高级宏观 OLG模型

目　录

第1章　索洛增长模型

第2章　无限期模型与世代交叠模型

第3章　内生增长

第4章　跨国收入差距

第5章　实际经济周期理论

第6章　名义刚性

第7章　动态随机一般均衡周期模型

第8章　消　费

第9章　投　资

第10章　失　业

第11章　通货膨胀与货币政策

第12章　预算赤字与财政政策第1章　索洛增长模型

1.1 增长率的基本性质。利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性

质证明：

（a）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和。即，若Z（t）＝X（t）Y（t

），则：

（b）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差。即，若Z（t）＝X（t）/Y（t

），则：

（c）若Z（t）＝X（t）α，则。

证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求

导，那么可得下式：

因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：

则得到（a）的结果。

（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么

可得下式：

因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：

再简化为下面的结果：

则得到（b）的结果。

（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么

可得下式：又由于ln[X（t）α]＝αlnX（t），其中α是常数，有下面的结果：

则得到（c）的结果。

1.2 假设某变量X的增长率从时刻0到时刻t1为常数，并且等于a＞0；在

时刻t1降为0；从时刻t1到t2逐渐从0增加到a；在时刻t2后为常数，并且等

于a。

（a）用图形表示出X的增长率随时间的变化。

（b）用图形表示出lnX随时间的变化。

答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。从时刻到t1时刻X的增长率为常数且等于a（a＞0），为图形中的第一

段。X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。从t2时刻之后，X的

增长率再次变为a。

图1-1　时间函数X的增长率

（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X

的增长率，即：

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罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义

第1章索洛增长模型

第一部分重难点解读

“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。”

——罗伯特·卢卡斯（RobertLucas，1988）

1.1模型假设

投入与产出

生产函数采取如下形式：



,YtFKtAtLt

其中，t：时间，A：有效劳动

．．．．——劳动增加型

．．．．．的或哈罗德中性

．．．．．。

生产函数

生产函数是规模报酬不变的：



,,FcKcALcFKAL，对于所有

0c

规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部

利用。第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。

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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：

1

,1,





K

FFKAL

ALAL

定义/kKAL

，/yYAL

以及

,1fkFk，得：



yfk

关于

fk的假设：

（1）

00f，

0

fk，

0

fk（如何推导？比较重要！）

（2）稻田条件（Inadacondition）：

0lim





kfk，

lim0





kfk

柯布一道格拉斯函数：

1

,,01





FKALKAL。根据规模报酬不变假设，整理

可得：()



fkk，图示如图1.1所示。

图1.1柯布-道格拉斯生产函数

生产投入的演化

给定资本、劳动与知识的初始水平，劳动与知识以不变的增长率增长：



LtnLt



AtgAt

其中，n与

g是外生参数。

求解以上两微分方程，可得：



0ntLtLe

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

0gtAtAe

假设：用于投资的产出份额s是外生且不变的，则有资本动态积累方程：

Solow （1956）模型是整个经济增长的核心，所有的现代的增长模型都是在它的基础上拓展开来的。Solow 模型的背景是完全竞争的市场经济，它由这样一些列假设出发——包括生产函数是一次齐次的，紧凑形式的生产函数f（k）是严格凹的，f（k）同时满足Inada条件，并且这个模型只考察了资本、劳动力和知识等生产要素，忽略了诸如土地、其他自然资源等要素。

根据假设，模型一般先是求解每单位有效劳动的资本存量k的动态方程，然后作出相关的相位图，则有这样的结论：当模型收敛到均衡点时，每有效劳力的资本、产出和消费保持不变；人均的资本、产出和消费以g 的速率增长；总资本、总产出和总消费以（n+g）的速率增长。接来下考察储蓄率s变动对经济的影响及其相位图，得出改变储蓄率只有水平效应而没有增长效应。第三，关于资本存量的黄金律。第四，数量分析——包括对产出的影响和收敛速度。对产出的影响在我看来无非就是求解储蓄率s关于人均有效产出y的弹性；收敛速度则是Taylor公式的一个应用。第五，就是Solow模型所做的预言，发达经济体与不发达经济体最终将会“趋同”——这一点随着后续模型的发展将会被证伪。第六，关于Solow 残差的计量求解。Solow模型的结论无非就是实物资本的积累即不能解释世界范围的经济增长的显著部分，也不能解释国与国之间的差距。这才有了后续的扩展。

扩展1. RCK 模型 这是由Ramsey（1928）年首先做出来的，可惜这位短命的剑桥天才太“天才”了，用到了当时经济学家普遍不懂的变分法求解增长问题，以至于这么重要的一篇文章，当时都没有人读懂（八卦#^_^#：类似的还有von Nuemannn，这位伟大的数学家在1930S写出一篇关于多部门经济增长的模型，可惜也是数学太复杂，以及当时经济增长相关研究还不够，所以直到CGE研究大行其道，这篇文章的价值才被发掘出来）。直到Cass（1965），Koopmans（1965）重新根据最优控制原理重新写出了Ramsey模型，其后才广为人所知。一则轶闻，Cass写出Ramsey 模型接受杂志采访时，说他之前并有看过Ramsey（1928）的文章。但是看没看过，也只有上帝才能知道吧。Ramsey把家庭纳入到增长模型中，考察了Solow所忽略掉的经济增长的微观基础。这个模型考察了家庭和厂商这两个部分。由家庭出发，得到消费的动态方程；由厂商出发，得到资本报酬率r（t），工资率W（t）。厂商这部分内容就是Solow 模型所阐述的内容，Solow所没有描述的是家庭的消费路径。结合家庭关于消费的动态方程以及厂商关于资本的动态方程，作出相位图，可以求出鞍点路径。由于引入了家庭，所以资本存量高于黄金率水平的平衡增长路径是不可能的，因此Ramsey 模型中的资本存量被称为“修正的黄金率资本存量”。由于 RCK 模型的条件满足第一福利公理，因此，在该模型中的均衡是帕累托有效的（Pareto-efficient）。当 RCK模型收敛到均衡点时，模型的表现行为与Solow 模型一致：每有效劳力的资本、产出和消费保持不变；人均的资本、产出和消费以g 的速率增长；总资本、总产出和总消费以（n+g）的速率增长。

1、按时期长短定义的宏观经济学三个基本模型及经济意义？（p5）

（经济增长模型）经济的长期行为是增长理论的研究范围，它重点阐明生产能力的增长，（长期总供给-总需求模型）在中期我们将生产能力视为给定的。生产能力水平确定产量，相应于该供给水平的需求之波动确定价格和通货膨胀。（短期总供给-总需求模型）在短期中，需求变动确定现有生产能力中利用的是多少，也因此确定了产量水平与失业水平，价格不受产量水平的影响。

2、经济总量指标的测度？(p29)

(1)GDP是生产的最终产品和服务的价值。坚持用最终产品和服务只是为了确信我们没有重复计标。在实践中，计算增加价值就可避免重复计算。

(2)GDP由本期生产的产量的价值构成。

3、GDP消长指数的含义？与消费者价格指数和生产价格指数的区别？(p32)

GDP消胀指数是在给定的一年中，名义GDP与该年真实GDP的比率。消胀指数计量基期年与现期年度间发生的价格变动。

GDP消胀指数与CPI和PPI存在三个方面的不同。首先，GDP消胀指数计量的商品价格远比CPI和PPI广泛。其次，CPI和PPI计量的是一篮子给定的商品，年复一年没有变动。但GDP消胀指数所计量的一篮子商品，年年有所不同。有可能某些商品和服务消费者已经不消费而是有其他替代品，但CPI和PPI却还要计量，反映不出变化，而GDP消胀指数则能反映。第三，CPI和PPI直接包含进口价格，而GDP消胀指数只包括在国内生产产品的价格。

4、增长核算方程的基本形式及经济意义。（p41）

增长核算方程的基本形式：ΔY/Y=[(1-θ)×ΔN/N] + (θ×ΔK/K) + ΔA/A

产出增长=（劳动份额×劳动增长）+（资本份额×资本增长）+技术进步

经济意义:

(1)劳动和资本各自的贡献量等于它们各自的增长率乘以该投入在收入中所占份额。

(2)ΔA/A称之为技术进步或全要素生产率增长的技术进步速度，是在所有投入不变的情况下，由于生产方法改进所导致的产出增加的数额。