求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现

第38卷第1期2024年1月山东理工大学学报(自然科学版)Journal of Shandong University of Technology(Natural Science Edition)Vol.38No.1Jan.2024收稿日期:20221209基金项目:陕西省自然科学基金项目(2018JQ1043)第一作者:栗雪娟,女,lxj_zk@;通信作者:王丹,女,1611182118@文章编号:1672-6197(2024)01-0073-06Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式栗雪娟,王丹(西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055)摘要:研究四阶Cahn-Hilliard 方程的数值求解方法㊂给出组合型超紧致差分格式,将其用于四阶Cahn-Hilliard 方程的空间导数离散,采用四阶Runge-Kutta 格式离散时间导数,将二者结合得到四阶Cahn-Hilliard 方程的离散格式,并给出了该格式的误差估计㊂通过编程计算得到其数值解,并与精确解进行对比,结果表明本文的数值方法误差小,验证了所提方法的有效性和可行性㊂关键词:四阶Cahn-Hilliard 方程;组合型超紧致差分方法;四阶Runge-Kutta 方法;误差估计中图分类号:TB532.1;TB553文献标志码:AA supercompact finite difference scheme for Cahn-Hilliard equationsLI Xuejuan,WANG Dan(School of Science,Xiᶄan University of Architecture and Technology,Xiᶄan 710055,China)Abstract :A numerical method for solving the fourth order Cahn-Hilliard equation is studied.The combi-national ultra-compact difference scheme is given and applied to the spatial derivative discretization of the fourth order Cahn-Hilliard equation.The fourth-order Runge-Kutta scheme is used to discrete time deriv-atives.The discrete scheme of the fourth order Cahn-Hilliard equation is obtained by combining the two methods,and the error estimate of the scheme is given.Finally,the numerical solution is obtained by programming and compared with the exact solution.The results show that the numerical method in this paper has a small error,verifying the effectiveness and feasibility of the proposed method.Keywords :fourth order Cahn-Hilliard equation;combinational supercompact difference scheme;fourthorder Runge-Kutta;error estimation㊀㊀本文考虑的四阶Cahn-Hilliard 方程为u t -f u ()xx +ku xxxx =0,x ɪ0,2π[],t >0,u x ,0()=u 0x (),x ɪ0,2π[],u 0,t ()=0,u 2π,t ()=0,t >0,ìîíïïïï(1)式中:求解区域为0,2π[],且kn ȡ0;f u ()为光滑函数;u 0x ()表示t =0时刻的初值;u t 表示u 关于时间t 求偏导数,u t =∂u∂t;f u ()xx表示f u ()关于x求二阶偏导数,f u ()xx=∂2f u ()∂x 2;u xxxx 表示u 关于x 求四阶偏导数,u xxxx=∂4u∂x4;u 是混合物中某种物质的浓度,被称为相变量㊂1958年,Cahn 和Hilliard 提出Cahn-Hilliard 方程,该方程最早被用来描述在温度降低时两种均匀的混合物所发生的相分离现象㊂随着学者对该方程的研究越来越深入,该方程的应用也越来越广泛,特别是在材料科学和物理学等领域中有广泛的应用[1-3]㊂㊀Cahn-Hilliard 方程的数值解法目前已有很多研究,文献[4]使用了全离散有限元方法,文献[5]使用了一类二阶稳定的Crank-Nicolson /Adams-Bashforth 离散化的一致性有限元逼近方法,文献[6-7]使用了有限元方法,文献[8]使用了不连续伽辽金有限元方法,文献[9]使用了Cahn-Hilliard 方程的完全离散谱格式,文献[10]使用了高阶超紧致有限差分方法,文献[11]使用了高阶优化组合型紧致有限差分方法㊂综上所述,本文拟对Cahn-Hilliard 方程构造一种新的超紧致差分格式,将空间组合型超紧致差分方法和修正的时间四阶Runge-Kutta 方法相结合,求解Cahn-Hilliard 方程的数值解,得到相对于现有广义格式精度更高的数值求解格式,并对组合型超紧致差分格式进行误差估计,最后通过数值算例验证该方法的可行性㊂1㊀高阶精度数值求解方法1.1㊀空间组合型超紧致差分格式早期的紧致差分格式是在Hermite 多项式的基础上构造而来的,Hermite 多项式中连续三个节点的一阶导数㊁二阶导数和函数值的数值关系可以表示为ð1k =-1a k f i +k +b k fᶄi +k +c k fᵡi +k ()=0㊂(2)1998年,Krishnan 提出如下紧致差分格式:a 1fᶄi -1+a 0fᶄi +a 2fᶄi +1+hb 1fᵡi -1+b 0fᵡi +b 2fᵡi +1()=1h c 1f i -2+c 2f i -1+c 0f i +c 3f i +1+c 4f i +2(),(3)式中:h 为空间网格间距;a 1,a 0,a 2,b 1,b 0,b 2,c 1,c 2,c 0,c 3,c 4均表示差分格式系数;f i 表示i 节点的函数值;fᶄi 和fᵡi 分别表示i 节点的一阶导数值和二阶导数值;f i -1,f i -2,f i +1,f i +2分别表示i 节点依次向前两个节点和依次向后两个节点的函数值;fᶄi -1,fᶄi +1分别表示i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的一阶导数值;fᵡi -1,fᵡi +1分别表示i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的二阶导数值㊂式(2)对应f (x )展开以x i 为邻域的泰勒级数为f x ()=f x i ()+hfᶄx i ()+h 2fᵡx i ()2!+㊀㊀㊀㊀㊀h3f‴x i ()3!+h 4f 4()x i ()4!+h 5f 5()x i ()5!+h 6f 6()x i ()6!+h 7f 7()x i ()7!㊂㊀㊀(4)㊀㊀差分格式的各项系数由式(3)决定,可得到如下的三点六阶超紧致差分格式:716fᶄi +1+fᶄi -1()+fᶄi -h 16fᵡi +1-fᵡi -1()=㊀㊀1516h f i +1-f i -1(),98h fᶄi +1-fᶄi -1()+fᵡi -18fᵡi +1+fᵡi -1()=㊀㊀3h 2f i +1-2f i +f i -1()ìîíïïïïïïïïïï(5)为优化三点六阶紧致差分格式,并保持较好的数值频散,将迎风机制[12]引入式(5),构造出如下三点五阶迎风型超紧致差分格式:78fᶄi -1+fᶄi +h 19fᵡi -1-718fᵡi -172fᵡi +1()=㊀㊀1h -10148f i -1+73f i -1148f i +1(),25fᵡi -1+fᵡi +1h 1910fᶄi -1+165fᶄi +910fᶄi +1()=㊀㊀1h 2-135f i -1-45f i +175f i +1()㊂ìîíïïïïïïïïïï(6)左右边界可达到三阶精度紧致格式:fᶄ1-132fᶄ2+fᶄ3()+3h4fᵡ2+fᵡ3()=㊀㊀-12h f 3-f 2(),fᵡ1+3728h fᶄ3-fᶄ2()+3914h fᶄ1-3356fᵡ3-fᵡ2()=㊀㊀f 3-2f 1+f 2(),ìîíïïïïïïïï(7)fᶄN -132fᶄN -2+fᶄN -1()-3h 4fᵡN -2+fᵡN -1()=㊀㊀12h f N -2-f N -1(),fᵡN -3728h (fᶄN -2-fᶄN -1)-3914h fᶄN -3356(fᵡN -2-㊀㊀fᵡN -1)=1314h 2f N -2-2f N +f N -1()㊂ìîíïïïïïïïïïï(8)上述组合型超紧致差分格式只需要相邻的三个节点便可以同时求得一阶导数和二阶导数的五阶精度近似值,比普通差分格式的节点更少,降低了计算量㊂为便于编程计算,将上述构造的组合型超紧致差分格式重写为矩阵表达形式㊂假设U 为位移矩阵,其大小为m ˑn ,则求一阶导数和二阶导数的离47山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀散过程可以用矩阵运算表示为AF=BU,(9)结合内点的三点五阶迎风型超紧致差分格式和边界点的三点三阶差分格式,组成式(9)中等式左边的矩阵A和等式右边的矩阵B,大小分别为2mˑ2n 和2mˑn;F为奇数行为空间一阶导数和偶数行为空间二阶导数组成的矩阵,大小为2mˑn㊂以上矩阵分别为:A=10-13/23h/4-13/23h/439/14h1-37/28h33/5637/28h-33/567/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/1007/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100⋱⋱⋱⋱⋱⋱7/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100-13/2-3h/4-13/2-3h/410-37/28h-33/5637/28h33/56-39/14h1éëêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúú,(10)F=∂u∂x()1,1∂u∂x()1,2∂u∂x()1,n-1∂u∂x()1,n∂2u∂x2()1,1∂2u∂x2()1,2 ∂2u∂x2()1,n-1∂2u∂x2()1,n︙︙︙︙∂u∂x()m,1∂u∂x()m,2∂u∂x()m,n-1∂u∂x()m,n∂2u∂x2()m,1∂2u∂x2()m,2 ∂2u∂x2()m,n-1∂2u∂x2()m,néëêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúú,(11) B=012/h-12/h-13/7h213/14h213/14h2-101/48h7/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2-101/48h27/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2⋱⋱⋱-101/48h7/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2012/h-12/h-13/7h213/14h213/14h2éëêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúú,(12)U=u1,1u1,2 u1,n-1u1,nu2,1u2,2 u2,n-1u2,n︙︙︙︙u m-1,1u m-1,2 u m-1,n-1u m-1,nu m,1u m,2 u m,n-1u m,néëêêêêêêêùûúúúúúúú㊂(13)㊀㊀由式(9)可得F=A-1BU㊂(14)㊀㊀解线性代数方程组(9)可得Cahn-Hilliard方程的空间一阶导数和二阶导数㊂对于四阶导数,可将已求得的二阶导数替代式(14)中的U,再次使用式(14)进行求取㊂57第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀栗雪娟,等:Cahn-Hilliard方程的一个超紧致有限差分格式1.2㊀时间离散格式在对很多偏微分方程的数值求解中不仅需要高精度的空间离散格式,同时还需要高精度的时间离散格式㊂普通的一阶精度时间离散格式显然满足不了高精度计算要求,因此本文选用时间四阶Runge-Kutta 格式进行时间离散㊂Runge-Kutta 方法是基于欧拉方法改进后的求解偏微分方程的常用方法,这种方法不仅计算效率高,而且稳定性好㊂格式的推算过程如下:假设求解方程为∂u∂t+F u ()=0,(15)式中F 是对空间变量的微分算子,则修正的四阶Runge-Kutta 格式为u 0i =u n i ,u 1i =u n i-Δt 4F u ()()0i,u 2i =u ni -Δt 3F u ()()1i,u 3i =u n i-Δt 2F u ()()2i,u n +1i =u n i -Δt F u ()()3i ㊂ìîíïïïïïïïïïïïï(16)1.3㊀误差估计以五阶精度将fᶄi -1,fᶄi +1,fᵡi -1,fᵡi +1泰勒级数展开:fᶄi -1=fᶄi -hfᵡi +h 22!f (3)i -h 33!f (4)i +㊀㊀h 44!f (5)i -h 55!f (6)i ,fᶄi +1=fᶄi +hfᵡi +h 22!f (3)i +h 33!f (4)i+㊀㊀h 44!f (5)i +h 55!f (6)i ,fᵡi -1=fᵡi -hf (3)i +h 22!f (4)i -h 33!f (5)i+㊀㊀h 44!f (6)i -h 55!f (7)i ,fᵡi +1=fᵡi +hf (3)i +h 22!f (4)i +h 33!f (5)i +㊀㊀h 44!f (6)i +h 55!f (7)i ㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï(17)将式(17)代入式(6),所求得组合型超紧致差分格式的一阶导数及二阶导数对应的截断误差为:78fᶄi -1+fᶄi +h19fᵡi -1-718fᵡi -172fᵡi +1()=㊀1h -10148f i -1+73f i -1148f i +1()+78640f 6()ih 5,25fᵡi -1+fᵡi +1h 1910fᶄi -1+165fᶄi +910fᶄi +1()=㊀-135f i -1-45f i +175f i +1()-5125200f 7()i h 5,ìîíïïïïïïïïïï(18)78640f 6()i h 5ʈ8.101ˑ10-4f 6()i h 5,5125200f 7()ih 5ʈ2.023ˑ10-3f 7()i h 5㊂ìîíïïïï(19)㊀㊀使用组合型超紧致差分格式的好处是在每一个网格点上存在一个一阶和二阶连续导数的多项式㊂本文比较了组合型超紧致差分格式和现有广义格式的一阶导数和二阶导数的截断误差:fᶄi +αfᶄi +1+fᶄi -1()+βfᶄi +2+fᶄi -2()=㊀㊀a f i +1-f i -12h +b f i +2-f i -24h +c f i +3-f i -36h ,fᵡi +αfᵡi +1+fᵡi -1()+βfᵡi +2+fᵡi -2()=㊀㊀a f i +1-2f i +f i -1h 2+b f i +2-2f i +f i -24h2+㊀㊀c f i +3-2f i +f i -39h 2,ìîíïïïïïïïïïïï(20)式中参数α,β,a ,b ,c 在各种格式中取不同的值(表1,表2)㊂本文发现在各种方案中,组合型超紧致差分格式的截断误差最小㊂表1㊀不同格式一阶导数的截断误差格式αβa b c 截断误差二阶中心010013!f 3()ih 2标准Padeᶄ格式1/403/20-15f 5()ih 4六阶中心03/2-3/51/1036ˑ17!f 7()ih 6五阶迎风143ˑ16!f 6()ih 5表2㊀不同格式二阶导数的截断误差格式αβa b c 截断误差二阶中心01002ˑ14!f 4()ih 2标准Padeᶄ格式1/1006/50185ˑ16!f 6()ih 4六阶中心03/2-3/51/1072ˑ18!f 8()ih 6五阶迎风165ˑ17!f 7()ih 567山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀2㊀数值算例误差范数L 1和L 2的定义为:L 1=1N ðNi =1u -U ,L 2=1N ðNi =1u -U ()2㊂对四阶Cahn-Hilliard 取f u ()=u 2,k =2,在边界条件u 0,t ()=u 2π,t ()=0下的计算区域为0,2π[],方程的精确解为u x ,t ()=e -tsin x2,数值解为U ㊂对给出的数值算例,计算误差范数L 1和L 2,并采用四种方法进行数值模拟,对其数值结果进行误差分析和对比,结果见表3,本文所使用方法效果最佳,由此证明所提方法的有效性和可行性㊂表3㊀0.5s 时刻精确度测试结果(N =10)方法L 1误差L 2误差间断有限元格式1.56235ˑ10-21.37823ˑ10-2普通中心差分格式1.66667ˑ10-18.33333ˑ10-2紧致差分格式7.14286ˑ10-31.78571ˑ10-3组合型超紧致差分格式6.48148ˑ10-36.34921ˑ10-4㊀㊀用本文提出的式(6) 式(8)和式(16)计算算例,图1 图3给出了不同时刻数值解与精确解的(a)精确解(b)数值解图1㊀0.1s 的精确解与数值解(a)精确解(b)数值解图2㊀0.5s 的精确解与数值解(a)精确解(b)数值解图3㊀1s 的精确解与数值解77第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀栗雪娟,等:Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式对比图,可以看出,数值解与精确解吻合很好,表明本文给出的数值格式是可行的,并且精度较高㊂3　结论本文研究了组合型超紧致差分方法和四阶Runge-Kutta方法,并将其运用于四阶Cahn-Hilliard 方程的数值求解,通过研究与分析,得到如下结论: 1)使用泰勒级数展开锁定差分格式系数,得到本文的组合型超紧致差分格式精度更高,误差更小㊂2)在边界点处有效地达到了降阶,并提高了精度㊂3)通过数值算例验证了数值格式的有效性㊂4)预估该方法可应用于高阶偏微分方程的数值求解㊂参考文献:[1]HUANG Q M,YANG J X.Linear and energy-stable method with en-hanced consistency for the incompressible Cahn-Hilliard-Navier-Stokes two-phase flow model[J].Mathematics,2022,10 (24):4711.[2]AKRIVIS G,LI B Y,LI D F.Energy-decaying extrapolated RK-SAV methods for the allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations[J].SIAM Journal on Scientific Computing,2019,41(6):3703-3727. [3]YOUNAS U,REZAZADEH H,REN J,et al.Propagation of diverse exact solitary wave solutions in separation phase of iron(Fe-Cr-X(X =Mo,Cu))for the ternary alloys[J].International Journal of Mod-ern Physics B,2022,36(4):2250039.[4]HE R J,CHEN Z X,FENG X L.Error estimates of fully discrete finite element solution for the2D Cahn-Hilliard equation with infinite time horizon[J].Numerical Methods for Partial Differential Equati-ions,2017,33(3):742-762.[5]HE Y N,FENG X L.Uniform H2-regularity of solution for the2D Navier-Stokes/Cahn-Hilliard phase field model[J].Journal of Math-ematical Analysis and Applications,2016,441(2):815-829. [6]WEN J,HE Y N,HE Y L.Semi-implicit,unconditionally energy sta-ble,stabilized finite element method based on multiscale enrichment for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes phase-field model[J]. Computers and Mathematics with Applications,2022,126:172 -181.[7]MESFORUSH A,LARSSON S.A posteriori error analysis for the Cahn-Hilliard equation[J].Journal of Mathematical Modeling, 2022,10(4):437-452.[8]XIA Y,XU Y,SHU C W.Local discontinuous Galerkin methods for the Cahn-Hilliard type equation[J].Journal of Computational Phys-ics,2007,227(1):472-491.[9]CHEN L,LüS J.A fully discrete spectral scheme for time fractional Cahn-Hilliard equation with initial singularity[J].Computers and Mathematics with Applications,2022,127:213-224. [10]周诚尧,汪勇,桂志先,等.二维黏弹介质五点八阶超紧致有限差分声波方程数值模拟[J].科学技术与工程,2020,20(1):54 -63.[11]汪勇,徐佑德,高刚,等.二维黏滞声波方程的优化组合型紧致有限差分数值模拟[J].石油地球物理勘探,2018,53(6):1152 -1164,1110.[12]程晓晗,封建湖,郑素佩.求解对流扩散方程的低耗散中心迎风格式[J].应用数学,2017,30(2):344-349.(编辑:杜清玲)87山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀。

OpenFOAM是一个用于计算流体动力学的开源软件，它提供了各种各样的数值方法来模拟复杂流动现象。

其中，WENO（Weighted Essentially Non-Oscillatory）格式是一种高阶精度的数值格式，特别适用于激波和脉冲等现象的模拟。

WENO格式的优点在于它能够以高精度和高分辨率来捕捉流场中的尖锐变化和激波结构，而且相对于传统的有限体积方法，它能够减少数值耗散和数值弥散的影响，从而提高了模拟结果的准确性。

WENO格式在计算流体动力学领域中得到了广泛的应用。

在OpenFOAM中，WENO格式的实现通常包括以下几个步骤：1. 空间离散化WENO格式的空间离散化通常采用高阶的差分格式，例如五阶WENO格式。

通过对流场的离散化，可以将偏微分方程转化为代数方程组，从而进行数值求解。

2. 数值通量计算在WENO格式中，数值通量的计算是关键的一步。

通常采用中心差分、迎风格式等方法来计算通量，并利用WENO加权函数来进行通量重构，从而得到高阶的数值通量。

3. 时间积分在OpenFOAM中，常用的时间积分方法包括Euler方法、Runge-Kutta方法等。

通过时间积分，可以得到流场变量随时间的演化规律，进而得到流动的稳态或者瞬态解。

4. 数值边界条件对于流体动力学问题，合适的数值边界条件对于模拟结果的准确性至关重要。

在WENO格式中，通常采用高阶的数值边界条件来保证计算的精度和稳定性。

通过以上步骤，可以在OpenFOAM中实现WENO格式的数值模拟。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的模型、网格和数值参数，以及合适的后处理方法来分析模拟结果。

WENO格式作为一种高精度和高分辨率的数值格式，在OpenFOAM中具有重要的应用价值。

通过对流场的精确描述，可以更好地理解复杂流动现象，为工程实践和科学研究提供有力的支持。

希望未来能够进一步深入研究和应用WENO格式，推动计算流体动力学领域的发展。

WENO格式作为一种高阶精度的数值格式，在计算流体动力学领域中的应用日益广泛。

紧致差分格式紧致差分格式（Compactly Supported Finite Difference Formulation）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。

它的特点是既能有效地处理高阶精度问题，又能保证数值解的稳定性和收敛性。

紧致差分格式最大的特点是它的数值计算节点只限于离散空间范围内的邻近节点。

也就是说，只有最近的节点之间进行计算，而不受整个空间范围的限制。

这种局部性的计算方式使得紧致差分格式具有较高的计算效率和灵活性。

在实际应用中，紧致差分格式广泛应用于流体力学、热传导等领域的数值计算中。

例如，在模拟流体的传输过程中，可以通过紧致差分格式将流体动力学方程转化为有限差分方程，从而得到流体在空间和时间上的数值解。

紧致差分格式的求解过程主要包括两个步骤：离散化和迭代求解。

首先，通过将原始的偏微分方程转化为差分方程，将问题在空间和时间上离散化。

其次，通过迭代求解逼近数值解。

在迭代求解的过程中，需要设置适当的边界条件和初始条件，以确保数值解的准确性。

紧致差分格式的优点是可以获得较高的数值精度和稳定性。

由于它的节点计算只限于离散空间范围内的邻近节点，可以在不增加计算复杂度的情况下提高数值解的精度。

与其他数值方法相比，紧致差分格式更加准确和可靠。

然而，紧致差分格式也有一些限制。

首先，它对初始条件和边界条件较为敏感，不同的条件可能会导致不同的数值解。

其次，紧致差分格式对问题的网格剖分要求较高，过于粗糙或者过于细致的网格都可能导致数值解的不准确性。

总之，紧致差分格式是一种重要的数值计算方法，广泛应用于偏微分方程的数值求解中。

它的局部性计算方式使得其具有较高的计算效率和灵活性，同时能够保证数值解的准确性。

但在使用时需要注意初始条件和边界条件的设置，以及合理选择网格剖分，以获得更为可靠和准确的数值解。

致 谢研究生的学习生活就要结束了，而大学最后的一段学习生活也已宣告尾声。

在本文完成之际，我特别向所有曾经给予我帮助、鼓励和支持的人们表示衷心的感谢。

在此，我首先要向我的导师张佐刚教授表示最衷心的感谢。

从入学之初到毕业论文完成的整个过程中，我都一直得到张老师细致入微的关心和照顾，无论是在学习上还是在生活上都给了我莫大的支持和鼓励。

另外，在论文写作过程中，张老师对我悉心的教诲和严格的要求足以让我受益终生，我深深地被老师严谨的治学精神和一丝不苟的生活态度所折服，他一丝不苟的育人作风更是为我以后的学习工作树立了榜样。

这里我还要特别感谢高雷阜教授在平时一直给予的默默关心，在导师繁忙的时候，给予了我无私的帮助，同时也是他为我们提供了一个方便优越的学习环境，使论文得以顺利完成。

最后还要感谢辽宁工程技术大学理学院所有的老师，是他们在传授我知识的同时培养了我良好的数学思维和数学的思考方式，还有理学院所有的同学，他们在日常的学习生活中给了我无数的帮助和启发。

祝福所有的老师和同学身体健康，工作和学业一切顺利！摘 要对流扩散方程作为流体力学中的基本方程之一，目前求解的数值方法有很多，主要包括有限单元法、有限体积法、有限分析法和有限差分法。

其中，有限差分法作为一种重要的数值离散方法，在科学研究和工程计算中都得到了广泛的应用。

而在有限差分法中，高精度有限差分方法又以其涉及网格点少、边界无需特殊处理、具有较高的计算精度等优点，成为学者们争相研究的热点问题。

本文首先分析了高精度差分格式的研究意义、国内外的研究现状、研究过程中存在的一系列问题和发展的趋势。

然后结合均匀网格上和非均匀网格上差分算子的定义式，具体介绍了一些传统的关于对流扩散方程的差分格式和目前已经得到一定发展的主要的高精度差分格式。

通过对这些差分格式的研究学习，了解了很多高精度差分格式的主要构造方法，从中也得到了一些启发。

并且通过对一些差分方法的优点和局限性的分析，改进了文献中的一些高精度差分格式的构造方法，分别应用待定系数法、降维法等数学思想，给出了均匀网格上简单对流方程的一种高精度差分格式，以及非均匀网格上二维对流扩散反应方程的一种高精度紧致差分格式，并给出了相应的数值算例，证明了该格式较好的计算效果。

一维定常对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式祁应楠;武莉莉【摘要】针对一维定常对流扩散反应方程,提出了一种四阶精度的有理型紧致差分格式,其局部截断误差为O(h4);然后通过Richardson外推技术和算子插值法将本文格式的精度提高到六阶.因为格式仅涉及到3个网格基架点,所以对于Dirichlet 边值问题,由差分格式可得三对角线性方程组,可采用追赶法进行求解.最后通过数值算例验证了本文方法的精确性和可靠性.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(051)001【总页数】6页(P1-6)【关键词】对流扩散反应方程;高阶紧致格式;Richardson外推;有限差分法【作者】祁应楠;武莉莉【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原756000;宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原756000【正文语种】中文【中图分类】O241.8对流扩散反应问题是流体力学、传热学、传质学等学科以及环境、化工等应用领域中经常遇到的典型问题之一，由于问题的准确解往往很难获得，所以人们经常采用数值方法来寻求问题的近似解.目前，所流行的近似计算方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等.其中有限差分方法是一种常用的数值计算方法.目前，国内外已经有许多有关该问题高阶紧致差分格式的研究报道.如：魏剑英[1]针对一维对流扩散方程，提出了一种指数型高阶紧致差分格式.王彩华[2]利用泰勒展开公式和数项级数收敛性给出了一线性对流扩散问题的一类高精度紧致差分格式.田芳和田振夫[3]基于非均匀网格上函数的泰勒级数展开，构造了非均匀网格上的高精度紧致差分格式.Sun和Zhang[4]构造了定常对流扩散反应方程的多项式型四阶紧致差分格式，并用Richardson外推法[5]和算子插值技术将格式的精度提高到了六阶.Tian和Dai [6]构造对流扩散问题的指数型格式，其空间具有四阶精度.文献[7]研究了非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分格式并得到了很好的计算效果.杨志峰等[8]构造了含源项非定常对流扩散问题的紧致四阶格式.文献[9-11]研究了利用样条插值的方法来构造高精度紧致差分格式.文献[12]通过消除对流项，并利用Pade格式，构造了一维非定常对流扩散反应方程无条件稳定的四阶紧致差分格式.文献[13]针对非定常对流扩散方程，对空间采用三点紧致差分格式，并对时间采用单对角隐式Runge-Kutta方法进行离散，得到了截断误差为O(τ4+h4)的无条件稳定的隐格式.文献[14]通过简单的分裂算法及增加特殊网格点的方法，对时间的处理采用C-N格式与向后欧拉结合的技巧，推导出求解高维非定常对流扩散反应方程的隐式差分格式.本文针对一维定常对流扩散反应方程，基于截断误差余项修正思想，并结合原方程本身，推导得到了求解该方程的一种四阶精度的有理型紧致差分格式.然后采用Richardson外推法和算子插值技术将格式的精度提高到六阶.最后给出了数值算例. 本文讨论的方程模型为两点边值问题：其中，边界条件为：u(0)=q0，u(L)=qL.这里，a，p(x)，b(x)分别为扩散、对流和反应项系数.且a>0，p(x)和b(x)均为关于空间变量x的光滑函数.首先将定义域[0，L]离散为：0=x0<x1<x2<…<xN=L，记为网格数，空间步长定义为.为了方便书写，用ui表示表示，依此类推.将式(1)改写为：由此定义空间一阶和二阶导数的中心差分算子为：将式(1)利用中心差分代替，并利用关于u的一阶数和二阶导数的定义，可得：).如果略去i和i项，及高阶截断误差项O(h4)，即可得到二阶中心差分格式.为了得到高精度的差分格式，将式(5)中的三阶和四阶导数项进行处理，为此对式(2)两边同时关于x求一阶导和二阶导数可得：.将式(6)代入式(7)消去xi化简可得：.将式(6)和式(8)代入式(5)可得：fi+O(h4).将式(3)和式(4)代入式(9)，略去高阶项后化简整理可得：其中式(10)即为多项式型四阶紧致(FOC)差分格式，此格式色散误差和耗散误差较大.为了能精确数值求解此类方程，我们推导一种有理型的四阶紧致差分格式.将式(2)代入式(6)可得：.在式(15)中令，则式(15)可简化为：将式(2)和式(15)代入式(7)，整理可得：.令则式(17)可化简为：将式(16)和式(18)代入式(5)，整理可得：其中，.接着，将式(19)中的一阶导数用中心差分代替加×(5)，利用式(3)和(4)对u的一阶和二阶导数进行离散，整理可得：).将式(15)和式(17)代入式(20)加×(5)，同样利用u的一阶和二阶导数进行离散，整理可得：).令则式(21)可化简为：(γ4f+γ5fx+γ6fxx)i+O(h4).然后，略去式(22)中i和i项，并将式(3)和式(4)代入式(22)，化简整理可得有理型的高阶紧致差分格式：，其中，.此格式的高阶截断误差为O(h4)，即此格式具有四阶精度.本文格式之所以称之为有理型格式，是因为其差分算子的系数为有理型函数，记为RHOC.从推导过程可以看出，FOC格式只是其中的一种特殊情况，有理型格式的推导更具有广泛性.结合原方程可得到具有不同性质的高精度格式，对于不同性质的问题可选用与之相适应的格式进行求解，此类格式均为三个网格基架点，只发生系数的变化.下面使用Richardson外推方法[5]将本文的四阶格式RHOC提高到六阶精度.◆………… ◆——◆0 1 2 ……N/2◆—●—◆…… ◆—●—◆0 1 2 3 4……N-1 N首先，用格式(23)分别在粗网格和细网格上计算一遍可得粗网格和细网格具有四阶精度的近似解.然后利用Richardson外推公式：可得到在粗网格具有六阶精度的解，其中和分别为粗网格和细网格上的解，即通过Richardson外推公式(24)可将细网格上偶数点(菱形点)的精度提高到六阶.为了使细网格上奇数点(圆点)的精度也达到六阶，使用算子插值法.由式(23)可得：).由于细网格上偶数点(菱形点)已经算出，因此只须采用式(26)计算奇数点(圆点)，即可得如下算子插值公式：.通过式(26)利用细网格上具有六阶精度的偶数点来计算奇数点，从而可使得细网格上点的精度均为六阶，整个过程我们将其记为RRHOC，其算法步骤如下：1) 在粗网格上用格式(23)计算一遍，可得；2) 在细网格上用格式(23)计算一遍，可得；3) 通过外推式(24)将细网格上偶数点(菱形点)的精度计算至六阶，4) 通过式(26)将细网格上奇数点(圆点)的精度计算至六阶.为了验证本文格式的精确性和可靠性，分别采用RHOC格式和RRHOC格式对以下两个有精确解的问题进行数值实验，并与中心差分格式、多项式型四阶紧致格式(FOC) [4]和六阶格式(REC) [4]的计算结果进行比较.其中，L∞范数误差和收敛阶(Rate)的定义如下：L∞范数误差，其中，Ui表示点xi处的精确解，ui表示点xi处的数值解，L∞(uh1)和L∞(uh2)分别表示网格步长为h1和h2时对应的L∞范数误差．问题1：该问题的精确解为：u(x)=ex.取：a=1，b(x)=x2+1，f(x)=x2ex.问题2：该问题的精确解为：u(x)=e-4πsin(x).取：a=1，p(x)=1，b(x)=1，f(x)=e-4π(cos x+2sin x).对于问题1和问题2，表1和表3列出了取不同步长h时，采用中心差分格式、FOC格式[4]与本文RHOC格式计算的L∞范数误差和Rate(收敛阶).不难得到，本文所提的四阶精度的有理型格式(RHOC)格式比多项式型格式(FOC) 和中心差分格式均具有更高的准确度.而且，当网格数不断增加时，RHOC格式的L∞范数误差比中心差分格式小四个数量级不等，比同是四阶的FOC格式计算结果更精确.表2和表4列出了取不同网格步长h时，REC格式[4]与本文RHOC格式的最大绝对误差和收敛阶，从表中可以看出经过外推和算子插值之后的REC格式和本文RHOC格式均有六阶精度，但是本文RHOC格式的计算误差明显优于REC格式[4].本文基于中心差分格式的截断误差余项修正，并利用原方程本身，提出了数值求解一维两点边值问题的一种紧致的高精度差分方法，由理论推导可知所提格式为四阶精度.然后采用Richardson外推法和算子插值技术将格式的精度提高到六阶.最后，采用本文两种方法计算了两个数值算例，并与传统的中心差分格式以及文献[4]中的FOC格式和REC格式进行了对比，充分体现了本文方法的精确性和有效性. 【相关文献】[1] 魏剑英. 定常对流扩散反应方程的指数型高阶差分格式[J].宁夏大学学报(自然科学版)， 2012，33(2):140-143．[2] 王彩华. 一维对流扩散方程的一类新型高精度紧致差分格式[J].水动力学研究与进展， 2004，19(5):655-663.[3] 田芳，田振夫. 定常对流扩散反应方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式[J].宁夏师范学院学报(自然科学版)， 2009， 26(2):219-225．[4] SUN H， ZHANG J. A High order finite difference discretization strategy based on extrapolation for convection diffusion equations[J].Numer Methods Partial Differential Eq，2004， 20(1):18-32[5] CHENEY W， KINCARD D. Numerical Mathematics and Computing[M]. 4th Ed. CA：Brooks/Cole Publishing，Pacific Grove，CA. 1999．[6] TIAN Z F， DAI S Q. High-order compact exponential finite difference methods for convection-diffusion type problems[J]. J Comput Phys， 2007， 220:952-974．[7] 赵飞，蔡志权，葛永斌. 一维非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分格式[J].江西师范大学学报(自然科学版)， 2014， 38(4):413-418．[8] 杨志峰，陈国谦. 含源项非定常对流扩散问题紧致四阶差分格式[J].科学通报， 1993，38(2):113-116．[9] LANG F G， XU X P. Quintic B-spline collocation method for second order mixed boundary value problem[J]. Computer Physics Communications. 2012， 183:913-921．[10] GOH J， MAJID A A, ISMAIL A I M. A quartic B-spline for second-order singular boundary value problems[J]. Computers and Mathematics with Applications. 2012，64:115-120．[11] 林建国，许维德，陶尧森.含源项非定常非线性对流扩散方程的三次样条四阶差分格式[J].水动力学研究与进展(A辑)， 1994， 9(2):599-602．[12] 杨录峰，李春光.一种求解对流扩散反应方程的高阶紧致差分格式[J]. 宁夏大学学报(自然科学版)， 2013， 34(2): 101-104．[13] PIAO X， CHOI H J， KIM S D， et al. A fast singly diagonally implicit Runge-Kutta method for solving 1D unsteady convection-diffusion equations[J]. Numercal Methods for Partial Differential Equations，2013(30):788-812．[14] ADEM K. Finite difference approximations of multidimensional unsteady convection-diffusion-reaction equations[J]. Journal of Computational Physics， 2015， 285:331-349．。

新型紧致WENO5格式新型紧致WENO5格式是近年来在数值计算领域取得重要进展的一种算法，它在高阶精度和边界层处理方面具有明显的优势。

本文将详细介绍新型紧致WENO5格式的原理、应用和优点，以及该算法在科学计算和工程领域的潜在应用价值。

新型紧致WENO5格式是一种基于WENO（Weighted Essentially Non-oscillatory）方法的高阶精度差分格式，它采用了一种紧致的差分算子来近似偏微分方程的空间导数，并且结合了五阶WENO重构技术来获得高阶精度的空间离散。

相比于传统的有限差分方法，新型紧致WENO5格式在空间精度和边界层处理方面具有显著的优势，尤其适用于对激波、边界层和间断问题进行精确的数值模拟。

除了其原理和实现方法外，新型紧致WENO5格式在实际应用中也展现出了明显的优势。

该格式在数值模拟中能够有效地处理多尺度流动现象，例如激波和边界层现象，从而提高了数值求解的准确性和可靠性。

新型紧致WENO5格式还可以有效地减少数值耗散和数值弥散，提高数值模拟的精度和稳定性。

该格式还在处理间断问题和非光滑解方面表现出了良好的性能，能够产生较为平滑和精确的数值解。

新型紧致WENO5格式在科学计算和工程领域还具有许多应用价值。

在流体力学中，该格式可以用于模拟复杂流动现象，如激波、湍流和多相流动等，从而为工程设计和科学研究提供重要的数值模拟工具。

在计算物理学中，新型紧致WENO5格式也可以用于求解各种偏微分方程，如波动方程、热传导方程和量子力学方程等，从而为科学家们研究自然现象提供了重要的数值工具。

新型紧致WENO5格式是一种具有很高应用潜力的数值计算方法，它在高阶精度和边界层处理方面具有明显的优势，并且在科学计算和工程领域有着广泛的应用前景。

相信随着该算法的进一步研究和应用，它将为解决科学与工程领域中的复杂数值问题提供更为有效的数值模拟工具，为人类的科学探索和工程创新发挥重要作用。

带有Neumann条件的对流扩散方程的两层紧差分格式盛秀兰;魏贞;吴宏伟【摘要】对带有Neumann边界条件的常系数对流扩散方程,建立了一个两层有限差分格式,利用离散能量分析法给出了差分解的先验估计式,分析了差分格式解存在唯一性、收敛性以及稳定性.并得出了差分格式在L∞范数下的收敛阶数为D(τ2+h4).通过数值算例,验证了理论分析结果是正确的.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(050)004【总页数】8页(P50-57)【关键词】对流扩散方程;Neumann边界条件;隐式差分格式;先验估计;收敛性;稳定性【作者】盛秀兰;魏贞;吴宏伟【作者单位】东南大学数学学院江苏南京210096;江苏开放大学通识教育学院江苏南京210036;东南大学数学学院江苏南京210096;东南大学数学学院江苏南京210096【正文语种】中文【中图分类】O241.820 引言考虑带有Neumann边界条件的一维常系数对流扩散方程构造高阶差分格式：ut+αux-βuxx=f(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],(1)u(x,0)=φ(x),x∈(a,b),(2)ux(a,t)=0；ux(b,t)=0,t∈(0,T]，(3)其中：α,β为常数，且β>0.ut+αv-βuxx=f(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],(4)vt+αuxx-βvxx=fx(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],(5)u(x,0)=φ(x)；v(x,0)=φ′(x),x∈(a,b),(6)v(a,t)=0；v(b,t)=0,t∈(0,T],(7)令v(x,t)=ux(x,t),则方程(1)转化为方程(4)，同时对方程(1)关于x求一阶导数为方程(5).方程(4)～(7)为耦合方程，与(1)～(3)式等价.对流扩散方程是描述黏性流体运动的非线性模型方程，但要得到对流扩散方程的精确解很困难，因此有效的数值算法越来越重要，在常用的差分方法中，由于方程中扩散项的存在,在数值求解过程中经常会出现数值震荡,为此需要构造精度高、稳定性好的数值解法,紧差分格式就是这一类方法.文献[1]给出了二维变对流系数非稳态对流扩散方程的时间方向上加权离散的一类HOC格式.文献[2]给出了二维不稳定对流扩散方程的一种高阶交替方向隐格式,此方法在时间和空间上分别是二阶和四阶的.文献[3-4]研究了对流扩散方程的特征有限差分格式,此方法能够有效地克服数值震荡.文献[5-6]给出了关于Neumann边界条件热方程的高阶差分格式.文献[7-8]通过紧差分格式及高阶ADI格式研究对流扩散问题.文献[9]提出带有Neumann边界条件的非线性反应扩散方程的一种四阶紧算法.文献[10]通过引入新变量,建立了一维非稳态对流扩散方程的高阶有限差分格式,利用Von-Neumann方法分析了差分格式的稳定性,在时间和空间上为二阶和四阶收敛.文献[11-12]利用紧差分格式求解热方程、变系数线性抛物方程及Cahn-Hilliard方程.本文参考文献[13]利用离散能量估计方法证明了差分解在最大模意义下关于时间和空间的二阶收敛性.对带有Dirichlet边界条件的对流扩散方程建立高阶紧差分格式的方法很多,而处理Neumann边界条件方法比较棘手,本文针对一维对流扩散方程建立一种紧差分格式,拟从格式的相容性、截断误差、稳定性、收敛性、以及精度等方面对Neumann边界条件进行研究.1 记号及引理取正整数m,n,记空间步长与时间步长分别为h=(b-a)/m,τ=T/n.xi=a+ih，(0≤i≤m),tk=kτ，(0≤k≤n).定义Ωh={xi|0≤i≤m},Ωhτ={(xi,tk)|0≤i≤m,0≤k≤n},称(xi,tk)为节点,并设{vik|0≤i≤m,0≤k≤n}为Ωhτ上的网格函数,引进下列记号：记则vk为Ωh上的1个网格函数，Vh={v|v={vi,0≤i≤m}为Ωh上的网格函数，对任意的u,v∈Vh，定义平均算子、内积及范数：引理1[14] 设h>0和c为两个常数,若f(x)∈C6[c-h,c+h]，则引理2[14] 设v∈Vh,则且对任意的ε>0,有引理3[14] Gronwall不等式. 设{Fk,Gk|≥0}为非负序列，且满足Fk+1≤(1+cτ)Fk+τGk,k=0,1,2,…,其中c为非负数，则有引理4[15] 设u={ui|0≤i≤m}∈Vh,v={vi|0≤i≤m}∈Vh，则有引理5[16] ① 若f(x)∈C5[x0,x1],则‴② 若f(x)∈C5[xm,xm-1],则‴引理6[16] 对于定义在Ωh上的网格函数，有2 差分格式的建立设为定义在Ωhτ上的网格函数，记现考虑在点(xi,tk+1/2)处(4)和(5)式微分方程，并利用Taylor展开，且0≤i≤m,0≤k≤n-1,得(8)(9)其中：当0≤i≤m,0≤k≤n-1时，用算子Α分别作用于(8)和(9)两式得(10)(11)当0≤i≤m-1,0≤k≤n-1时，并由引理1将(10)和(11)两式转化为：(12)(13)其中：则存在常数C0>0,C1>0使得由(10)式知，当i=0,0≤k≤n-1时(14)应用引理5将(14)式转化为(15)将(1)式关于x求导及由边界条件知当0≤k≤n-1时，则(15)式转化为(16)其中：类似地，当i=m,0≤k≤n-1时有(17)其中：则存在常数C3>0,C4>0使得由初始条件(6)式，得v(x,0)=φ′(x),a≤x≤b,在(12)～(13)式,(16)～(17)式中略去小量项并分别用代替可得到差分格式：(18)(19)(20)(21)(22)(23)3 差分格式解的先验估计式定理1 设是(18)～(23)式的解，当取h≤β/|α|充分小时，则有其中：证明将(18)式两边同时乘以对i到m-1求和并移项得，(24)将式(20)两边同时乘以转化后得(25)将式(21)两边同时乘以并进行转化后得(26)将(24)～(26)三式相加得(27)将(18)式两边同时乘以对i到m-1求和并移项得(28)将(20)式两边同时乘以转化得(29)将(21)式两边同时乘以转化后得(30)将(28)～(30)三式相加得D1+D2=D3+D4+D5,其中：将D1,D2,D3,D4,D5代入D1+D2=D3+D4+D5得(31)将(19)式两边同时乘以对i到m-1求和并移项得(32)(32)式左边第1项、第2项分别为：(32)式右边第1项、第2项分别为：其中ε=-β/|α|，将上述4项代入(32)式得(33)记将(33)式乘以4β2与(31)式乘以2α2相加后，再在式子两边同时乘以2τ整理后，利用引理6得(34)其中记则(34)式为Qk+1-Qk≤τC6(Qk+1+Qk)+2τPk+1/2,当时，Qk+1≤(1+4τC6)Qk+4τPk+1/2,由Gronwall不等式得定理2得证.4 差分格式的唯一性、收敛性和稳定性1) 唯一性定理2 差分格式(18)～(23)式是唯一可解.证明差分格式(18)～(23)式是线性的，考虑其对应的齐次方程组，由定理1知易知则差分格式(22)～(27)式是唯一可解的，定理得证.2) 收敛性定理3 设u(xi,tk),v(xi,tk)是(3)～(8)式的解,是差分格式(18)～(23)式的解,记则当取h,τ充分小时有证明将(3)～(7)式与(18)～(23)式分别相减,得到误差方程组：由定理2知，定理3成立.3) 稳定性类似讨论差分格式的收敛性,可以得到差分格式(18)～(23)式关于初值的稳定性. 定理4 设是差分格式(18)～(23)式的解, 设也是差分格式(22)～(27)式的解,记则当取充分小时，有其中直接应用定理2，即可得到定理4.5 数值试验设则利用差分格式计算实例,表1给出了不同步长时的最大误差及误差比,从计算结果可以看出,建立的差分格式在无穷范数下的收敛阶O(τ2+h4)，也更充分说明数值试验的解与理论分析结果吻合.例该问题的精确解为u(x,t)=0.1e2 tcos x.表1 不同步长下的误差和收敛阶数Tab.1 Errors and convergence rate under differentsteps(h,τ)(x,t)‖E‖∞(h,τ)‖E(h,4τ)‖∞‖E∞(h/2,τ)‖∞(h,τ)(x,t)‖E‖∞(h,τ)‖E(h,4τ)‖∞‖E∞(h/2,τ)‖∞(π100,110)0.002 449—(π10,1100 000)2.001 262 ×10-5—(π100,120)0.000 6133.992 6(π20,1100 000)1.251 774 ×10-615.9874(π100,140)0.000 1533.998 2(π30,1100 000)7.823 052 ×10-816.0011(π100,160)0.000 0383.999 6(π40,1100 000)4.865 686 ×10-916.078 0参考文献：【相关文献】[1] KAILTA J C, DALAL D C, DASS A K. A class of higher order compact schemes for the unsteady two-dimensional convection-diffusion equation with variable convection coeffcients[J]. International journal for numerical methods in fluids, 2002, 38 (12): 1111-1131.[2] KARAA S, ZHANG J. High order ADI method for solving unsteady convection-diffusion problems[J]. Journal of computational physics, 2004, 198(1): 1-9.[3] DOUGLAS J, RUSSELL T F. Numerical methods for convection-dominated diffusion problems based on combining the method of characteristics with fnite element or finite difference procedures[J]. SIAM journal on numerical analysis, 1982,19 (5): 871-885. [4] ZHANG Z Y, WANG Y P, WANG Q X. A characteristic centered finite difference method for a 2D air pollution model[J]. International journal of computer and mathematics, 2011, 88(10): 2178-2198.[5] SUN Z Z. Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions[J]. Numer methods partial differential equations, 2010, 25(6): 1320-1341. [6] ZHAO J, DAI W Z, NIU T C. Fourth-order compact schemes for solving multidimensional heat problems with Neumann boundary conditions[J]. Numer methodspartial differential equations, 2010, 24 (1): 165-178.[7] SUN H,ZHANG J,ZHAO J. High order compact scheme with multigrid local mesh refinement procedure for convection diffusion problems[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering, 2002,191(41): 4661-4674.[8] KARAA S. A high-order compact ADI method for solving three-dimensional unsteady convection-diffusion problems[J]. Numer methods partial differentialequations,2010,22(4): 983-993.[9] LIAO WY, ZHU J P, KHALIQ A QM. A fourth-order compact algorithm for nonlinear reaction-diffusion equations with Neumann boundary conditions[J]. Numer methods partial differential equations, 2006，22(3): 600-616.[10] LIAO W Y, ZHU J P. A fourth-order compact finite difference scheme for solving unsteady convection-diffusion equations[J]. Computational simulations and applications, 2011,88(12):81-96.[11] DAI W, NASSAR R. A compact fnite difference scheme for solving a three-dimensional heat transport in a thin film[J]. Numer methods partial differential equations,2015,16(5): 441-458.[12] LI J, SUN Z Z, ZHAO X. A three leval linearized compact difference scheme for the Cahn-Hilliard equation[J]. Science China mathematics, 2012, 55(4):805-826.[13] 盛秀兰，艾尧，吴宏伟. 一个类似Burgers 方程的数值解[J].郑州大学学报(理学版),2010,42(3)：23-26.[14] 孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京：科学出版社，2011.[15] LIAO H L,SUN Z Z. Maximum norm error bounds of ADI and compact ADI methodsfor solving parabolic equations[J]. Numerical methods for partial differential equations,2010, 26 (1): 37-60.[16] SUN Z Z. Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions[J]. Numerical methods for partial differential equations,2013,29(5): 1459-1486.。