单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。
教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。
如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。
表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。
问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。
重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。
3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。
再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。
3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。
“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。
环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。
浙教版2021年八年级上册第1章《三角形的初步认识》单元复习题一．选择题1．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A．4cm，5cm，9cm B．4cm，4cm，8cmC．5cm，6cm，7cm D．3cm，5cm，10cm2．下列图形具有稳定性的是（ ）A．B．C．D．3．为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（ ）A．0根B．1根C．2根D．5根4．下列命题是真命题的是（ ）A．五边形的内角和是720°B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点5．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°6．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD7．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）A．12B．7C．2D．148．在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝（2x+10）°，∠C的外角大小（x+40）°，则x的值等于（ ）A．15B．20C．30D．40二．填空题9．只用 的直尺和 进行的作图称为尺规作图．10．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是 ．11．如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）12．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，若BE＝7，CF＝3，则BF＝ ．13．如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，∠BAC＝28°，则∠B的度数是 °．14．如图，AD平分∠EAC，∠B＝70°，∠C＝60°，求∠CAD＝ ．三．解答题15．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．16．已知，△ABC的三边长为4，9，x．（1）求△ABC的周长的取值范围；（2）当△ABC的周长为偶数时，求x．17．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求：（1）∠BAC的度数．（2）∠BAH的度数．18．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．试说明AD＝ED的理由．解：因为CE∥AB（已知），所以∠BAD＝ （ ）．因为点D是边BC的中点，所以 ，在△ABD和△ECD中，，所以△ABD≌△ECD（ ），所以AD＝ED（ ）．19．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，若有BF＝AC，FD＝CD，试探究BE 与AC的位置关系．20．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．21．如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．22．如图，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．（1）若∠BAO＝50°，试求出∠ACB的度数．（2）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的度数．（3）在（2）的条件下，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAC的度数．23．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．（1）如图1，若∠ABC＝50°，求∠BOD的度数；（2）如图1，若∠ABC＝n°，求∠BOD的度数；（3）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．求证：BF∥OD；（4）若∠F＝∠ABC＝40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α后得△B'OD'（0°＜α＜360°），B'D'所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．答案一．选择题1．解：根据三角形的三边关系，A、4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意；C、5+6＞7，能组成三角形，符合题意；D、3+5＝8＜10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．2．解：选项中只有选项A是三角形，故具有稳定性的图形是三角形．故选：A．3．解：如图所示，根据三角形具有稳定性，所以至少还要在架子上钉上的木棒根数是2，故选：C．4．解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B．5．解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：D．6．解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，又∵∠B＝∠E，∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；故选：C．7．解：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，CB＝CE，∵CE＝5，AC＝7，∴CB＝5，DC＝7，∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．故选：A．8．解：∵∠C的外角＝∠A+∠B，∴x+40＝2x+10+x，解得x＝15．故选：A．二．填空题9．解：只用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图．故没有刻度的，圆规．10．解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°，故100°．11．解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．12．解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝EC，∵BE＝7，CF＝3，∴BF+CE＝BE﹣FC＝7﹣3＝4，∴BF＝EC＝2，故2．13．解：∵△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，∴∠B＝∠D，AC＝AE，∠BAC＝∠BAD，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACE+∠AEC+∠BAC＝180°，∠BAC＝28°，∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠BAC）＝76°，∠BAD＝28°，∵∠D+∠CAD+∠ACE＝180°，∴∠D＝180°﹣∠CAD﹣∠ACE＝48°，故答案为48．14．解：∵∠EAC＝∠B+∠C，∠B＝70°，∠C＝60°，∴∠EAC＝70°+60°＝130°，∵AD是∠EAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAC＝65°，故答案是：65°．三．解答题15．解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，∴5﹣3＜a＜3+5，解得：2＜a＜8，故|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）＝a+1﹣8+a﹣2a+4＝﹣3．16．解：（1）∵三角形的三边长分别为4，9，x，∴9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13，∴9+4+5＜△ABC的周长＜9+4+13，即：18＜△ABC的周长＜26；（2）∵△ABC的周长是偶数，由（1）结果得△ABC的周长可以是20，22或24，∴x的值为7，9或11．17．解：（1）∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠ACD＝∠ACB＝35°，∵∠ADC＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°；（2）由（1）知，∠BAC＝65°，∵AH⊥BC，∴∠AHC＝90°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°，∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°．18．解：因为CE∥AB（已知），所以∠BAD＝∠E（两直线平行，内错角相等）．因为点D是边BC的中点，所以BD＝CD，在△ABD和△ECD中，所以△ABD≌△ECD（AAS），所以AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．故答案为∠E，两直线平行，内错角相等；∠BAD＝∠E，对顶角相等，BD＝CD；AAS；全等三角形的对应边相等．19．解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠FBD＝∠CAD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．20．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．21．证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠DEC，BC＝EC，∴∠B＝∠BEC，∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED．22．解：（1）如图1中，∵BC平分∠ABO，AC平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABO，∠BAC＝∠BAO，∵∠POM＝30°，∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣30°＝150°，∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝×150°＝75°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝180°﹣75°＝105°；（2）∠ACB的大小不变，理由如下：由（1）知：点A、B在运动的过程中，∠ACB＝105°；（3）由（2）可知，∠ACB＝105°，∠BAC+∠ABC＝75°，∵△ABC中有一个角是另一个角的2倍，∴∠ACB＝2∠BAC或∠ACB＝2∠ABC或∠ABC＝2∠BAC或∠BAC＝2∠ABC，∴∠BAC＝52.5°或22.5°或25°或50°．23．（1）解：∵∠ABC＝50°，∴∠BAC+∠BCA＝130°，∵△ABC的三个内角的平分线交于点O，∴∠OBD＝25°，∠OAC+∠OCA＝65°，∴∠AOC＝115°，∵∠ODC＝∠AOC，∴∠ODC＝115°，∵∠ODC是△OBD的一个外角，∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝115°﹣25°＝90°．（2）解：∵∠ABC＝n°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣n°，∵△ABC的三个内角的平分线交于点O，∴∠OBD＝n°，∠OAC+∠OCA＝90°﹣n°，∴∠AOC＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∵∠ODC＝∠AOC，∴∠ODC＝90°+n°，∵∠ODC是△OBD的一个外角，∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝90°+n°﹣n°＝90°．（3）证明：由（2）得，∠BOD＝90°，∵BO平分∠ABC，BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE，∠ABO＝∠ABC，∴∠FBO＝∠ABE+∠ABC＝90°，由（2）得，∠BOD＝90°，∴∠FBO＝∠BOD，∴BF∥OD．（4）∵∠F＝∠ABC＝40°，∠FBO＝∠BOD＝90°，∴∠OBD＝∠OB'D'＝20°，∠FOB＝50°，∴∠ODB＝∠OD'B'＝70°，∠DOC＝180°50°﹣90°＝40°，、如图（1），∵D'B'∥FC，∴∠OD'B'＝∠D'OC＝70°，∴∠DOD'＝∠D'OC﹣∠DOC＝70°﹣40°＝30°，即α＝30°，如图（2），∵D'B'∥FC，∴∠OD'B'＝∠D'OF＝70°，∴α＝∠FOD'+∠FOB+∠DOB＝70°+50°+90°＝210°，∴旋转角α为30°或210°时，B'D'所在直线与FC平行．。
第一章解三角形本章规划《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导．1.教学内容全章有三大节内容：第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题．第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业的指导，包括对实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．2.作用与地位本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．学习数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．3.学习目标本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．4.重点和难点通过对三角形中边角关系的探索，证明正弦定理、余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形．5.课时安排1.1正弦定理和余弦定理（3课时）1.2应用举例（4课时）1.3实习作业（1课时）本章复习（1课时）。
年高考第一轮复习数学解斜三角形It was last revised on January 2, 2021解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ；① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ；② c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =ca b a c 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 +cos A =51B.AB ·＞0 +tan B +tan C ＞0=3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于A.231+ +3 C.232++3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =acb c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5） ●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A -－22cos 1B-=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决 解：利用余弦定理，由a 2=b（b +c），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bb c 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1， 所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】 （2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51.（1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】 （2004年春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练 夯实基础1.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为° ° °°解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF. ∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°4.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bcac b a ++++++.（*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 =20，A =45°，C =80° =30，c =28，B =60° =14，b =16，A =45°=12，c =15，A =120°解析：由a =14，b =16，A =45°及正弦定理，得16sin B =14sin A，所以sin B =724.因而B 有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7，∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2. 7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224Ra －224Rc ）=（a－b ）Rb 2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ） =3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23 =3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 8.在△ABC 中，BC =a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围. 解：令AB =kx ，AC =x （k ＞0，x ＞0），则总有sin B =kx a ，sin C =xa（图略），且由正弦定理得sin B =axsin A ，所以a 2=kx 2·sin B sin C =kx 2sin A ，由余弦定理，可得cos A =222222sin kx Akx x x k -+=21（k +k 1－sin A ），所以k +k1=sin A +2cos A ≤2221+=5.所以k 2－5k +1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以ACAB的取值范围为［215-，215+］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°.则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α.所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10， ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10 =）（αα-︒⋅45sin sin 100 =）（αααsin 22cos 22sin 100- =）（αα2cos 1422sin 42100-- =2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB |2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立.所以当a =b =0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB |最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C . 2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.●教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例1】 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A -+cos cos sin 2. （1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2 =cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2 =cot A +CB C B C B sin sin sin cos cos sin + =cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化.（2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.【例2】 在△ABC 中，sin A =CB C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a =abc b a ca b a c cb 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.。
