怎样证明 是一个无理数 2
2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的
代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家
们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、
探索以致明朗的一个极好例证.
换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，
值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.
a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b
其中(a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、 a 2 b 2 b 2
6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2
数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2
无理数.
这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.
a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 a a 2 b 2 b
是偶数，设 a=2c,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a、b 都是偶数，这与(a,b)=1 c 2 b 2 b 2 c 2
矛盾！因此 2 是无理数.
希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任
何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬
身海底.
证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2
《是有理数吗？》
教学设计
1．用不同的方法理解无理数、、等的几何解释．
2．会利用勾股定理在数轴上或方格纸上表示、、等无理数，感悟数形结合的思想．
【教学重点】
理解可以用数轴上的点表示无理数.
【教学难点】
利用图形作出表示无理数的线段.
一、复习回顾
求出下列图形中线段c的长度．
1
1 c
c=____ 1
2
c=____
1 c
1
2 c ◆ 教学目标
◆ 教学重难点
◆ 教学过程
c c=___ c=___
【设计意图】：
通过复习运用勾股定理对线段长度的计算，运用勾股定理对本节课的学习做好铺垫．
二、交流探究
已知：单位长度为1的线段
（1）你能作出长度为的线段吗？呢？
（2）想一想，怎样作出长度为的线段呢？
（3）请你作出长度分别为和的线段．
观察数轴，数轴上的点表示了哪些数？它们分别是什么数？因此，你能得出什么结论？与同学交流．
数轴上的点并不都表示有理数，无理数也可以用数轴上的点表示．
想一想：你能在数轴上标出表示的点吗？
在独立探究的基础上，学生分组交流．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．引导学生在数轴上表示出无理数．
三、例题讲解
例2．如图方格纸上每个小正方形的边长都是1．
（1）分别求出A到B、C、D、E、F各点的距离．
（2）以A、B、C、D、E、F中的任意三个点为顶点作三角形，其中有没有等腰三角形？如果有，指出这些三角形．
（3）以点B为圆心，为BD半径的圆，还经过方格纸上的哪些格点？如果有，把它们描述出来，标上字母，并说明理由．
【提示】：
因为点A与点B在方格纸的同一水平线上，因而可直接求的AB=3，求点A到B、C、D、E、F各点的距离应先让学生画出以AC，AD，AE和AF为斜边的直角三角形，再利用勾股定理计算．做题过程需要通过观察、估计和计算确
7.3 2是有理数吗？（第2课时学案）
学习目标
1.用不同的方法理解无理数2、3、5等的几何解释.，
2.会利用勾股定理在数轴上或方格纸上表示2、3、5等无理数，
感悟数形结合的思想.
知识复习：
1、什么叫无理数？
2、口答：
1.在数0,1，0.1235，2,5，7,25中无理数的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.边长为1的正方形的对角线是（ ）
A.整数 B.有理数 C.分数 D.无理数
3. 求出下列含直角的图形中线段c的长度:
c= . c= . c= . c= .
新课学习：
一、自学教材第52页-53页内容，完成下列题目：
1、在直角三角形中：（利用直角三角形或正方形、矩形对角线）
①若两条直角边分别为1和1，则斜边的长为 ；
②若两条直角边分别为2和1，则斜边的长为 ；
③若两条直角边分别为3和1，则斜边的长为 ；
④若两条直角边分别为4和1，则斜边的长为 ；
⑤若两条直角边分别为5和1，则斜边的长为 ；
⑥若两条直角边分别为6和1，则斜边的长为 ；……
2、要作出斜边的长为10的直角三角形，两条直角边的长可为 较为简单.
3、任何一个无理数都可以用 的点来表示，数轴上除去表示有理数的点以外，其他的点表示的数都是 .
二、例题学习：
自学课本53页例2，同学之间可以讨论。
应用练习：
1、在Rt△ABC中，如果∠B是直角，AB=6，BC=5，则AC的长为 .
2、如图所示，方格纸上每个小正方形的边长都是1，
在△ABC中边长为无理数的边有（ ）条
A、0 B、1 C、2 D、3
课堂小结
(完整word版)证明根号2是无理数八种方法 1 / 2
如何证明 2 是一个无理数
2 是一个特别有名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯所以付出了生命的
代价 —— 后代的数学史家所说的 “第一次数学危机 ”盖源于此 .风暴过去后，唤醒的倒是数学家
们对数的从头认识，实数的观点开始确定，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真谛的追求、
探究致使明亮的一个极好例证 .
换一个角度来看这个数，我们能够把它看作一根 “晾衣绳 ”，上边挂着很多风趣的方法，
值得你认真玩味 .我们准备从不一样的角度来证明 2 是一个无理数，进而领会这一点 .
证法 1：尾数证明法 .假定 2 是一个有理数，即 2 能够表示为一个分数的形式 2 = a .
b
此中 (a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则
a 2 2 因为完整平方数 2
的尾数只好是 、 、 、 、
2b . b 0 1 4 5
6、 9 中的一个，所以 2b2 的尾数只好是 0、2、8 中的一个 .因为 a 2 2b2 ，所以 a2 与 2b 2 的尾
数都是 0，所以 b2
的尾数只好是 0 ，所以
a 与 b 有公因数 5，与 (a,b)=1 矛盾！所以
2 是 或 5
无理数 .
这个证法能够证明被开方数的尾数是 2、 3、7、8 的平方根都是无理数 .
证法 2：奇偶剖析法 .假定 a 此中 ，且 与 都是正整数 则 a 2 2b 2 可知 2 =
b . (a,b)=1 a b . . a
