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Possion过程中的条件分布摘要：Possion过程是相对简单但理论丰富且实用性强的计数过程。
其理论广泛应用于精算学、排队论等学科，在工程和实践中的应用更为广泛和深入。
Possion过程的性质在诸多文献中有详尽的讨论，有关条件分布的结论也零星地见于一些文献，但都不成体系。
本文系统地归纳讨论了Possion过程及复合Possion 过程中的条件分布，以资学习者参考。
关键词：Possion过程；复合Possion过程；条件分布1 齐次Possion过程的条件分布设{N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程，即{N（t），t≥0}满足下列条件：（1）N（0）=0；（2）N（t）是独立增量过程；（3）P{N（t+△t）-N（t）≥2}=o （△t）；（4）。
以N（t）表示[0，t]时间间隔内到达的顾客数，以X1表示第一个顾客到达的时间，Xn（n>1）表示第n-1个顾客与第n个顾客到达的时间间隔，以Sn表示第n个顾客到达的时刻，易知Sn=X1+…+Xn，n≥1 。
定理1[2] {N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程的Possion过程，则（1）到达时间间隔序列X1，X2，…是相互独立的随机变量序列，并具有相同的均值为1/λ的指数分布。
（2）Sn服从参数为n，λ的Г分布，其概率密度为。
为说明到达时刻的联合分布和条件分布，先简要介绍顺序统计量。
设X1，…，Xn是n个随机变量，其顺序统计量记为X（1），…，X（n），若Xi（1≤i≤n）是独立同分布的连续型随机变量，且有分布密度函数为f（xi）时，顺序统计量X（1），…，X（n）的联合密度为若Xi 服从[0，t）上均匀分布则引理1[1] 记X1，X2，…，Xn为n个独立的均匀分布于（a，b）上的随机变量的顺序统计量，则在Xn=x的条件下，X1，X2，…，Xn-1 联合分布与n-1个独立的均匀分布于（a，x）的顺序统计量的联合分布具有相同的分布。
即在Xn=x的条件下，X1，X2，…，Xn-1的概率密度为。
第3章测验题解答一、填空题1.设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，则均值函数为__t λ____；相关函数为__s st λλ+2______。
答案：均值函数为：t X t X E t X E t m X λ=-==)]0()([)]([)(相关函数为：)]}()()()[({)]()([),(s X s X t X s X E t X s X E t s R X +-== 2)]([)]()()][0()([s X E s X t X X s X E +--=2)]}([{)]([)]()([)]0()([s X E s X D s X t X E X s X E ++--=2)()(s s s t s λλλλ++-=)1(2+=+=t s s st λλλλ2. 设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松过程，}1,{≥n T n 是对应的时间间隔序列，则随机变量,...)2,1(=n T n 独立同分布服从___________。
答案：均值为λ/1的指数分布3.设}0,{≥n W n 是与泊松过程}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列，则n W 服从________，概率密度为______________。
答案：参数为n 与λ的Γ分布)!1(1)(0{)(---=n n t t en W t f λλλ<≥t t4.泊松过程的定义：称计数过程(){},0t ≥X t 为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件：()100;X =（）;()(2)X t 是独立、平稳增量过程； ()(3)X t 满足下列两式：)(}1)()({h t t X h t X P ολ+==-+)(}2)()({h t X h t X P ο=≥-+5 .设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，方差函数为______；协方差函数为__________。
