《概率与数理统计》课程习题集
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习题
【说明】：本课程《概率与数理统计》（编号为01008）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。
一、计算题1
1.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。
(1) A出现，B、C不出现；
(2) A、B都出现，而C不出现；
(3) 所有三个事件都出现；
(4) 三个事件中至少一个出现；
(5) 三个事件中至少两个出现。
2.在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。试用样本点表示下列事件：
（1）AB；（2）A+B；（3）B；（4）A-B；（5）BC
3.写出下列随机试验的样本空间：
（1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；
（2）对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；
（3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。
4.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生；
（2）A，B，C都发生；
（3）A，B，C中不多于一个发生。
5.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
（1）至少有一人命中目标
（2）恰有一人命中目标
（3）恰有二人命中目标
（4）最多有一人命中目标
（5）三人均命中目标
6. 袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。
7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。
8. 某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，…，9
中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。
9. 同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出
现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。
10. 一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第
一次为次品，第二次为正品的概率。
11. 设连续型随机变量X 的分布函数为
求（1）系数A 及B ；（2）X 的概率密度()f x ；（3）X 的取值落在（1，2）内的概率。
12. 假设X 是连续随机变量，其密度函数为
求：（1）c 的值；（2）(11)P X -<<
13. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++，
求常数Ａ，Ｂ，Ｃ(),()x y -∞<<+∞-∞<<+∞．
14. 设随机变量X 的分布函数为
求{2},{03},{252}P X P X P X <<≤<<；（2）求概率密度()X f x
15. 设随机变量X 的概率密度为
16. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-≤≤-+=其它01010
11)(x x x x x f ，求E(X)，D(X)。
17. 设X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤=-0
2
2)(x e x e x f x
x
，试求|X|的数学期望。
18. 搜索沉船，在时间t 内发现沉船的概率为1t e λ--（λ>0），求为了发现沉船所需的平
均搜索时间。
19. 设Ｘ服从参数为λ的指数分布，即Ｘ有密度函数
求：2
E X E X （），（）。
20.
*X =
X 的标准化随机变量，求)()(*
*X D X E 及。
二、计算题2
21. 已知X~B(n,p)，试求参数n,p 的矩法估计值。 22. 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布
⎪⎩⎪
⎨⎧∉∈-=]
,[0
],[1),,(b a x b a x a
b b a x f ，试求参数a,b 的矩法估计量。
23. 设21,,N n X X μσ⋅⋅⋅是来自（，）的样本，求2
μσ，的最大似然估计。
24. 设有一批产品。为估计其废品率p ，随机取一样本X 1，X 2，…，X n ，其中
⎩⎨
⎧=取得废品
取得合格品
10i X （i=1,2,…,n） 则∑===n
i i X n X p
1
1ˆ是p 的一致无偏估计量。 25. 设总体X 的均值μ及方差2σ都存在，且有20σ>。但μ，2σ均未知。又设
12,,...,n X X X 是来自X 的样本。试求μ，2σ的矩估计量。
26. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布。
今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s 2
=7200（小时2
）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02，查表见后面附表）?
概率论与数理统计附表 标准正态分布部分表
