高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理教案 新人教A版选修2-3

1.3二项式定理学习目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例： （1）01()()nnnr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1nr rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1rn rr r n T C ab -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mn mn n C C -=）．直线2nr=是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk nn n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵1(1)1nr r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122nr nn n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()nnnr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =，0127a a a a ++++1=-①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=②①-②得：713572()13a a a a +++=--，∴1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+②得：702462()13a a a a +++=-+，∴70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C 例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180四、课堂练习：（1）()2025x y -的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项；（2）1)nx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为． （3）0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=（）A ．63 B.64 C.31 D.32（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++的值答案：（1）202，203，11； （2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴10n =，3734101()T C x==；（3）A ．五、小结：1．性质1是组合数公式rn rn nC C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴6611660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=， 一般地当a 较小时(1)1na na +≈+。

1.3 二项式定理 第一课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标(1)初步掌握求二项展开式.(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计 （一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nb a ）（ ； 2.(1)n b a ）（+的二项展开式中共有 项； (2)二项式系数： ；(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第 项. 2．预习自测1.二项式91()x x-的展开式的第3项是( )A ．－84x 3B ．84x 3C ．－36x 5D ．36x 5 解：D2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D3．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．解：－160 （二）课堂设计1．知识回顾(1)错误！未找到引用源。

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2．问题探究问题探究一探究归纳，形成二项式定理●活动一回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？思考：ab3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4●活动二大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r…+C n n b n(n∈N*)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C r n（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.问题探究二利用二项式定理能解决问题？1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为T r＋1＝5rC(2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)r x10－3 r，令10-3r＝1得，r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5y)4的展开式中x 3y 2的系数为________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C 4－ry r ，令r ＝2得y 2的系数24C 2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式1.二项式定理：01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有错误！未找到引用源。

二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣． 设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。

学 习 资 料 专 题1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n与C n ＋12n相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； (2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． ( ) (2)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn . ( ) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确． (2)× 二项展开式的二项式系数的和应为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．[答案] (1)√ (2)× (3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )【导学号：95032084】A．1 B．－1C．215D．315B[令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )【导学号：95032085】A．1,4,6,4,1B．1，－4,6，－4,1C．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3)D．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3,4)A[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．][合作探究·攻重难]个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图1­3­1[思路探究]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.[解]S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋2＋220＝274.1．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．n 2－n ＋62[前n －1行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.]012 2 018(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 018|的值.【导学号：95032086】[思路探究] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(－1)2 018＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＋a 2 018＝32 018. ②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝1－32 018，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝1－32 0182.(3)∵T r ＋1＝C r2 018(－2x )r＝(－1)r·C r2 018·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＋a 2018＝32 018.，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n x ＝y ＝1即可．＋－2，－－2.2．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.[解] (1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.(2)在(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， ① 令x ＝－1得(－2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4. ②所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示] 对称性，因为C mn ＝C n －mn ，也可以从f (r )＝C rn 的图象中得到． 2．计算C knC k －1n ，并说明你得到的结论．[提示] C k n C k －1n ＝n －k ＋1k.当k <n ＋12时，C knC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．3．二项式系数何时取得最大值？[提示] 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －12n，C n ＋12n相等，且同时取得最大值．已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.【导学号：95032087】[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解] 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大， 则有{ C r 53r≥C r －15·3r －1，r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.3．(1＋2x )n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6， 依题意有C 5n 25＝C 6n ·26⇒n ＝8，∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.[当堂达标·固双基]1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )A．11 B．10C．9 D．8D[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )【导学号：95032088】A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项A[因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．]3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．5[(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y ＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________.【导学号：95032089】1 64[在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.]5．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．[解](a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.。