典中点圆专训2 垂径定理的四种应用技巧
◐名师点金◑
圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形,然后借助勾股定理,,在这三个量中知道任意两个,可求出第三个。
技巧1：巧用垂径定理求点的坐标
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标。
技巧2：巧用垂径定理解决最值问题(对称法)
2.如图,AB，CD是半径为5的⊙0的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点
F，P为直线EF上的任意一点，求PA+PC的最小值。
技巧3：巧用垂径定理计算
3.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。
(1)求证：E是OB的中点； (2)若AB=8，求CD的长。
技巧4：巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4.某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部截面为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？。
巧用抛物线的对称性解题抛物线y=ax 2+bx+c 是轴对称图形，对称轴是x=-ab 2，抛物线有下面对称性质： 1、抛物线上关于对称轴对称的两点的纵坐标相等；反过来，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称；特别地，如果抛物线交x 轴两点，那么这两点是对称点；2、抛物线上有对称的两点，它们的横坐标分别是21,x x ，那么抛物线的对称轴的直线方程是x=221x x +=-a b2；一、选择题1、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 3、函数y=x 2-x+m(m 为常数)的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a-1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y=m4、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x + 时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c5、已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2 的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2)6、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确 的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 y–1 1 3O x7、小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 18、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个9、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ） A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.310、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y <<B. 132y y y <<C. 123y y y <<D. 231y y y <<11、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2二、填空题1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．3、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 ．（写出3条即可）x … 0 12 32 52 … y … 1 74 74 14- …y –1 3 3 O x P 14、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线y=ax 2+bx+c 上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=6、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0） 则当x=x 1 +x 2时，y 值为____7、请你写出一个b 的值，使得函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ．8、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立；②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是 。
A09巧用隐圆 妙解最值模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。
AB 的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。
这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。
隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。
（可以解决动点轨迹。
）隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。
(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC ，则A,B,C,D 四点共圆。
在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D 四点共圆，且AC 为直径。
隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D 四点共圆。
隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D 四点共圆，且AC为直径。
隐圆四：定点定长，隐圆必现。
CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。
若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以 AO 中点M为圆心的圆。
（P为“主动点”，点Q为“从动点。
）典例分析如图11，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【点睛】图12，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP 中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．图13：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．实战训练一．选择题（共8小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（）A．5√5−5√2B．52C．3√5−3√2D．5√2−522．已知抛物线y=−316(x−1)(x−9)与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶OyxA BCMPOOyxA BCMPOPMCBA xyO图11图12图13点，以C 点为圆心的⊙C 半径为2，点G 为⊙C 上一动点，点P 为AG 的中点，则DP 的最大值与最小值和为（ ）A ．72B ．2√3C ．√412D ．53．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点P 是矩形ABCD 内一点，连接P A ，PC ，PD ，若P A ⊥PD ，则PC 的最小值为（ ）A ．2√13−4B ．2√10−3C ．2D ．44．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．√105．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB ＝4，∠AOC ＝120°，P 为⊙O 上的动点，连接AP ，取AP 中点Q ，连接CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）A ．3B ．1+√6C ．1+3√2D ．1+√76．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）A ．2B ．πC ．2πD ．√22π 7．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝12，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当∠ABD ＝∠BCE 时，线段AE 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =√3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+3√34C ．3√32D ．2π二．填空题（共12小题）9．如图，等边三角形ABC 和等边三角形ADE ，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB ＝6，AD ＝4，△ADE 绕点A 旋转过程中，MN 的最大值为 ．10．如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为√．11．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝8，sin A=45，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是．12．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则√2AC+BC的最大值为．13．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD=√3AB，则∠BDC＝．14．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点C作直线AP的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为．17．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=12．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为．18．如图，等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠P AD＝∠PDB，则线段CP长的最大值为．19．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD=√3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为．三．解答题（共3小题）21．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB ＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．22．阅读下列材料，回答问题．材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进而转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值．解决问题：（1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件时，AB有最小值为．（2）如图②，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到BC的距离最小值为．（3）如图③，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ＝4，则在线段PQ滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由．（4）如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求DB'的最小值，并说明理由．（5）如图⑤，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，求PQ长的最小值，并说明理由．23．在矩形ABCD中，BC=√3CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．。
