第二章 矩阵补充习题
1．已知对于n 阶方阵A ，存在自由数k ，使得k
A 0=，试证明矩阵E –A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E 为n 阶单位阵）．
【详解】 由代数公式k k-11-a (1a)(1+a++a )=- 以及A 与E 可交换，有
k k 1E-A (E A)(E+A+A )-=-+ ，而k A 0=
故有k 1(E A)(E+A+A )E --+= 可知E –A 可逆，且有
-1
k 1E-A E+A+A -=+ （）．
2．设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数．记分块矩阵
*
0T E P A
A α⎛⎫= ⎪-⎝⎭，T A Q b αα
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
其中*
A 是矩阵A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵． (1) 计算并化简PQ ；
(2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是1
T A b αα-≠．
【分析】 本题的关键是对于含*
A 的计算或证明题，首先应联想到关系式
**AA A A A E ==．另外，在进行矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些
是数，左乘还是右乘．
【详解】 （1）因*
*
AA A A A E ==，故
*
**0T T T
T T E A
A PQ A
A A A A A b A b ααααα
ααα
⎛⎫⎛
⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=()1
0T A A b A α
αα-⎛⎫
⎪ ⎪-⎝
⎭． （2）由（1）可得 ()2
1
T
P Q A b A αα-=
-，
而,0,PQ P Q P A ==≠ 且，故
()
1T Q A b
A αα-=-．
由此可知，0Q ≠的充分必要条件为1
T A b αα-≠，即矩阵Q 可逆的充分必要条件是
1T A b αα-≠．
【评注】 本题综合考查了矩阵乘法运算、矩阵乘积行列式的性质以及伴随矩阵的性质．要特别注意重要公式：**AA A A A E ==，且A 可逆时，有
()
()*1
1*
1
**1
,,,A A A A A A
A A A A A A
----====
．
3．设A 和B 均为n n ⨯矩阵，则必有
(A) .B A B A +=+ (B) AB=BA.
(C) BA AB =. (D) 111)(---+=+B A B A . 【 】 【详解】 矩阵的乘法运算不满足交换律，因此一般BA AB ≠,但B A AB =，而行列式是数，可交换，于是有B A AB =BA A B ==，可见应选(C).
对于(A), (D)，主要考查行列式和矩阵的运算性质，均可通过反例说明不成立。
4．设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=--1
2n n A A .
【分析】 本题若分别计算出n
A 及1
-n A
，再代入1
2--n n A
A 求其值，则将问题弄复杂
化了。一般而言，对于一个填空题，可先试算 ,,3
2
A A ,找出规律后，在进行计算。
【详解】 因为
A A 22020402021010201011010201012
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=，
故有 .0)2(2221
=-=---A A A A A n n n
5．设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T
α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵
T
E A αα-=， T a
E B αα1
+
=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= .
【分析】 这里T
αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并
注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设，有
)1
)((T T
a E E AB αααα+
-= =T
T T T a a E αααααααα⋅-+-11
=T
T T T a a E αααααααα)(11-+-
=T
T T a a E αααααα21-+-
=E a
a E T
=+--+αα)121(,
于是有 0121=+--a a ，即 0122
=-+a a ，解得 .1,2
1-==a a 由于A<0 ,故a=-1.
6．已知X=AX+B, 其中
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101111010A ， ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ， 求矩阵X.
【详解】由X=AX+B,，有 (E-A)X=B, 于是B A E X 1
)(--=.
而 1
1
201101011)(--⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=-A E =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--11012312031，
故 B A E X 1)(--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--110123120
31.110213350211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡--
7． 设
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=4443
42
41
3433323124232221
14131211a a a a a a a a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4142
43
44
31323334212223
2411121314
a a a a a a a a a a a a a a a a B ,
