2020届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题。
1．已知全集为R ，集合{}2xA y y ==，{}240B x x =∈-≤Z ，则下列结论正确的是（ ）． A ．{}0,1,2A B =I B ．[)1,A B ∞=+U C ．()(],1R A B =-∞U ð D ．(){}2,1,0R A B =--I ð【答案】D【解析】先求解集合,A B 再判断即可. 【详解】{}{}21xA y y y y ===≥,{}{}2402,1,0,1,2B x x =∈-≤=--Z .故{}1,2A B =I ,A 错误.{}[)2,1,01,A B =-∞-+U U ,B 错误.()(]{},12RA B =-∞U U ð.C 错误.(){}2,1,0RA B =--Ið.D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,属于基础题型. 2．设a ，b ∈R ，那么“＞1”是“a ＞b ＞0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：a ＞b ＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a ＞b ＞0，由充要条件的定义可得答案．解：由不等式的性质，a ＞b ＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a ＞b ＞0． 故是a ＞b ＞0的必要不充分条件．故选B ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．3．已知,x y ∈R ，i 为虚数单位，且()2i 15i x y +-=+，则()1i x y+-=（ ）． A ．2- B ．2i - C ．2D ．2i【答案】B【解析】根据复数相等的性质求解,x y 再计算()1i x y+-即可.【详解】因为()2i 15i x y +-=+,故25,1x y +=-=解得3,1x y ==-. 故()()21i 1i 2x yi +-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题型. 4．.若log 2log 20a b <<，则（ ） A ．01a b <<< B ．01b a <<< C ．1a b >> D ．1b a >>【答案】B【解析】利用对数函数的性质求解． 【详解】∵log 2lo 1g 20log a b a <<=，∴0＜a ＜1，0＜b ＜1，∵2＞1，要使log b 2＜0 ∴0＜b ＜1，∵log 2log 20a b <<，∴a ＞b ，且0＜a ＜1，∴01b a <<<． 故选B ． 【点睛】本题考查两个数的大小的比较，注意对数函数的性质的合理运用，属于基础题． 5．在ABC V 中，3AB =，4AC =，13BC =AC 边上的高为（ ）．A ．2B ．2C ．D ．【答案】B【解析】利用余弦定理求解A 的大小,再利用AC 边上的高sin h AB A =⋅即可. 【详解】易得222916131cos 2242AB AC BC A AB AC +-+-===⋅,又()0,A π∈.故3A π=.故AC 边上的高sin 2h AB A =⋅=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了解三角形的运用,需要根据题意选取合适的公式求解即可.属于基础题型.6．若()()21ln 22f x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，则b 的取值范围是（ ）．A ．()1,-+∞B ．()0,∞+C ．(],1-∞-D ．(],0-∞【答案】D【解析】根据减函数的导函数值在区间上小于等于0求解即可. 【详解】()'2bf x x x =-++,由题02b x x -+≤+在()0,∞+上恒成立.又20x +>故()2b x x ≤+在()0,∞+上恒成立.又()2y x x =+对称轴1x =-.故()2y x x =+在()0,∞+单调递增.故()20y x x =+>,故0b ≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导函数解决单调性的问题,同时也考查了恒成立问题的参变分离方法,属于基础题型.7．设a r ，b r均为单位向量，且它们的夹角为2π3，当a kb -r r 取最小值时，实数k 的值为（ ）．A ．12- B ．1- C ．12D ．1【答案】A【解析】将a kb -r r平方再分析最值即可.【详解】()222221a kb a ka b kbk k -=-⋅+=++r rr r r r .故当12k =-时, a kb -r r 取最小值.故选：A 【点睛】本题主要考查了平行向量的模长运用,常用平方再分析的方法,属于基础题型.8．已知函数()2cos2f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）． A ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 B ．()f x 的图像向左平移π6个单位后为偶函数图像C ．()f x 的图像关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的最小正周期为π，且在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 【答案】B【解析】利用辅助角公式化简再分析即可. 【详解】()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+.对A,代入π12x =有2=1263πππ⨯+,不为正弦函数对称轴.故A 错误. 对B, ()f x 的图像向左平移π6个单位后为()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数,故B 正确.对C,代入5π6x =有52sin(2)066ππ⨯+≠,故C 错误. 对D,()f x 最小正周期为π,在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦不为单调递增区间.故D 错误. 故选：B【点睛】本题主要考查了辅助角公式的运用以及三角函数图像的性质判定,属于基础题型. 9．函数f(x)＝log 2|x|，g(x)＝－x 2＋2，则f(x)·g(x)的图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数f(x)，g(x)都为偶函数， 所以f(x)·g(x)也为偶函数， 所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f(x)·g(x)＝(－x 2＋2)log 2|x|，当0<x<1时，f(x)·g(x)<0，排除B ，故选C. 10．已知数列{}n a ，若点()(),n n a n +∈N 均在直线()83y k x =-+上，则{}na 的前15项和等于（ ）． A ．42 B ．45C ．48D ．51【答案】B【解析】利用等差数列性质求解即可. 【详解】{}n a 的前15项和15815S a =,又()88833a k =-+=,故1581545S a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的的性质及求和公式,属于基础题型. 11．已知函数()2n y a xn +=∈N 的图像在1x =处的切线斜率为1n a+，且当1n =时，此切线过点()2,3，则7a 的值为（ ）． A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】D【解析】求导后利用导函数的几何意义求解数列的递推公式,再推导出{}n a 为等比数列,求通项公式再求7a 即可. 【详解】由题'2n y a x =,故12n n a a +=.又当1n =时,此切线过点()2,3,此时斜率1'2y a =,故切线方程为()1322y a x -=-,且与21y a x =相切.联立方程得()22111113222430a x a x a x a x a +-=⇒-+-=.显然10a ≠.故判别式()()21111244301a a a a --=⇒=.故{}n a 是以11a =为首项,公比为2的等比数列.故12n n a -=.故67264a ==.故选：D 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及数列的递推公式求解通项公式的方法.需要根据导数的几何意义求解对应的切线方程,再利用与二次函数相切则联立方程判别式为0的方法等.属于中等题型.12．已知奇函数()f x 满足()()()2f x f x x -=-∈R ，且[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则关于x 的方程()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和是（ ）． A ．10 B ．8C ．6D ．4【答案】C【解析】根据函数的性质,且已知[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+,可画出对应的函数图像,再分析()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和即可. 【详解】由题,()()()2f x f x x -=-∈R ,则()()()24f x f x f x =-+=+,故()f x 周期为4. 又奇函数()f x 关于()0,0对称,且()()2()f x f x f x -=-=-,故()f x 关于1x =-对称,又[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+则可画出区间[]4,8-上对应的函数图像.易得()()001f x m m -=<<即()()01f x m m =<<在区间[]4,8-上的根分别关于-3,1,5对称,故零点之和为()23156⨯-++=⎡⎤⎣⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的关系推导函数性质以及函数图像的问题.需要先根据[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+,画出[]0,1x ∈的图像,再根据函数性质补全图像.再利用图像求得零点之和.属于中等题型.二、填空题13．已知πcos()6x -=，则πcos cos()3x x +-=__________． 【答案】-1【解析】注意观察角x 、36x x ππ--、的关系可发现x 、3x π-均能用已知角和特殊角6π表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果． 【详解】πcos cos()3x x +-=][cos cos 6666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos cos 2166x ππ⎛⎛⎫=-=⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 故答案为：-1． 【点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.14．设向量1e u r ，2e u u r 分别为单位向量，且夹角为π3，若122a e e =-u r u u r r，122b e e =+u r u u r r ，则⋅=r r a b ______．【答案】32【解析】根据平面向量的数量积运算即可. 【详解】()()221212112233222322222e e e e a e e e e b -+=+⋅-=+-=⋅=⋅u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r r r .故答案为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算,属于基础题型.15．已知向量()2,3a =r ，()1,2b =-r ，若ma nb +r r 与2a b -r r 共线，则n m=______．【答案】2-【解析】根据向量共线的方法分析系数关系即可. 【详解】因为ma nb +r r 与2a b -r r 共线,故()()()220ma nb a b m a n b λλλ+=-⇒-++=r r r r r r r ,又()2,3a =r,()1,2b =-r 不共线,根据平面向量基本定理得0,20m n λλ-=+=.故22n m λλ-==-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查了平行向量的性质与用法,直接根据平面向量基本定理判定即可.属于基础题型.16．已知数列{}n a 与{}n b 满足()1111nn n n n a b b a +++=+-，()312nnb +-=，且12a =，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则64S =______． 【答案】560-【解析】分n 为奇数和偶数两种情况讨论即可. 【详解】由()312nnb +-=,故当n 为偶数时,2n b =；当n 为奇数时,1n b =.又()1111nn n n n a b b a +++=+-,12a =故12121220204a b b a a a a +=⇒+=⇒=-. 故当n 为偶数时, 122n n a a ++=；当n 为奇数时, 120n n a a ++=. 所以当n 为偶数时, 111122120n n n n n na a a a a a ++--+=⎧⇒-=⎨+=⎩,即奇数项为公差为1的等差数列.当n 为奇数时, 111120222n n n n n n a a a a a a ++--+=⎧⇒-=-⎨+=⎩即偶数项为公差为-2的等差数列.又12a =,故641234636413632464...(...)(...)S a a a a a a a a a a a a =++++++=+++++++ 13632464(...)(...)(23...33)(4...66)a a a a a a =+++++++=+++-++32(233)32(466)16(35)56022⨯+⨯+=-=⨯-=-.故答案为：560- 【点睛】本题主要考查了奇偶数列的求和问题,需要根据n 为奇数和偶数两种情况进行分类讨论,求和的时候再直接写出各项进行计算分析即可.属于中等题型.三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()()2222sin sin 0bc A b a C -+-=．（1）求证：a ，b ，c 成等比数列； （2）若π3B =，试判断ABC V 的形状． 【答案】（1）证明见解析（2）等边三角形【解析】(1)利用正弦定理以及因式分解的方法证明20b ac -=即可. (2)利用余弦定理以及(1)中的2b ac =化简求得a c =即可. 【详解】（1）由已知应用正弦定理得()()22220b c a ba c -+-=,即()()20b aca c -+=,由于0a c +>,则20b ac -= 故a ,b ,c 成等比数列． （2）若π3B =,则222222cos b a c ac B a c ac ++-=+-, 由（1）知2b ac =,则2220+-=a c ac ,即a c =, 所以a b c ==,故ABC V 为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题目信息选择合适的定理进行化简分析,属于中等题型.18．设向量()sin 2,2a x =r ，()1,sin b x =r ，()f x a b =⋅rr ，角A ，B ，C 分别为ABCV 的三个内角，若()f x 在x A =处取得极值．（1）试求A 与()f A 的值；（2）当1AB AC ⋅=u u u r u u u r，求ABC V 的最小外接圆半径．【答案】（1）π3A =，()f A=2【解析】(1)化简()f x a b =⋅r r 再求导根据在x A =处取得极值可得π3A =,再算得()f A 即可.(2)化简1AB AC ⋅=u u u r u u u r,再利用余弦定理与基本不等式可得BC ≥u u u r 再利用正弦定理求外接圆的半径满足的关系式即可. 【详解】（1）由()sin 2,2a x =r ,()1,sin b x =r 得()sin 22sin f x a b x x =⋅=+rr ,则()()()22cos22cos 4cos 2cos 222cos 1cos 1f x x x x x x x '=+=+-=-+,由于()f x 在x A =处取得极值,那么()()()22cos 1cos 10f A A A '=-+=,解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又0πA <<,则π3A =,()2ππsin 2sin 33f A =+=． （2）若1AB AC ⋅=u u u r u u u r ,即πcos 13AB AC ⋅=u u u r u u u r ,则2AB AC ⋅=u u u r u u u r ,所以222π2cos 23BC AB AC AB AC AB AC =+-⋅≥⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,即BC ≥u u u r则2πsin sin 3BC R A =≥=u u u r 故ABC V． 【点睛】本题主要考查了解三角形与向量、导数以及基本不等式的综合运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简,同时注意观察余弦定理中的结构找到基本不等式的用法即可.属于中等题型.19．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足21b a =，423b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）()21n a n n +=+∈N （2）()3212n -或()1212n ⎡⎤--⎣⎦ 【解析】(1)分1,2n n =≥两种情况,利用通项公式与前n 项和的关系求解即可.(2)利用基本量法求解等比数列{}n b 的首项与公比,再利用求和公式求解即可.【详解】（1）由22n S n n =+得13a =,且2n ≥时,()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,显然13a =满足21n a n =+,故()21n a n n +=+∈N ．（2）若等比数列{}n b 满足21b a =,423b a a =+,则由（1）得21341312b b q b b q ==⎧⎨==⎩,解得1322b q ⎧=⎪⎨⎪=⎩,或1322b q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以()()()1312132211122n nn n b q T q --===---或()()3121221122n n n T ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤==--⎣⎦+ 【点睛】本题主要考查了根据前n 项和与求通项公式的方法,同时也考查了等比数列的基本量求法即求和的问题,属于中等题型.20．在数列{}n a 中，123a =，若函数()31f x x =+在点()()1,1f 处的切线过点()1,n n a a +．（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和公式n S ．【答案】（1）证明见解析（2）()113234n n ++- 【解析】(1)求导后求导切线方程,代入()1,n n a a +求得131n n a a +=-,再构造数列证明即可.(2)根据(1)中构造的等比数列求出()1312n n a =+,再分组求和即可. 【详解】 （1）由()31f x x =+得()23f x x '=,()12f =,()13f '=, 则()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-,即31y x =-． 又此切线过点()1,n n a a +,则131n n a a +=-,即111322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 故12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为3的等比数列． （2）又12a =,由（1）知1111133222n n n a a -⎛⎫-=-⋅=⋅ ⎪⎝⎭, 则()1312n n a =+,()()1313113232134n n n S n n +⎡⎤-⎢⎥=+=+--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及构造数列求通项公式的方法,同时也考查了分组求和以及等比数列求和公式等.属于中等题型.21．已知()()2x f x ax e =+，()242g x x x =-++． 对于函数()f x 、()g x ，若存在常数k ，b ，使得x ∀∈R ，不等式()()f x kx b g x ≥+≥都成立，则称直线是y kx b =+函数()f x 与()g x 的分界线．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，试探究函数()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由．【答案】（1）见解析（2）2a =时，()f x 与()g x 存在“分界线42y x =+”，理由见解析【解析】(1)求导后分0a =,0a >与0a <三种情况讨论即可.(2)由题意,代入0x =时,有2b =,再根据二次函数的恒成立问题求得4k =,再证明()()()()()21220x h x f x kx b x e x =-+=+-+≥即可.【详解】（1）由()()2x f x ax e =+得()()2x f x ax a e '=++,若0a =时,有()20xf x e '=>,则()f x 在R 上单调递增； 若0a ≠时,由()0f x '=解得21x a =--, 若0a >时,对于2,1x a ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭,有()0f x '<；21,x a ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭,有()0f x '>, 则()f x 在2,1a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递减,在21,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若0a <时,对于2,1x a ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭,有()0f x '>；21,x a ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭,有()0f x '<, 则()f x 在2,1a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递增,在21,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）当2a =时,()()21x f x x e =+,()242g x x x =-++, 若()()f x kx b g x ≥+≥对x ∀∈R 都成立,即()22142x x e kx b x x +≥+≥-++对x ∀∈R 都成立． 则0x =时,有22b ≥≥；且242kx b x x +≥-++,对x ∀∈R 都成立,即2b =,()2420x k x b +-+-≥对x ∀∈R 都成立． 所以2b = ,4k =．此时,令()()()()()2122xh x f x kx b x e x =-+=+-+, 则()()224xh x x e '=+-, 令()()224()x h x x e t x '=+-=，在(,2]-∞-上()()224()0xh x x e t x '=+-=<恒成立，又在()2,-+∞上()()230xt x x e '=+>， ∴()()224x h x x e '=+-在()2,-+∞单增且()()0020240h e '=+-=， 从而有0x ≥时,()0h x '≥；20x -<<时,()0h x '<,即在(),0-∞()0h x '< 所以()h x 在(),0-∞上递减,在()0,∞+上递增．因此()()00h x h ≥=,即()42f x x ≥+．故2a =时,()f x 与()g x 存在“分界线42y x =+”．【点睛】本题主要考查了含参数的单调性讨论以及新定义的函数问题.主要是根据题意,代入特殊值找到对应的参数,再利用恒成立问题求解即可.属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点P 为1C 上任意一点，求点P 到2C 的距离的取值范围．【答案】（1）()2224x y ++=，20x y --=（2）[]0,2 【解析】(1)易得2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩表示圆,再利用极坐标中的公式化简πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (2)设曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2P ϕϕ-,求出P 到曲线2C 的距离公式,再利用三角函数的值域求解即可.【详解】（1）由2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩消去参数ϕ,得()2224x y ++=, 则曲线1C 的普通方程为()2224x y ++=．由πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得cos sin 22ρθρθ-=即2x y -=． 则曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=．（2）曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2P ϕϕ-到曲线2C 的距离为π2cos 4d ϕ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭, 故点P 到曲线2C 的距离的取值范围为[]0,2．【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了利用参数方程求距离最值的问题,属于中等题型.。
