,)x y 连续是(,)f x y 在该点可微分的 条件. B. A.充分； B.必要； C. 充分必要； D.非充分且非必要.2-2. 下面叙述正确的是 . C.A. 函数(,)z f x y =在区域D 内的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂及2zy x∂∂∂存在，则这两个二阶混合偏导数在D 内相等；B. (,)z f x y =在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的充分必要条件；C. (,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂及z y∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分的必要条件；D. (,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂及z y∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分的充分条件.2-3.函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在在点（0，0）处（ ）. A .A .不连续、偏导数存在； B.连续且偏导数存在；C. 连续、偏导数不存在；D.不连续、偏导数不存在. 三、计算题：（56分每小题8分）3-1.讨论下列极限：(,)(0,0)limx y x yx y →+-；解 极限不存在.3-2.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . (,1)()1x f x x '==.3-3.求全微分：2222s t u s t +=-()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----3-4.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d zx. 解2314x -=3-5.设(,)z z x y =是由方程2cos sin 0z x z y --=所确定的隐函数，求2zx y∂∂∂.解 232(sin cos )z xy x y z x z ∂=-∂∂+3-6.求曲面arctan y z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切平面方程. 解 切平面方程为202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 3-7.求函数22ln()z x y =+在点(1,1)处沿与x 轴正向夹角为60的方向的方向导数. 解(1,2)11112222z l ∂=⋅+⋅=+∂. 四.在平面0x z +=上求一点，使它到点(1,1,1)A 和(2,3,1)B -的距离平方和最小（用拉格朗日乘数法）（10分）.解 设所求点为(,,)x y z ，则此点到点(1,1,1)A 和(2,3,1)B -的距离平方和为222222(1)(1)(1)(2)(3)(1)u x y z x y z =-+-+-+-+-++3,42,34x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩由于驻点惟一，根据问题本身可知，距离平方和最小的点必定存在，故所求点为33,2,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.五. （7分） 设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，试证：2220u ux y x x y∂∂+=∂∂∂.证明略.第八章测试题二解答1.求函数z =的定义域.解 22{(,)|2}D x y x x y x =≤+<. 2.设xz xy y=+，其中()x t ϕ=，()y t ψ=均可微，求d d z t .解2d d d 1d d d z z x z y x y x t x t y t y y ϕψ⎛⎫⎛⎫∂∂''=⋅+⋅=++- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 3. 设函数()y y x =由(cos )(sin )1y xx y +=确定，求d d yx. 解 (cos )tan (sin )ln sin (cos )ln cos (sin )cot y x y xx y x y yy x x y x y-'=+. 4.设(,)u v ϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂. 证 略.5.求函数u xyz =在点(1,1,1)沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ=的方向导数，u grad 的值，及u grad 的方向余弦.解 u ==grad ，u grad的三个方向余弦为cos α=，cos β=，cos γ=.6.求螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩在点(,0,0)a 处的切线及法平面方程.解 切线方程为0x a y za b-==， 即 ,0.x a by az =⎧⎨-=⎩法平面方程为 (0)(0)0a y b z -+-=， 即 0ay bz +=.7. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程. 解 切平面方程为 21462x y z ++=±.。
