数值分析内容提要

拉格朗日插值公式插值余项牛顿插值公式埃尔米特插值 数值分析课程教学大纲(Numerica1Ana1ysis)学时数: 其中: 学分数:48实验学时：4课外学时：O3适用专业：计算机科学与技术 一、课程的性质、目的和任务本课程是计算机专业学科的基础课程。

它利用计算机使学生将已学的数学和程序设计知识等有关知识有机地结合起来，并应用它解决实际问题。

其主要任务是：介绍数值理论、函数逼近、数值微积分、非线性方程求根、线性代数方程组、特征值问题的常用数值法，要求学生能够评价各种算法的优劣，使用高级语言描述学过的算法并上机调试。

这对于学生从事数值软件的研制与维护是十分有益的。

二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，学生应充分理解数值方法的特点，熟练掌握使用各种数值方法解决数学问题的技巧，为今后结合计算机的应用而解决实际问题打下坚实的基础。

三、课程的教学内容、重点和难点引论（4学时）教学内容：引论A 算法B 误差基本要求：了解掌握误差的基本概念，理解数值运算中误差的来源，并掌握误差分析的方法与原则。

重点和难点：误差分析。

第1章插值方法（8学时）I 问题的提法 2 3 5 61.7 分段插值法基本要求：掌握1agrange 插值与牛顿插值这两种形式不同而实质一致的插值的概念及余项估计；掌握分段低次插值及余项估计。

了解这几种插值的联系及区别并能熟练地进行运算。

J⅛,.*拉格朗日插值，牛顿插值。

难点：拉格朗日插值，余项估计。

第2章数值积分（8学时）教学内容：2.1机械求积2.2 牛顿•柯特斯公式 2.3 龙贝格算法 2.4 高斯公式 2.5 数值微分基本要求：了解数值积分的基本思想和代数精度的概念，掌握插值型求积公式与高斯型求积公式，理解等距节点的牛顿•柯特斯公式及余项估计。

掌握数值微分的基本思想与运算。

重点：牛顿-柯特斯求积公式。

难点：龙贝格求积算法，高斯求积公式。

第3章常微分方程的差分方法（4学时）教学内容：3.1欧拉方法3.2 改进的欧拉方法 3.3 龙格-库塔方法基本要求：掌握欧拉方法，特别是改进的欧拉方法的基本思想和计算过程；了解龙格-库塔方法。

数值分析如何学习？ 理论讲授：算法来历，误差分析
理论是基础
上机实践：算法实现项 ：
实践课时远远不够，希望大家充分利用自由 上机时间加强实践，完成实验和习题
在加强实践的同时，请同学们务必重视理论 课程的学习，二者不要偏废。 希望同学们在学习理论的同时，及时复习数 学分析和高等代数知识。只有不断地学习，才 能加深对以前所学知识的理解。
二、计算科学简介
简单地说，使用计算手段研究自然现象和 社会现象的学科均称为计算科学。例如：计 算物理、计算化学、计算生物学、计算经济 学等，学科领域非常宽广，数值分析是基础。 现在，人们把计算称为科学研究的三大方 法之一。 There are three great branches of science: theory, experiment and computation.
――L.N. Trefethen
计算科学发展趋势
计算科学发展趋势与计算机的发展密切相 关。 计算机的发展趋势：多核化，多CPU化， 集群化，高性能化。 计算科学发展趋势：算法并行化。 如何因应？
我们学院已经成立了高性能计算实验室，购买了 浪潮并行计算机，这学期开设一个并行计算讨论班。 希望我们班有同学参加。
[1] 白峰杉，《数值计算引论》，北京：高等教育出版社， 2004.7 [2] 封建湖，聂玉峰，王振海，《数值分析（第四版）导 教· 导学· 导考》，西安：西北工业大学出版社，2003.6 [3] Michael T.Heath ，张威等译，《科学计算导论（第二 版）》，北京：清华大学出版社，2005.10 [4] 薛毅，《数值分析与实验》，北京：北京工业大学出版 社，2005.3 [5] Curtis F.Gerald, Applied Numerical Analysis (Seventh Edition),北京：高等教育出版社，2006.1 [6] 张韵华，符号计算系统 Mathematica 教程，北京：科学 出版社，2001.11 [7] 徐安农， Mathematica 与数学实验，北京：电子工业出 版社，2004.7

存在正数 ε∗, 使得
|x∗ − x| ≤ ε∗
称 ε∗ 为近似值的绝对误差限，简称误差限。
记作 x = x∗ ± ε.
朱升峰 (ECNU)
x∗ − ε∗ ⩽ x ⩽ x∗ + ε∗,
数值分析
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相对误差
定义 3
近似值的误差与准确值的比值 e∗ x∗ − x x= x
称为近似值 x∗ 的相对误差，记作 e∗r 。
定义 4
若存在正数 ε∗r , 使得 |e∗r | ≤ ε∗r , 则称 ε∗r 为相对误差限。
实际计算中，准确值未知，一般取
e∗ x∗ − x x∗ = x∗
理论研究 实验研究 科学计算 科学计算: 现今体现国家科学技术核心竞争力的重要标志 计算数学是各种计算性学科的共性基础。
朱升峰 (ECNU)
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计算方法与计算机
面向计算机的算法: 串行算法: 只有一个进程的算法适合于串行计算机 并行算法: 有两个以上的算法适合于并行计算机
算法 “好”: 可靠的理论分析且良好的数值表现 (计算复杂性好) 数值分析研究数值问题的算法
1 面向计算机 2 可靠的理论分析: 近似算法的收敛性, 数值稳定性, 误差分析等 3 好的计算复杂性: 时间复杂性, 空间复杂性 4 要有数值实验: 算法的数值验证
作为 x∗ 的相对误差，ε∗r = ε∗/|x∗|.

《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054111课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：公共基础课程要求：必修学时/学分：32/2（讲课学时：32 实验学时：0 上机学时：0）适用专业：材料成型及控制工程一、课程性质与任务数值分析是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

随着计算机以及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法也越来越多地应用于科学技术的各个领域，数值分析也因此成为高等学校理工科专业的一门重要课程。

与其他数学课程一样，数值分析也是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性等特点，是一门与计算机密切结合，实用性很强的数学课程。

通过本课程的教学，使学生掌握在计算机上解决常见数学问题的常用的数值算法，熟悉各种算法的基本原理和适用范围，了解误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。

培养学生运用计算机解决实际问题的基本技能和基本素质，为学生学习后续专业课程和将来运用数值分析的知识与技能解决本专业实际问题打下坚实的基础。

二、 课程与其他课程的联系学生在学习本课程之前，应学习过高等数学、线性代数等课程，并了解一门编程语言或一种科学计算软件。

高等数学和线性代数课程的学习，为本课程提供必需的数学基础知识；具备编程能力则可以使学生在计算机上编制程序，通过典型算例验证所学算法的有效性并应用到实际问题中。

本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，为学习后续课程如计算流体力学、有限元分析等奠定知识基础。

三、课程教学目标1.通过本课程的学习，使学生掌握现代科学计算中所常用的一些数值计算方法，熟悉这些算法的思想与基本原理，了解其适用范围。

（支撑毕业能力要求1.1，1.3，2.1）2.通过本课程的学习，使学生了解误差分析，收敛性及稳定性等基本理论。