解决三次函数问题的几类方法

条件求解．　

，　．　一　～例８　已知（ｚ：一　）　的展开式中第３项与第　ｑ　Ｉ　

５项的系数之比为一熹，其中ｉ　—一１，则展开式中常　

数项是（　）．　

Ａ　一４５ｉ；　Ｂ　４５ｉ；　Ｃ　一４５；Ｄ　４５　

析　Ｔ　一ｃ：（　），　（一去）ｚ一一ｃ：ｚ。一　，Ｔｓ—　

ｃ　（　）　（一　ｉ）　一ｃ　２一¨，由题意知　一一　３，　√．ｒ　ｎ　

所以”一１０．Ｔｒ　一（二ｉ。（ｘ２）　。一（一　）　一Ｇ。（一ｉ）ｒ３７２０－詈．　芏　

令２０一　一ｏ，得ｒ一８，所以常数项为Ｔ。一　

Ｃ　。（一ｉ）　一４５．故选Ｄ．　

彰彝　妻　

另外复数的运算有时也易出错．　

９　：　（１＋ｉ）　——。　

３．复数　薯＋ｉ　的值是（　）．　

Ａ　０；　Ｂ　１；　Ｃ一１；Ｄ　ｉ　

４．复数　的虚部为——．　５．已知复数ｚ　＝１一ｉ，ｚ　・ｚ　＝１＋ｉ，则复数ｚ２：　

６．若０Ｅ（荨，　），则复数（ｃ。ｓ　＋ｓｉｎ　＋（ｓｉｎ　一ｃ。ｓ　）ｉ　

在复平面内所对应的点在（　）．　Ａ第一象限；　Ｂ第二象限；　

Ｃ第三象限；　Ｄ第四象限　

７、若。一ＣＯＳ　＋ｉｓｉｎ　（ｉ为虚数单位），则使ｚ　一一１的０　

值可能是（　）．　

链接练习参考答案　

１．Ａ．　２．一ｉ。　３．Ａ．　４．４　５．ｉ．　６　Ｂ．　７．Ｄ．　

（作者单位：河南省清丰县第一高级中学）　非常道　

浙江　许龙　

在证明函数ｆ（．３２）一．３２。在Ｒ上的单调性时，很多　

考生难以人手，因为最后一步要想到配方，即　ｆ（　）一　

厂（　ｚ）一（　ｌ一．３２２）（　｝＋．３２１　ｚ　２＋　；）一（．３２１一　２）［（　１＋　

０～２　．３２２）　＋　］．然而新课标里增加了导数章节后，借助　厶　‘±　导函数来研究函数的性质使复杂的函数问题变得非　

常简便，由它延伸出有关三次函数的题目出现的频率　

也大大增加，特别是对于文科数学．三次函数已成为　‘　

高考数学的一大亮点．本文总结一些解题方法，供考　

生参考，期望有助于考生对三次函数的认识．　

一Ｉ　例１　确定函数＿厂（．３２）一　一３ｚ在哪个区间上　

是增函数，哪个区间上是减函数？　

ｆ　（ｚ）一３ｘ　一３—３（３２—１）（．３２＋１）．　

当ｆ　（ｚ）＞Ｏ时，ｚ＜一１或．３２＞１，所以函数　

的单调递增区间为（一一，一１），（１，＋一）；　当厂（ｚ）＜ｏ时，～１＜ｚ＜１，所以函数的单调递　

减区间为（一１，１）．　

彝　萎　；　

问题文、理考生都要掌握．　

ｒ　一－０　●　。例２　若ｎ＞３，试判断方程　。一口ｚ！ｑ－１—０在　

［Ｏ，２］上的根的个数．　

设＿厂（ｚ）一ｚ。一ａｘ　ｑ－１，则ｆ　（　）一３ｘ　一　析２。　一３（　一号）ｚ一譬．当。＞３时，从表中可　

得函数在［Ｏ，２］上根的个数为１个．　

书籍是青年人不可分离的生命，ｇ＊－４ｇ和导师．

——高尔基　维普资讯 http://www.cqvip.com 非常道　

ｒ　Ｏ　（０，２）　２　

，　（－ｔ）　ｎ　

（　’）　９—４ａ＜０　

势占这里　是酒过求　数后得到原函数的单调　燎净孬性，从而得到原　敬的大致图象，进而得到函　

数　０．ｒ轴的交点个数，即得方程的解的个数．当然本　

还要注意函数在－一０．　一２处的连续性．这一类问　题文、理考生都要掌握，而对文科考生的考查更加　

频繁．　

毒　，－　一：例３　没函数厂（　，）一ｚ。一３ｘ，若关于　的方程　

’（　）一ａ在Ｒ上只仃３个相异的实根，求实数ａ的　

范　．　

析　ｒ一３　・　

●　３５　（一。（　．一１）　一１　（一１．１）　１　（１，＋。。）　＋　

ｆ　（　ｒ）　Ｏ　Ｏ　＋　

ｆ（ｘ）　２　一２　，　／　

由上表，得方程　。一３ｘ—ａ在Ｒ上只有３个相异　

的实根时ｎ的范围为（一２，２）．　

舞．．占本题可以说是例２的反逆，是考查理科同学　垮　挥的常见题，是文科同学的压轴题．所以一定要　

弄清解题的思路及注意的细节．一是以方程的一边为　

一个函数，二是对本函数求导，三是画导函数的正负　

与原函数单调性之间的关系表．由函数的极值得实数　

ａ的范围．值得注意的细节是ｚ这一变量区间分类不　

要弄错，原函数的极值要求对．　

例４（２００７年全国卷）已知函数，（ｚ）一　一ｚ．　

（１）求曲线　—ｆ（３７）在点Ｍ（ｔ，ｆ（ｔ））处的切线　

方程；　（２）设ｎ＞Ｏ，如果过点（ａ，６）可作曲线Ｙ一，（ｚ）的　

３条切线，证明：一ｎ＜６＜ｆ（ａ）．　（１）因为ｆ　（ｚ）一３ｘ　一１，所以曲线Ｙ一　析＿厂（ｚ）在点，Ｖｌ（ｔ，，（￡））处的切线方程为　

，（￡）一ｆ　（￡）（ｚ一　），即　一（３ｔ　一１）ｚ一２￡　．　（２）如果有一条切线过点（ａ，６），则存在ｔ，使ｂ一　

（３ｔ。一１）ａ～２￡。．于是，若过点（ａ，ｂ）可作曲线Ｙ一　

，（３７）的３条切线，则方程２ｔ　一３ａｔ　＋ｎ＋ｂ一０有３个　

相异的实数根．　记　（￡）＝＝２ｔ。一３ａｔ　＋ａ＋ｂ，则ｇ　（ｔ）一６ｔ。一６ａｔ一　

６ｔ（ｔ—ａ）．　当ｔ变化时，ｇ（ｔ），ｇ　（￡）变化情况如下表：　ｔ　（一。。．０）　Ｏ　（０，ａ）　口　（口，＋∞）　

ｇ　（￡）　＋　Ｏ　Ｏ　斗　

极大值　极小值　ｇ（￡）　ｎ＋ｂ　ｂ—ｌ厂（口）　

由ｇ（ｔ）的单调性，当极大值ａ＋ｂ＜０或极小值　

６一ｆ（ａ）＞Ｏ时，方程ｇ（ｔ）一０最多有１个实数根；　

当ｎ＋６—０时，解方程ｇ（￡）＝＝：０，得￡一０，￡一　３ａ，　

即方程昱（ｔ）一０只有２个相异的实数根；　

当ｂ—ｆ（ａ）一０时，解方程ｇ（ｔ）一０，得ｔ一一　，　

ｔ—ａ，即方程ｇ（　）一０只有２个相异的实数根．　

综上，如果过（ａ，ｂ）可作曲线Ｙ—ｆ（　）的３条切　

线，即ｇ（ｔ）＝＝０有３个相异的实数根，则　

ｆａ＋６＞０，　｛　即一ａ＜６＜　（ａ）．　１ｂ一　（ａ）＜０，　幽占此题出题很巧，只要平时功底扎实，文科考生　孬第（１）题可以过关，对理科考生还需研究求证　

第一步的求证思路．模仿上题可用导数解决一部分．　

由于本题关键——极值是用字母表示的，所以对于函　

数极值在ｚ轴上下方或者在轴上需通过讨论才能得　

证．对于文、理考生来说本题是个训练的好题．　一．　３　一　例５　（２００７年浙江卷）设，（　）一　，对任意实　

数ｔ，记ｇ　（ｚ）一￡亏　一一号ｔ．　

（１）求函数Ｙ一＿，’（ｚ）一ｇｓ（ｚ）的单调区间；　

（２）求证：（ｉ）当ｚ＞０时，ｆ（ｚ）≥ｇ　（ｚ）对任意正　

实数ｔ成立；　

（ｉｉ）有且仅有一个正实数ｚ。，使得ｇ　（ｚ。）≥　

ｇ　（　。）对任意正实数ｔ成立．　

析　—３７　３４ｘ＋萼．　

由ｙ　一ｚ　一４一ｏ，得ｚ一±２．　因为当ｚ∈（一一，一２）时，ｙ　＞Ｏ，当ｚ∈（一２，２）　时，　＜Ｏ，当ｚ∈（２，＋一）时，ｙ　＞Ｏ，故所求函数的单　

调递增区间是（一一，一２），（２，＋一），单调递减区间　

是（一２．２）．　

（２）（ｉ）令＾（ｚ）一，（ｚ）一ｇｒ（ｚ）一　一　ｚ＋专￡（ｚ＞　

Ｏ），则ｈ　（　）一　一疗．当￡＞Ｏ时，由ｈ　（ｚ）一０。得ｚ一￡专．　

当ｚ∈（０，￡ｉｉ）时，ｈ　（ｚ）＜０，当ｚ∈（￡专，＋一）时，　

ｈ　（ｚ）＞０，所以ｈ（ｚ）在（０，＋一）内的最小值是　

ｈ（　专）一０．故当ｚ＞Ｏ时，ｆ（３７）≥　（ｚ）对任意正实数ｔ　

成立．　

（ｉｉ）因为对任意３７０＞０，ｇｓ（３７０）一４ｘ。一　，又　

（ｚ　）关于￡的最大值是÷ｚ　，所以使ｇｓ（３７０）≥　

理想的书籍是智慧的钥匙．

——托尔斯泰　维普资讯 http://www.cqvip.com ｇ，（　。）对任意正实数成立的充分必要条件是４ｘ。一　１ｏ≥　

；，即　

（ｚ。一２）　（　０＋４）≤Ｏ，　①　又因为ｚ。＞Ｏ，不等式①成立的充分必要条件是　

ｚｏ一２，所以有且仅有一个正实数　。一２，使ｇ　（ｚ。）≥　ｇ，（ｚ。）对任意正实数ｔ成立．　

彝　占本题也是考查函数的基本性质、导数的应用　葬及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所　

学知识分析和解决问题的能力．本题由于增加了下标　

号，从而增加了一定的难度，这也是考生学习上的软　

肋，从全国各地的高考卷中分析可知增加了上下标号　

的题型值得考生关注．　

通过上面的例题，我们发现借助于导数来求我们　

不熟悉的三次函数问题是非常方便的．形如ｆ（　）：＝＝　

“　。＋　ｚ　＋ＣＸ＋ｄ的三次函数经过求导后就变成了我　

们所熟悉的二次函数．深刻挖掘三次函数的性质，为　

高考有关问题找到了有效的解决方法．初等函数能演　

变出如此广角的题目，所以考生在备考中，在重视基　

础的同时，更要重视平时知识的积累与分类．　

““　“““　“　…“”　”“　““　…“”　…“　“　“　…“　“”　“　“　“”　“”　““‘　“　”””　“…　“”　链接练习　

１．已知函数厂（ｚ）：ａｘ。＋３ｘ　一ｚ＋１在（０，＋ｏｏ）上是减　

函数，求ａ的取值范围．　

２．函数厂（ｚ）一ｚ。一６６ｚ＋３６在（０，１）内有极小值，求ｂ的　

取值范围．　

３．设函数＿厂（ｚ）一２ｘ。一３（ｎ＋１）ｚ　＋６ａｘ＋８，其中ａ∈Ｒ．　

（１）若厂（ｚ）在ｘ＝３处取得极值，求常数ａ的值；　

（２）若厂（　）在（一ｏｏ，０）上为增函数，求ｎ的取值范围．　

４．已知函数厂（ｚ）：ａＸ３－３ｚ　＋１一詈．　

链接练习爹考答累　

１．ａ≤一３．　

２．ｏ＜Ｋ÷．　

３．（１）ｎ一３；（２）ｎ∈［ｏ，＋∞）．　

４．（１）ｎ＞ｏ时，，（　）在区问（－－００￣０）为增函数；在区间（０　９詈）　

为减函数；在区间（号，＋　）为增函数。　

ｎ＜ｏ时，，（ｚ）在区问（－ｏｏ，号）为减函数；在区间（号，　

Ｏ）为增函数｝在区间（Ｏ，＋。。）上为减函数。　

（２）一１≤ａ＜０或３≤ｎ≤４，　（作者单位：浙江省东阳市第二高级中学）　非常道　

“序＂的有无是核心　

是“组＂是“配”要分清　

——两类排列组合问题解法辨析　

河北王景成　

在高考数学的排列组合应用题中，经常会遇到．　

类分组（即堆）或分配问题，有些考生对此类问题理解　

不深，没有把握其本质，思路与计算方法不对头，从而　

容易出现错解．　

分组与分配都有一个“分”字，但两类问题却有根　

本的区别，关键就是一个字：“序”．为将道理说清楚，　

将问题原始化，我们研究＿Ｆ列最基本的几种情况：　

问题１　将２本不同的书“、ｂ平均分成２组（即　

堆），而这２组没有编号码，即没有次序的２堆，那么　

只有１种分法，即ｎ、ｂ．请注意，“ｂ、“”与“ｎ、ｂ”是相同　

的分法．可是若用公式ＣｉＣ｛计算却得２，原因是重复　

了，将“ｎ、ｂ”与“ｂ、ｎ”认为是不同的分法了，必须除以　．　

问题２将２本不同的书６／、ｂ分别分给２个人，　

每人１本，则有“ｎ、ｂ”与“ｂ、ｎ”２种分法，用ｃ　ｃ　计算　

就可以，而不需要除以Ａ；．　

问题３　将３本不同的书ｎ、ｂ、ｃ平均分成３组　（即没有次序的堆），也只有１种分法，若用算式，应为　

Ｃ　Ｃ；Ｃ｛一　Ａｉ　一　

问题４将３本不同的书６／、ｂ、ｃ分别分给３个　

人，每人１本，原本是典型的排列问题，有Ａｊ一６（种）　

不同的分法．若看成分配问题。则用式子ｃ　ｃ　ｃ　计　

算，不需除以Ａｉ．　

问题１与问题３属于分组问题，没有“序”；问题２　

与问题４属于分配问题，有“序”．所以说“分组”与“无　

序”对应，计算时还应除以Ａ：一”！；“分配”与“有序”　

对应，计算时则不用除以Ａ：＝＝＝　！．　

将问题原始化是著名数学家华罗庚教授提倡的　

“以退为进”的分法，也是科学研究普遍采用的策略．